隨機(jī)變量及其分布列解答題專項(xiàng)訓(xùn)練-2023屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)（含解析）

2023高考數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布列解答題專項(xiàng)訓(xùn)練一．解答題（共16小題）1．習(xí)近平總書記曾提出，“沒有全民健康，就沒有全面小康”．為響應(yīng)總書記的號召，某社區(qū)開展了“健康身體，從我做起”社區(qū)健身活動．運(yùn)動分為徒手運(yùn)動和器械運(yùn)動兩大類．該社區(qū)對參與活動的1200人進(jìn)行了調(diào)查，其中男性650人，女性550人，所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：（單位：人）性別器械類徒手類合計(jì)男性590女性240合計(jì)900（1）請將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷能否有99%把握認(rèn)為“是否選擇器械類與性別有關(guān)”？（2）為了檢驗(yàn)活動效果，該社區(qū)組織了一次競賽活動．競賽包括三個(gè)項(xiàng)目，一個(gè)是器械類，兩個(gè)是徒手類，規(guī)定參與者必需三個(gè)項(xiàng)日都參加．據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，參賽者通過器械類競賽的概率是，通過徒手類競賽的概率都是，且各項(xiàng)目是否通過相互獨(dú)立．用ξ表示某居民在這次競賽中通過的項(xiàng)目個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．（參考數(shù)據(jù)：12302＝1512900，65×55×9＝32175，1512900÷32175≈47）附：P（X2≥k）0.0500.0250.0100.005k3.8415.0247.8796.6352．某校為了調(diào)査網(wǎng)課期間學(xué)生在家鍛煉身體的情況，隨機(jī)抽査了150名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)出他們在家的鍛煉時(shí)長，得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）求a的值，并估計(jì)鍛煉時(shí)長的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）從鍛煉時(shí)長分布在[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽出7名學(xué)生，再從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽出3人，記3人中鍛煉時(shí)長超過40分鐘的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，在保持原有40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競技和霹靂舞兩個(gè)競賽項(xiàng)目，國家體育總局為了深入了解各省在“電子競技”和“霹靂舞”兩個(gè)競賽項(xiàng)目上的整體水平，隨機(jī)選取了10個(gè)省進(jìn)行研究，便于科學(xué)確定國家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員，各省代表隊(duì)人數(shù)如下表：省代表隊(duì)ABCDEFGHIJ電子競技45512738571926473429霹靂舞26154442322856364820（1）從這10支省代表隊(duì)中隨機(jī)抽取3支，在抽取的3支代表隊(duì)參與電子競技的人數(shù)均超過30人的條件下，求這3支代表隊(duì)參與霹靂舞的人數(shù)均超過30人的概率；（2）若霹靂舞參與人數(shù)超過40人的代表隊(duì)所在地可以成為國家隊(duì)集訓(xùn)基地，現(xiàn)從這10支代表隊(duì)中隨機(jī)抽取4支，記X為選出代表隊(duì)所在地可以成為國家隊(duì)集訓(xùn)基地的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）某省代表隊(duì)準(zhǔn)備進(jìn)行為期3個(gè)月的霹靂舞封閉訓(xùn)練，對太空步、空中定格、整體移動三個(gè)動作進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個(gè)動作至少有2個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”，已知在一輪測試的3個(gè)動作中，甲隊(duì)員每個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動作互不影響且每輪測試互不影響：如果甲隊(duì)員在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于9次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？4．交通擁堵指數(shù)（TPI）是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，TPI越大代表擁堵程度越高．某平臺計(jì)算TPI的公式為：TPI＝，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個(gè)等級：TPI[1，1.5）[1.5，2）[2，4）不低于4擁堵等級暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶履呈?023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖：（1）從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；（2）從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）把12月29日作為第1天，將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次記為a1，a2，?，a7，將2022年同期TPI依次記為b1，b2，?，b7，記ci＝ai﹣bi（i＝1，2，?，7），．請直接寫出|取得最大值時(shí)i的值．5．