7-4 幾何法求空間角（精練）（基礎版）（解析版）

7.4幾何法求空間角（精練）（基礎版）題組一題組一線線角1．（2022·全國·模擬預測）如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為（

）A．30° B．90° C．45° D．60°【答案】C【解析】如圖，在正方體中，連接交于，連接，因為，分別為，的中點，所以，所以異面直線與所成角即與所成角，易知．故選C．2．（2023·全國·高三專題練習）在長方體中，點E為的中點，，且，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，由可得或其補角即為異面直線AE與BC所成角，又面，面，則，則，同理可得，，則，，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點，則直線BP與AD所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在四面體ABCD中，平面，平面，則，而，即，又，平面，則有平面，而平面，于是得，因P為AC的中點，即，而，平面，則平面，又平面，從而得，所以直線BP與AD所成的角為.故選：D4．（2022·河南?。┤鐖D，在三棱柱中，平面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】把三棱柱補成如圖所示長方體，連接，CD，則，所以即為異面直線與所成角（或補角）．由題意可得，，，所以．故選：B．5．（2022·青海西寧·二模（理））如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】把展開圖還原成正方體如圖所示，由于且相等，故異面直線與所成的角就是和所成的角，故(或其補角)為所求，再由是等邊三角形，可得.故選：C.題組二題組二線面角1．（2022·浙江·模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面平面，，M是的中點，連接，，．(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接，．因為，M是的中點，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以，在矩形中，M是的中點，，，所以，所以，而，，平面，所以平面，而平面，所以．(2)由（1）知，平面，所以，在直角中，，所以，因為，所以直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角，而平面平面，平面平面，又，所以平面，從而平面平面，且平面平面，過B點作直線于H，則平面，所以直線與平面所成的角即為，在個，，，所以，，因此直線與平面所成角的余弦值為．2．（2022·安徽師范大學附屬中學模擬預測（文））如圖，菱形ABCD中，把△BDC沿BD折起，使得點C至P處.(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若與平面ABD所成角的余弦值為，，求三棱錐P—ABD的體積.【答案】(1)證明見解析(2)1【解析】(1)如圖所示，取AC與BD的交點為O，連接PO，∵四邊形ABCD為菱形，現(xiàn)把△BDC沿BD折起，使得點C至P處，，∴，∵AC平面PAC，PO平面PAC，,∴BD⊥平面PAC，又BD平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．(2)作于H點，∵，∴△PAC為直角三角形，因為平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面，所以PH⊥平面ABCD，所以，∵PA與平面ABD所成角的余弦值為，即，∴△PAC為等腰直角三角形，∴H與O重合，∵，菱形ABCD中，∴，.3．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校高一期末）四棱錐，底面ABCD是平行四邊形，，且平面SCD平面ABCD，點E在棱SC上，直線平面BDE.(1)求證：E為棱SC的中點；(2)設二面角的大小為，且.求直線BE與平面ABCD所成的角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連AC交BD于F，連EF．∵ABCD是平行四邊形，∴∵直線平面BDE，面PAC，面面，∴，由是中點，∴E為棱SC的中點；（2）取DC中點O，OC中點G，連SO，OF，GE，BG∵側面SCD滿足，不妨設∴，∵平面平面ABCD，平面平面∴平面ABCD，又平面ABCD，故，∵∴∵∴

