7-2 空間幾何中的垂直（精練）（基礎(chǔ)版）（解析版）

7.2空間幾何中的垂直（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一線線垂直1．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，G是的重心，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P在平面的射影為點(diǎn)G．證明：【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，，又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：取的中點(diǎn)，連，，∵為等邊三角形，且是邊的中點(diǎn)，∴，∵平面底面，且它們的交線為，∴平面，則，∵，且∴平面，∴；3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面．證明：【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?．（2022·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．(1)求四棱錐的全面積；(2)求證：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴,同理可得,∴.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA＝AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，側(cè)面底面ABC．(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：；(2)過(guò)側(cè)面的對(duì)角線的平面交側(cè)棱于M，若，求證：截面?zhèn)让妫敬鸢浮?1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】(1)證明：∵，D是BC中點(diǎn)，∴，∵底面?zhèn)让?，交線為BC，∴側(cè)面，又∵側(cè)面，∴；(2)證明：取中點(diǎn)E，連接DE，ME，在中，D，E分別是BC，的中點(diǎn)，∴且又且，∴且，∵，∴且，∴四邊形AMED是平行四邊形，∴，由（1）知面，∴側(cè)面，又∵面，∴面?zhèn)让妫?．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知四棱錐中，平面平面，底面為矩形，點(diǎn)E在AD上，且，，為的中點(diǎn)，，．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：如圖所示，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且，為AB的中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，，所以，，且，所以，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：設(shè)，點(diǎn)到平面的距離為，由（1）知平面，所以，所以，因?yàn)?，即，所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.7．（2022·河南安陽(yáng)）如圖，在三棱錐中，底面ABC是直角三角形，，，D為AB的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，，求點(diǎn)A到平面PDC的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)證明：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榈酌媸侵苯侨切?，，所以，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，因?yàn)椋矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?(2)連接，，由（1），因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，即，因?yàn)?，，，平面，所以平面，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)橹苯侨切?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以，所以在等腰中，邊上的高為，所以，設(shè)點(diǎn)A到平面PDC的距離為，因?yàn)?，所以，則，所以點(diǎn)A到平面PDC的距離為.8．（2022·四川成都）如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，在底面內(nèi)的射影分別為，．(1)求證：；(2)求到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)因?yàn)樵诘酌鎯?nèi)的射影為，所以面面，又因?yàn)?，面面，面所以面，又因面因此，同理，?面,面所以面，又面,所以，連接，易得，，又，故，又,面,面因此面，又面即；(2)在中.在中.把到平面的距離看作三棱錐的高h(yuǎn)，由等體積法得，，故，即，故到平面的距離為．題組二題組二線面垂直1．（2022·廣東珠海）如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若側(cè)面為菱形，求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）連接交于，連接，由為三棱柱，則為平行四邊形，所以是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，故在△中，面，面，所以平面.由，而，面，所以面，又面，則，由側(cè)面為菱形，故，又，面，故平面.2．（2022·山東省萊西市第一中學(xué)）如圖，和都垂直于平面，且，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)證明：（1）取的中點(diǎn)，連接，，∵是的中點(diǎn)，∴，，∵和都垂直于平面，∴，∵，∴，，∴四邊形為平行四邊形，從而，∵平面，平面，∴平面．(2)證明∵垂直于平面，平面，∴，∵，∴，∵，平面，∴平面，由（1）可知：，∴平面．3．（2022·山東菏澤）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是梯形，，且，，.(1)若F為PA的中點(diǎn)，求證平面PCD(2)求證平面PCD.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)取PD中點(diǎn)E，連接EF、EC，如圖所示因?yàn)镋、F分別為PD、PA中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形EFBC為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD(2)因?yàn)?，F(xiàn)為PA中點(diǎn)，所以，則，因?yàn)?，平面PCD，所以平面PCD.4．（2022·北京平谷）如圖，在三棱錐中，底面，，分別為，的中點(diǎn).設(shè)平面與平面交于直線(1)求證：平面；(2)求證：∥.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)因?yàn)槠矫?，平面，所?