在某次現(xiàn)場招聘會上，某公司計(jì)劃從甲和乙兩位應(yīng)聘人員中錄用一位，規(guī)定從6個(gè)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題作答．假設(shè)甲能答對的題目有4道，乙每道題目能答對的概率為．（1）求甲在第一次答錯(cuò)的情況下，第二次和第三次均答對的概率；（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙誰被錄用的可能性更大？6．基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．2022年有3500名學(xué)生報(bào)考某試點(diǎn)高校，若報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績ξ～N（μ，100），且P（ξ≤50）＝P（ξ≥70）．筆試成績高于70分的學(xué)生進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．（1）從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，求這10人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；（2）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若X～N（μ，σ2），則P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|?2σ）≈0.9545，0.8413510≈0.1777，0.9772510≈0.7944．7．某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲；每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成一個(gè)小組．游戲規(guī)則如下：每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”已知甲乙兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2．（1）若p1＝，p2＝，求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率；（2）已知p1+p2＝，則：①p1，p2取何值時(shí)能使得甲、乙兩名隊(duì)員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率最大？并求出此時(shí)的最大概率；②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊(duì)員想要獲得297次“神投小組”的稱號，則他們平均要進(jìn)行多少輪游戲？8．兔年春節(jié)期間，煙花“加特林”因燃放效果酷炫在網(wǎng)上走紅，隨之而來的身價(jià)暴漲也引發(fā)關(guān)注，甚至還有買不到的網(wǎng)友用多支普通的手持燃放煙花自制“加特林”．據(jù)悉，有A，B，C三家工廠可以各自獨(dú)立生產(chǎn)煙花“加特林”，已知A工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)B工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”也是正品的概率為，B工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)C工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為，C工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)A工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為．（1）分別求A，B，C三家工廠各自獨(dú)立生產(chǎn)出來的煙花“加特林”是正品的概率；（2）A，B，C三家工廠各自獨(dú)立生產(chǎn)一件煙花“加特林”，記隨機(jī)變量λ表示“三家工廠生產(chǎn)出來的正品的件數(shù)”，求λ的數(shù)學(xué)期望，它反映了什么實(shí)際意義？9．某甜品屋店慶當(dāng)天為酬謝顧客，當(dāng)天顧客每消費(fèi)滿一百元獲得一次抽獎機(jī)會，獎品分別為價(jià)值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽獎，抽到價(jià)值為5元，10元，15元的甜品的概率分別為，且每次抽獎的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）若某人當(dāng)天共獲得兩次抽獎機(jī)會，設(shè)這兩次抽獎所獲甜品價(jià)值之和為X元，求X的分布列與期望．（2）某大學(xué)“愛牙協(xié)會”為了解“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關(guān)系，隨機(jī)對200名青少年展開了調(diào)查，得知這200個(gè)人中共有120個(gè)人“有蛀牙”，其中“不愛吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的有50人．有2×2列聯(lián)表：有蛀牙無蛀牙合計(jì)愛吃甜食不愛吃甜食合計(jì)完成上面的列聯(lián)表，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有99.5%的把握認(rèn)為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.010.005k3.8416.6357.87910．近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進(jìn)展，某城市推出了兩套方案，并分別在A，B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行，方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動，通過設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣傳教育活動；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過設(shè)備進(jìn)行自動登錄、自動稱重、自動積分等一系列操作，建立垃圾分類激勵機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動居民積極主動地參與垃圾分類，經(jīng)過一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如圖頻率分布直方圖：（1）請通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案．