，∴，又，平面，∴平面∴是二面角的平面角∴，又，∴∴∴∴∴∴，∵∴，∴平面ABCD∴為直線EB與平面ABCD所成的角，即直線EB與平面ABCD所成的角的正切值為4．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心）如圖，在三棱錐中，三角形是邊長為2的正三角形，，為中點．(1)求證：；(2)若二面角等于，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：取中點，連接，因為正三角形，為中點，所以，因為分別為中點，所以，因為，所以，因為，所以平面，因為平面，所以．（2）因為，，所以為二面角的平面角，，過作的垂線交于，連接，因為平面，平面，所以，又，，所以平面，所以為直線與平面所成角，因為三角形是邊長為2的正三角形，，所以，所以.5．（2022·河北保定）如圖，已知正方體.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接.在正方體中，平面，所以，在正方形中，，因為，所以平面，因為平面，所以，同理可證得，因為，所以平面；（2）過點E作于點F，連接，在正方體中，因為平面平面，平面平面，所以平面，又因為平面平面，所以為直線與平面所成的角，設正方體的棱長為4，則，因為，所以，則，在中，，由余弦定理得，即，在中，，故直線與平面所成角的正切值為.6．（2022·浙江）如圖，在三棱錐A-BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E為AC的中點，H為BD的中點.(1)求證：AD⊥BC；(2)在直線CH上確定一點F，使得AF∥面BDE，求AF與面BCD所成角的度數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)45°【解析】（1）證明:，為中點，所以，又面面，且面面，所以面，則，又,,,所以面，所以.（2）在CH延長線上取點F，使FH＝HC，且為中點，則四邊形BCDF為平行四邊形，又EH∥AF，EH?面BDE，AF?面BDE，∴AF∥面BDE，又AD⊥面BCD，∴∠AFD即為AF與面BCD所成的角，又DF＝BC＝AD，∴∠AFD＝45°，即AF與面BCD所成的角為45°7．（2022·浙江）如圖在四棱錐中，底面是邊長的正方形，側面底面，且，設，分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）連接，因為四邊形為正方形，且為的中點，所以為的中點，又因為為的中點，則，平面，平面，平面.（2）因為四邊形為正方形，則，因為平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，所以，即.又，平面，所以平面，所以即為與平面所成的角，設，則，，在中，所以，因為，所以，即與平面所成的角為.8．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心）如圖，三棱柱的底面為菱形，，為的中點，且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：以、、為基底，得，,，所以；同理可證，和是平面內兩相交直線，所以平面.（2）由已知四面體是正四面體，如圖，是的中心，是的中點，，是正四面體的高，從而與底面上的直線垂直，是與平面所成的角，則，所以，．題組三題組三二面角1．（2022·廣東·大埔縣虎山中學高三階段練習）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C--PB--A的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)因為平面，平面，所以，因為AB是圓的直徑，C是圓上的點，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面PAC⊥平面PBC.(2)過作，垂足為，過作，垂足為，連，如圖：因為平面，平面，所以，因為，所以平面，所以，因為，，所以平面，所以，所以是二面角C--PB--A的平面角，因為，，，所以，所以，，，因為，，所以，所以，在直角三角形中，，在直角三角形中,.所以二面角C--PB--A的正切值為.2（2022·北京·景山學校模擬預測）如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點，平面平面，M是AB的中點．(1)證明：平面BEF；(2)若，求平面BEF與平面ABC夾角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：在等邊中，為的中點，所以，在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，過在平面內作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，平面．(2)解：由題設平面，平面平面，，四邊形是平行四邊形，又且，所以，延長，，相交于點，連接，則、分別為、的中點，則平面與平面所成的角就是二面角，可知，，所以平面，是二面角的平面角，又，，所以，即平面與平面所成的角為；3．（2022·河北邯鄲）已知四棱錐的底面為矩形，，，平面，是的中點.(1)證明：平面；(2)若與平面所成的角為45°，求二面角的正切值.【答案】(1)詳見解析(2)【解析】（1）由條件可知，，滿足，所以，又因為平面，平面，所以，且，所以平面；（2）因為是與平面所成的角，所以，，因為，，，所以平面，取的中點，，垂足為點，連結，因為，所以平面，所以，，所以平面，所以，即是二面角的平面角，,，，所以，所以二面角的正切值為.4．（2022·湖南）如圖，在三棱錐中，(1)求證：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：取中點，連接，，.，又，故平面，又平面，.，又又，故又平面取的中點，連接，由，得因是在平面內的射影是二面角的平面角，在中，.，故即二面角的正弦值為.

5．（2022·湖南）在直三棱柱中，，分別是，的中點．(1)求證：平面；(2)若，，．求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取中點并連接，是的中點，是的中點，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，平面．（2）連接，，，是的中點，，同理可得，，因為二面角的平面角為，又平面，平面，，直三棱柱平面，又平面，，又，平面平面，易得，在中可得，所以二面角的正切值為6．（2022·黑龍江·哈九中高一期末）如圖（1），平面四邊形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，將△ABC沿BC邊折起如圖（2），使______，點M，N分別為AC，AD中點．在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然后解答此題．①；②AC為四面體ABDC外接球的直徑；③平面ABC⊥平面BCD．(1)判斷直線MN與平面ABD是否垂直，并說明理由；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)垂直，理由見解析；(2).【解析】（1）若選①：，在中，，，，，可得，所以，又由，且,平面，所以平面，又因為平面，所以，又由，且,平面，所以平面，又因為，分別為，中點，可得，所以平面．若選②：為四面體外接球的直徑，則，可得，又由，且,平面，所以平面，因為，分別為，中點，可得，所以平面．若選③：平面平面，平面平面，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以，又由，且,平面，所以平面，因為，分別為，中點，可得，所以平面．（2）若選①：∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB為二面角的平面角，∵AB⊥BD，N為BD中點，，∴，∴，∴；若選②：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴，又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴，在中，BC＝2，CD＝1，∴，又∵AB＝2，∴，即AB⊥BD，∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB為二面角的平面角，∵AB⊥BD，N為BD中點，，∴，∴，∴；若選③：平面ABC⊥平面BCD，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴，∵CD⊥平面ABD，平面ABD，∴CD⊥AD，又∵∠ADC＝90°，CD＝1，∴，∵MN⊥平面ABD，AN，平面ABD，∴MN⊥AN，MN⊥BN，且，，∴∠ANB為二面角的平面角，∵AB⊥BD，N為BD中點，，∴，∴，.7．（2022