第四章第三節(jié)波動方程的混合問題分離變量法

第三節(jié)一維波動方程的混合問題分離變量—Fourier方法Fourier方法，又稱分離變量法，是求解偏微分方程定解問題的一個重要方法，本質(zhì)是把偏微分方程的定解問題通過變量分離轉(zhuǎn)化為一個特征值問題，并把它的解表示成按特征函數(shù)展開的級數(shù)形式。Fourier的思想影響深遠(yuǎn)。

現(xiàn)在是1頁\一共有37頁\編輯于星期五內(nèi)容3.1

世紀(jì)爭論

3.2

Fourier解法3.3

駐波法3.4Fourier變換

現(xiàn)在是2頁\一共有37頁\編輯于星期五3.1

世紀(jì)爭論

1822年法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Fourier1的熱的數(shù)學(xué)理論（TheorieAnalytique

de

la

Chaleur）一書的出版，是應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展中最重要的一個里程碑．該書不僅為一般類型邊值問題提供了一種示范性的形式處理、也開拓了一類具有很大普遍性的數(shù)學(xué)方法的理論．在他的著作中寫道；“深入研究自然是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)最豐富的泉源”?，F(xiàn)在是3頁\一共有37頁\編輯于星期五Fourier生平

Jean

Baptiste

Joseph

Fourier（1768－1830），也譯作傅里葉，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。9歲父母雙亡，

被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，1794到巴

黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，

次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾

省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院

士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。

現(xiàn)在是4頁\一共有37頁\編輯于星期五2.1

世紀(jì)爭論

在數(shù)學(xué)史上，關(guān)于偏微分方程的第一次真正的成功來自對以小提琴弦為典型的弦振動問題的重新研究，即考察弦發(fā)出的聲音在空氣中的傳播。在研究了這種聲音之后，數(shù)學(xué)家們處理了各種形狀的號角、管風(fēng)琴、鈴、鼓和其他樂器發(fā)出的聲音。也在這個時期，交響音樂才得到真正的發(fā)展。

現(xiàn)在是5頁\一共有37頁\編輯于星期五在當(dāng)時處理弦振動問題時，弦被當(dāng)成“小珠的弦”，即弦被看成由?個離散的、相等的和等間隔的、被此間用沒有重量的柔軟的彈性繩相連接的重物構(gòu)成．1727年，John

Bernoulli處理了離散質(zhì)量的情況。1746年，d’Alembert在論文“張緊的弦振動時形成的曲線的研究”中提議，證明無窮多種與正弦曲線不問的曲線是振動的模式。首先證明了一維波動方程的解可以表示為

現(xiàn)在是6頁\一共有37頁\編輯于星期五幾個月后，Euler發(fā)表了論文“論弦的振動”，提出用分段連續(xù)函數(shù)，指出振動弦的一切可能的運(yùn)動，無論弦的形狀怎樣，對于時間那是周期的。Daniel

Bernoulli（

John

Bernoulli的兒子）也加入了d’Alembert與Euler的爭論，斷言振動弦的許多模式能夠同時存在，是這條弦響應(yīng)所有這些模式的和或疊加；但未給出數(shù)學(xué)論據(jù)以支持他們論點(diǎn)。1769年，年輕的的Lagrange參加了爭論，引發(fā)了求和號和積分號的交換問題?，F(xiàn)在是7頁\一共有37頁\編輯于星期五2.2

Fourier解法

在Daniel

Bernoulli的贊助下，F(xiàn)ourier的工作解決了關(guān)于弦振動問題的解的爭論。下面研究一維波動方程的混和問題：

現(xiàn)在是8頁\一共有37頁\編輯于星期五2.2

Fourier解法按照Fourier提出的方法，取一乘積形式的解帶入原方程分離變量，把上式寫成

從而得到分離方程

現(xiàn)在是9頁\一共有37頁\編輯于星期五2.2

Fourier解法根據(jù)分離方程和適當(dāng)?shù)凝R次邊界條件組成的問題，確定分離常數(shù)的容許值。齊次邊界條件得到

從而得到函數(shù)的齊次方程組

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Fourier解法為了得到非平凡和有意義的解，分別討論現(xiàn)在是11頁\一共有37頁\編輯于星期五2.2

Fourier解法現(xiàn)在是12頁\一共有37頁\編輯于星期五2.2

Fourier解法我們把這個解記為現(xiàn)在是13頁\一共有37頁\編輯于星期五2.2

Fourier解法下面求解其解為常數(shù)歸并現(xiàn)在是14頁\一共有37頁\編輯于星期五2.2

Fourier解法顯然滿足邊界條件；使之滿足剩下的初始條件，需要確定兩組未知系數(shù)。若要試圖滿足初始條件，可取

現(xiàn)在是15頁\一共有37頁\編輯于星期五2.2

Fourier解法有現(xiàn)在是16頁\一共有37頁\編輯于星期五2.3

駐波法

分離變量法有明顯的物理意義，現(xiàn)在我們以兩端固定的一維弦振動為例來說明這一點(diǎn)．把形式解的每一項(xiàng)改寫

其中

現(xiàn)在是17頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是18頁\一共有37頁\編輯于星期五2.3

駐波法

所以在物理上亦把分離變量法稱為駐波法，把弦的振動看作一系列具有特定頻率的駐波的疊加。如果用弦振動來描述弦樂器的演奏，此時解???，表示樂器發(fā)出的聲音，那么弦的基音是由最低頻率

現(xiàn)在是19頁\一共有37頁\編輯于星期五不同的弦樂器之所以在同一個音調(diào)下發(fā)出的聲音，就是因?yàn)殡m然它們具有同一個基音頻率，它們卻有著完全不同的泛音，因此引起了音色的差異?，F(xiàn)在是20頁\一共有37頁\編輯于星期五點(diǎn)時，基音及所有的泛音頻率就比原來的頻率增加一倍，這樣色就發(fā)出了比原來高八度的音調(diào)。此外，經(jīng)常用擰緊弦線的方法來調(diào)整音調(diào)．其實(shí)從基音表達(dá)式可以看出，這是通過改變弦的張力來促使基音頻率變化。張力越大，基音頻率越高．不同的弦線有粗細(xì)之分，反映了弦線在密度上的差異，粗弦線密度大，細(xì)弦線密度小，因此兩根不同的弦線在相同的條件下，細(xì)弦線比粗弦線發(fā)出更高的音調(diào)。

現(xiàn)在是21頁\一共有37頁\編輯于星期五3.4Fourier變換現(xiàn)在是22頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是23頁\一共有37頁\編輯于星期五物理意義現(xiàn)在是24頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是25頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是26頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是27頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是28頁\一共有37頁\編輯于星期五Radon變換現(xiàn)在是29頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是30頁\一共有37頁\編輯于星期五

廣義函數(shù)的Fourier變換

現(xiàn)在是31頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是32頁\一共有37頁\編輯于星期五

d’Alembert公式

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