現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．11．為弘揚(yáng)體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計(jì)勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結(jié)束后，將不能參加后面場次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲隊(duì)中球員M都會參賽，他上場與不上場甲隊(duì)一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為．（1）求甲隊(duì)第二場比賽獲勝的概率；（2）用X表示比賽結(jié)束時(shí)比賽場數(shù)，求X的期望；（3）已知球員M在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊(duì)比賽獲勝的概率．12．2023年的春節(jié)聯(lián)歡晚會以“欣欣向榮的新時(shí)代中國，日新月異的更美好生活”為主題，通過各種藝術(shù)形式，充分展現(xiàn)開心信心、頑強(qiáng)奮進(jìn)的主旋律．調(diào)查表明，觀眾對春晚的滿意度與節(jié)目內(nèi)容、燈光舞美、明星陣容有極強(qiáng)的相關(guān)性．現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為a，b，c，并對它們進(jìn)行量化；0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示非常滿意．再用綜合指標(biāo)y＝a+b+c的值評定觀眾對春晚的滿意程度：若y≥4，則表示非常滿意；2≤y≤3表示基本滿意；0≤y≤1表示不太滿意．為了了解某地區(qū)觀眾對今年春晚的滿意度，現(xiàn)從此地觀眾中隨機(jī)電話連線10人進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：人員編號12345678910滿意度指標(biāo)（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，0，1）（1，2，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（0，1，0）（1，0，2）（1）在這10名被電話調(diào)查的人中任選2人，求這2人對燈光舞美的滿意度指標(biāo)不同的概率；（2）從滿意程度為“非常滿意”的被調(diào)查者中任選一人，其綜合指標(biāo)為m，從滿意程度不是“非常滿意”的被調(diào)查者中任選一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量X＝m﹣n，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．13．從《唐宮夜宴》火爆破圈開始，某電視臺推出的“中國節(jié)日”系列節(jié)目引發(fā)廣泛關(guān)注．某統(tǒng)計(jì)平臺為調(diào)查市民對“中國節(jié)日”系列節(jié)目的態(tài)度，在全市市民中隨機(jī)抽取了100人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“中國節(jié)日”系列節(jié)目喜歡的人數(shù)如下表．（注：年齡單位為歲，年齡都在[15，75）內(nèi)）年齡[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）頻數(shù)102030201010喜歡人數(shù)616261264（1）若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為對“中國節(jié)日”系列節(jié)目的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)喜歡不喜歡合計(jì)（2）若按年齡段用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中年齡在[45，75）被調(diào)查的人中選取8人，現(xiàn)從選中的這8人中隨機(jī)選取3人，求這3人中年齡在[55，65）的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.82814．盒中有大小形狀完全相同的8個(gè)紅球和2個(gè)黑球．（1）現(xiàn)隨機(jī)從中取出一球，觀察顏色后放回，并加上與取出的球同色的球2個(gè)，再從盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；（2）從中抽取3個(gè)球進(jìn)行檢測，隨機(jī)變量X表示取出黑球的個(gè)數(shù)，求X的分布列及期望．15．第二十二屆世界杯足球賽已于2022年12月18日在卡塔爾落下帷幕，這是世界杯足球賽首次在中東國家舉行．本屆世界杯很可能是“絕代雙驕”梅西、C羅的絕唱，狂傲的青春也將被時(shí)間攬入溫柔的懷抱，即將說再見時(shí)，才發(fā)現(xiàn)，那屬于一代人的絕世風(fēng)華，不會隨年華逝去，只會在年華的飄零中不經(jīng)意的想起．世界杯，是球員們圓夢的舞臺，也是球迷們情懷的歸宿．（1）為了解喜愛足球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到如下等高堆積條形圖，完成2×2列聯(lián)表：喜愛足球運(yùn)動不喜愛足球運(yùn)動合計(jì)男性女性合計(jì)依據(jù)小概率值a＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)？（2）在某次足球訓(xùn)練課上，球首先由A隊(duì)員控制，此后足球僅在A，B，C三名隊(duì)員之間傳遞，假設(shè)每名隊(duì)員控球時(shí)傳給其他隊(duì)員的概率如表所示：控球隊(duì)員ABC接球隊(duì)員BCACAB概率若傳球3次，記B隊(duì)員控球次數(shù)為X，求X的分布列及均值．附：，n＝a+b+c+d．附表：α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.82816．