因?yàn)?，，所以平?(2)在中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

因?yàn)槠矫媾c平面交于直線，所以∥.5．（2022·北京通州）如圖，在三棱維中，，平面平面.(1)求證：；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)在三棱維中，因，，平面，于是得平面，而平面，所以.(2)在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作于，如圖，因平面平面，平面平面，則有平面，而平面，于是得，由（1）知，，平面，所以平面.6．（2022·廣西欽州）如圖，在三棱錐V—ABC中，M，N分別為的棱VA，VB的中點(diǎn)，，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，平面VAC⊥平面ABC．(1)求證：AB//平面CMN；(2)求證：AB⊥平面VBC．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】(1)證明：因?yàn)镸，N分別為的棱VA，VB的中點(diǎn)，所以，又平面CMN，平面CMN，所以AB//平面CMN；(2)證明：因?yàn)?，，△ABC和△ACV都是等腰直角三角形，所以，因?yàn)槠矫鎂AC⊥平面ABC，平面VAC平面ABC，平面VAC，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以平?7．（2022·廣東江門(mén)）如圖，四棱錐的底面是矩形，E為側(cè)棱的中點(diǎn)，側(cè)面是正三角形，且側(cè)面底面．(1)求證：平面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，使得？【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】(1)因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又?cè)面是正三角形，E為側(cè)棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，所以平面?2)設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，又平面平面，平面平面，所以平面，所以是在平面上的射影，要使得，只需要，在矩形中，設(shè)，由，可知，又，所以，所以，所以，即，所以，所以，所以當(dāng)為何值時(shí)，使得8．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，.證明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF.∵M(jìn)，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴，.∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，∴，，∴，，∴四邊形DEFM為平行四邊形.∴，∵平面PDC，平面PDC.∴平面PDC.(2)∵四邊形ABCD為正方形，∴.又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，∴AD⊥平面PAB.∵平面PAB，∴.連接AF，∵，F(xiàn)為PB中點(diǎn)，∴.又，AD，平面DEF，∴PB⊥平面DEF.9．（2022·河南·新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，P為的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【解析】(1)由題知，平面平面，且交線為，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，故，因?yàn)镸為半圓弧上異于C，D的點(diǎn)，且為直徑，所以，又，且、平面，所以平面；(2)當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：連接和交于O，因?yàn)闉榫匦危設(shè)為中點(diǎn)，連接，因?yàn)镻為中點(diǎn)，所，又平面，平面，所以平面.10．（2022·北京豐臺(tái)）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．(1)求證：直線平面ADF；(2)求證：直線平面ADF；(3)當(dāng)平面平面ABEF時(shí)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【解析】(1)證明：在直角梯形中，，，將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)至，所以，又，平面，所以平面；(2)證明：依題意可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；(3)證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若選①，，，所以，所以，此時(shí)，所以如圖過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，顯然平面與平面不垂直；若選②：，則，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若選③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；題組三題組三面面垂直1．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)）如圖，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，與平面所成的角為.(1)求證：平面平面；(2)求幾何體的體積【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的菱形，，所以和都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，因?yàn)槠矫?，所以、，又因?yàn)榕c平面所成的角為，所以，所以，取中點(diǎn)，連接、，又因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，于是平面，，，又因?yàn)椋≈悬c(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，又因?yàn)椋?，，所以，所以，所以平面平面．解：因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫嫫矫嬖O(shè)的中點(diǎn)，連接，有因?yàn)槠矫嫫矫嫠悦?，即是四棱錐B-CDEF的高易求

所以2．（2022·湖北武漢·高三開(kāi)學(xué)考試）在直三棱柱中，已知側(cè)面為正方形，，D，E，F(xiàn)分別為AC，BC，的中點(diǎn)，，證明：平面⊥平面；【答案】證明見(jiàn)解析【解析】由題設(shè)條件可知，∵四邊形為正方形∴∵E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)∴∴又∵∴∴，又∵且∴平面，又BF平面，∴平面⊥平面.3（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)【解析】(1)由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.(2)依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小值.過(guò)作，垂足為，在中，，解得，所以，所以.過(guò)作，垂足為，則，所以平面，且，所以,所以.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：平面平面．(2)設(shè)P是棱上一點(diǎn)，且，求三棱錐體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）連接.三棱柱中，，．則，則，則，∴，又∵，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）取AB的中點(diǎn)D，連接CD，∵，∴，又由（1）知平面平面，平面平面則平面，且．則三棱錐的體積為，則三棱柱的體積為6，∵，∴在四邊形中，，又∵四棱錐的體積為，∴三棱錐的體積為．5．（2022·福建龍巖）如圖，平行四邊形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【解析】(1)連接交于，連接，易得為中點(diǎn)，又為線段的中點(diǎn)，則，又平面，平面，則平面；(2)由余弦定理得：，即，則，則，平行四邊形為矩形，則，又平面平面，平面平面，平面，