2023年春節(jié)過后，隨著疫情的有效控制，高三學(xué)年開始返校復(fù)課學(xué)習(xí)，為了減少學(xué)生買餐時(shí)聚集排隊(duì)，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會提供拉面A和蓋飯B共兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過一段時(shí)間的統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為．如果第一天選擇A套餐，那么第二天選擇A套餐的概率為；如果第一天選擇B套餐，第二天選擇A套餐的概率為．（1）求高三一位同學(xué)第二天選擇A套餐的概率；（2）記高三某班三位同學(xué)復(fù)課第二天選擇A套餐的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

2023高考數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布列解答題專項(xiàng)訓(xùn)練參考答案與試題解析一．解答題（共16小題）1．習(xí)近平總書記曾提出，“沒有全民健康，就沒有全面小康”．為響應(yīng)總書記的號召，某社區(qū)開展了“健康身體，從我做起”社區(qū)健身活動．運(yùn)動分為徒手運(yùn)動和器械運(yùn)動兩大類．該社區(qū)對參與活動的1200人進(jìn)行了調(diào)查，其中男性650人，女性550人，所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：（單位：人）性別器械類徒手類合計(jì)男性590女性240合計(jì)900（1）請將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷能否有99%把握認(rèn)為“是否選擇器械類與性別有關(guān)”？（2）為了檢驗(yàn)活動效果，該社區(qū)組織了一次競賽活動．競賽包括三個(gè)項(xiàng)目，一個(gè)是器械類，兩個(gè)是徒手類，規(guī)定參與者必需三個(gè)項(xiàng)日都參加．據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，參賽者通過器械類競賽的概率是，通過徒手類競賽的概率都是，且各項(xiàng)目是否通過相互獨(dú)立．用ξ表示某居民在這次競賽中通過的項(xiàng)目個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．（參考數(shù)據(jù)：12302＝1512900，65×55×9＝32175，1512900÷32175≈47）附：P（X2≥k）0.0500.0250.0100.005k3.8415.0247.8796.635【解答】解：（1）根據(jù)器械類總?cè)藬?shù)900人，其中男性590人，可得女性為310人，根據(jù)總?cè)藬?shù)1200人，得到徒手類總?cè)藬?shù)300人，其中女性240人，可得男性60人．完成表格如下：性別器械類徒手類合計(jì)男性59060650女性310240550合計(jì)9003001200所以，所以，有99%把握認(rèn)為“是否選擇物理類與性別有關(guān)”．（2）隨機(jī)變量ξ的所有可能取值有0，1，2，3，因?yàn)?，，，，所以ξ的分布列為：?123P所以數(shù)學(xué)期望．2．某校為了調(diào)査網(wǎng)課期間學(xué)生在家鍛煉身體的情況，隨機(jī)抽査了150名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)出他們在家的鍛煉時(shí)長，得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）求a的值，并估計(jì)鍛煉時(shí)長的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（2）從鍛煉時(shí)長分布在[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽出7名學(xué)生，再從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽出3人，記3人中鍛煉時(shí)長超過40分鐘的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）（0.006+0.01+2a+0.024+0.036）×10＝1，解得a＝0.012，樣本數(shù)據(jù)在[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的概率分別為0.06，0.10，0.12，0.36，0.24，0.12，則平均值為0.06×5+0.10×15+0.12×25+0.36×35+0.24×45+0.12×55＝34.8；（2）20分鐘到60分鐘中各鑰的頻率比為0.12：0.36：0.24：0.12＝1：3：2：1，所以[20，30）應(yīng)抽×7＝1，[30.40）應(yīng)抽×7＝3，[40，50）應(yīng)抽×7＝2，[50.60）應(yīng)抽×7＝1，∴X的所有可能取值為0，1，2，3，P（x＝0）＝＝，P（x＝1）＝＝，P（x＝2）＝＝，P（x＝3）＝＝，隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P∴E（x）＝0×+1×+2×+3×＝．3．第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，在保持原有40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競技和霹靂舞兩個(gè)競賽項(xiàng)目，國家體育總局為了深入了解各省在“電子競技”和“霹靂舞”兩個(gè)競賽項(xiàng)目上的整體水平，隨機(jī)選取了10個(gè)省進(jìn)行研究，便于科學(xué)確定國家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員，各省代表隊(duì)人數(shù)如下表：省代表隊(duì)ABCDEFGHIJ電子競技45512738571926473429霹靂舞26154442322856364820（1）從這10支省代表隊(duì)中隨機(jī)抽取3支，在抽取的3支代表隊(duì)參與電子競技的人數(shù)均超過30人的條件下，求這3支代表隊(duì)參與霹靂舞的人數(shù)均超過30人的概率；（2）若霹靂舞參與人數(shù)超過40人的代表隊(duì)所在地可以成為國家隊(duì)集訓(xùn)基地，現(xiàn)從這10支代表隊(duì)中隨機(jī)抽取4支，記X為選出代表隊(duì)所在地可以成為國家隊(duì)集訓(xùn)基地的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）某省代表隊(duì)準(zhǔn)備進(jìn)行為期3個(gè)月的霹靂舞封閉訓(xùn)練，對太空步、空中定格、整體移動三個(gè)動作進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個(gè)動作至少有2個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”，已知在一輪測試的3個(gè)動作中，甲隊(duì)員每個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動作互不影響且每輪測試互不影響：如果甲隊(duì)員在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于9次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？【解答】解：（1）由題可知10支代表隊(duì)，參與“霹靂舞”的人數(shù)依次為26，15，44，42，32，28，56，36，48，20，參與“電子競技”的人數(shù)依次為45，51，27，38，57，19，26，47，34，29，其中參與“電子競技”的人數(shù)超過30人的代表隊(duì)有6個(gè)，參與“霹靂舞”的人數(shù)超過30人，且“電子競技”的人數(shù)超過30人的代表隊(duì)有4個(gè)，記“這10支代表隊(duì)中隨機(jī)選取3支代表隊(duì)參與“電子競技”的人數(shù)均超過30人”為事件A，“這10支代表隊(duì)中隨機(jī)選取3支代表隊(duì)參與“霹靂舞”的人數(shù)均超過30人”為事件B，則，所以；（2）參與“霹靂舞”人數(shù)在40人以上的代表隊(duì)共4支，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，所以X的分布列如下表：X01234P所以；（3）記甲隊(duì)員在一輪測試中獲得“優(yōu)秀”為事件C，則，由題意，甲隊(duì)員在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由題意，得，因?yàn)閚∈N*，所以n的最小值為11，故至少要進(jìn)行11輪測試．4．交通擁堵指數(shù)（TPI）是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，TPI越大代表擁堵程度越高．某平臺計(jì)算TPI的公式為：TPI＝，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個(gè)等級：TPI[1，1.5）[1.5，2）[2，4）不低于4擁堵等級暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶履呈?023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖：（1）從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；（2）從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）把12月29日作為第1天，將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次記為a1，a2，?，a7，將2022年同期TPI依次記為b1，b2，?，b7，記ci＝ai﹣bi（i＝1，2，?，7），．請直接寫出|取得最大值時(shí)i的值．【解答】解：（1）由圖可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的共2天，所以這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為；（2）由圖可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天數(shù)只有1月3日和1月4日這2天，所以，，，所以X的分布列為：X012P數(shù)學(xué)期望；（3）由題意，c1＝a1﹣b1＝1.908﹣2.055＝﹣0.147，c2＝a2﹣b2＝2.081﹣2.393＝﹣0.312，c3＝a3﹣b3＝1.331﹣1.529＝﹣0.198，c4＝a4﹣b4＝1.202﹣1.302＝﹣0.1，c5＝a5﹣b5＝1.271﹣1.642＝﹣0.371，c6＝a6﹣b6＝2.256﹣1.837＝0.419，c7＝a7﹣b7＝2.012﹣1.755＝0.257，所以，所以取得最大值時(shí)，i＝6．5．在某次現(xiàn)場招聘會上，某公司計(jì)劃從甲和乙兩位應(yīng)聘人員中錄用一位，規(guī)定從6個(gè)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題作答．假設(shè)甲能答對的題目有4道，乙每道題目能答對的概率為．（1）求甲在第一次答錯(cuò)的情況下，第二次和第三次均答對的概率；（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙誰被錄用的可能性更大？【解答】解：（1）記“甲在第一次答錯(cuò)”為事件A，記“甲在第二次和第三次均答對”為事件B，P（A）＝，P（AB）＝××＝，∴P（B/A）＝＝＝；（2）設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，則X的分布列為：X123PE（X）＝1×+2×+3×＝2，D（X）＝（1﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×＝；設(shè)乙正確完成面試的題為Y，則Y取值分別為0，1，2，3，P（Y＝0）＝，P（Y＝1）＝××（）2＝，P（Y＝2）＝×（）2×＝，P（Y＝3）＝（）3＝，則Y的分布列為：Y0123P∴E（Y）＝0×+1×+2×+3×＝2．D（Y）＝（0﹣2）2×+（1﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×＝．由E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），可得，甲被錄用的可能性更大．6．基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)，也稱強(qiáng)基計(jì)劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．2022年有3500名學(xué)生報(bào)考某試點(diǎn)高校，若報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績ξ～N（μ，100），且P（ξ≤50）＝P（ξ≥70）．筆試成績高于70分的學(xué)生進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．（1）從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，求這10人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；（2）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若X～N（μ，σ2），則P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|?2σ）≈0.9545，0.8413510≈0.1777，0.9772510≈0.7944．【解答】解：（1）由題意可知μ＝60，σ＝10，則P（ξ＞70）＝P（ξ＞μ+σ）＝≈0.15865，所以，從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，這10人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為P＝1﹣（1﹣0.15865）10≈0.8223．（2）由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3、4，則P（X＝0）＝（）2×（）2＝，P（X＝1）＝CC，P（X＝2）＝+C＝，P（X＝3）＝C＝，P（X＝4）＝＝，所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X01234P故E（X）＝＝．7．某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲；每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成一個(gè)小組．游戲規(guī)則如下：每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”已知甲乙兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2．（1）若p1＝，p2＝，求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率；（2）已知p1+p2＝，則：①p1，p2取何值時(shí)能使得甲、乙兩名隊(duì)員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率最大？并求出此時(shí)的最大概率；②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊(duì)員想要獲得297次“神投小組”的稱號，則他們平均要進(jìn)行多少輪游戲？【解答】解：（1）每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，則可能的情況有①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，乙投中兩次；∵p1＝，p2＝，∴他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率為?（）2×（）2+（）2×××+（）2×（）2＝；（2）①由題意得他們在一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率P＝?p1×（1﹣p1）+××p2（1﹣p2）+×＝2p1p2（p1+p2）﹣3×，∵p1+p2＝，∴P＝p1p2﹣3×，又0≤p1≤1，0≤p2≤1，則≤p1≤1，令m＝p1p2＝﹣+＝﹣（p1﹣）2+，則m∈[，]，∴P＝y(tǒng)（m）＝m﹣3m2＝﹣3（（m﹣）2+，∴P＝m﹣3m2在[，]上單調(diào)遞增，則Pmax＝y(tǒng)（）＝，此時(shí)p1＝p2＝；②他們小組在n輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數(shù)ξ滿足ξ～B（n，），∴np＝297，則n＝＝625，∴平均要進(jìn)行625輪游戲．8．兔年春節(jié)期間，煙花“加特林”因燃放效果酷炫在網(wǎng)上走紅，隨之而來的身價(jià)暴漲也引發(fā)關(guān)注，甚至還有買不到的網(wǎng)友用多支普通的手持燃放煙花自制“加特林”．據(jù)悉，有A，B，C三家工廠可以各自獨(dú)立生產(chǎn)煙花“加特林”，已知A工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)B工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”也是正品的概率為，B工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)C工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為，C工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)A工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為．（1）分別求A，B，C三家工廠各自獨(dú)立生產(chǎn)出來的煙花“加特林”是正品的概率；（2）A，B，C三家工廠各自獨(dú)立生產(chǎn)一件煙花“加特林”，記隨機(jī)變量λ表示“三家工廠生產(chǎn)出來的正品的件數(shù)”，求λ的數(shù)學(xué)期望，它反映了什么實(shí)際意義？【解答】解：（1）設(shè)A，B，C三家工廠各自獨(dú)立生產(chǎn)出來的煙花“加特林”是正品分別為事件A，B，C，A工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)B工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”也是正品的概率為，B工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)C工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為，C工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”是正品同時(shí)A工廠生產(chǎn)的煙花“加特林”不是正品的概率為，則，解得P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝；（2）隨機(jī)變量λ表示“三家工廠生產(chǎn)出來的正品的件數(shù)”，λ所有可能取值為0，1，2，3，故P（λ＝0）＝，P（λ＝1）＝＝，P（λ＝2）＝，P（λ＝3）＝，故隨機(jī)變量λ的分布列如下：λ0123P故E（λ）＝＝，數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量最基本的數(shù)學(xué)特征之一，它反映了隨機(jī)變量λ平均取值的大?。?．某甜品屋店慶當(dāng)天為酬謝顧客，當(dāng)天顧客每消費(fèi)滿一百元獲得一次抽獎機(jī)會，獎品分別為價(jià)值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽獎，抽到價(jià)值為5元，10元，15元的甜品的概率分別為，且每次抽獎的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）若某人當(dāng)天共獲得兩次抽獎機(jī)會，設(shè)這兩次抽獎所獲甜品價(jià)值之和為X元，求X的分布列與期望．（2）某大學(xué)“愛牙協(xié)會”為了解“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關(guān)系，隨機(jī)對200名青少年展開了調(diào)查，得知這200個(gè)人中共有120個(gè)人“有蛀牙”，其中“不愛吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的有50人．有2×2列聯(lián)表：有蛀牙無蛀牙合計(jì)愛吃甜食不愛吃甜食合計(jì)完成上面的列聯(lián)表，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有99.5%的把握認(rèn)為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.010.005k3.8416.6357.879【解答】解：（1）由已知，隨機(jī)變量X的所有取值為10，15，20，25，30，且P（X＝10）＝＝，P（X＝15）＝2×＝，P（X＝20）＝2×＝，P（X＝25）＝＝，P（X＝30）＝＝，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X1015202530P所以E（X）＝+++25×+30×＝；（2）由題意可得列聯(lián)表為有蛀牙無蛀牙合計(jì)愛吃甜食9030120不愛吃甜食305080合計(jì)12080200所以K2＝＝28.125＞7.879，所以有99.5%的把握認(rèn)為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)．10．近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進(jìn)展，某城市推出了兩套方案，并分別在A，B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行，方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動，通過設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣傳教育活動；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過設(shè)備進(jìn)行自動登錄、自動稱重、自動積分等一系列操作，建立垃圾分類激勵機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動居民積極主動地參與垃圾分類，經(jīng)過一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如圖頻率分布直方圖：（1）請通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案．現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）設(shè)A小區(qū)方案一的滿意度平均分為，B小區(qū)方案二的滿意度平均分為，由頻率分布直方圖可得，，，∵72.6＜76.5，∴方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎；（2）由題意可知方案二中，滿意度不低于70的頻率為（0.040+0.030+0.010）×10＝0.8，低于70分的頻率為（0.005+0.005+0.010）×10＝0.2，現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，則X～B（5，），X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，，，，，，，故X的分布列為：X012345P故．11．為弘揚(yáng)體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入決賽．規(guī)定：先累計(jì)勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結(jié)束后，將不能參加后面場次的比賽．在規(guī)則允許的情況下，甲隊(duì)中球員M都會參賽，他上場與不上場甲隊(duì)一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為．（1）求甲隊(duì)第二場比賽獲勝的概率；（2）用X表示比賽結(jié)束時(shí)比賽場數(shù)，求X的期望；（3）已知球員M在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊(duì)比賽獲勝的概率．【解答】解：（1）設(shè)Ai為“第i場甲隊(duì)獲勝“，Bi為“球員M第i場上場比賽“，i＝1，2，3，根據(jù)全概率公式可得P（A2）＝P（B2）P（A2|B2）+P（）P（）＝＝；（2）由題意可得X＝2，3，又P（A1）＝，由（1）知P（A2）＝，∴P（）＝，P（）＝，∴P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（）＝＝，∴P（X＝3）＝1﹣P（X＝2）＝，∴E（X）＝2×+3×＝；（3）∵p（）＝，此時(shí)P（A3）＝，∴所求概率為：P（）+P（）+P（）＝＝．12．2023年的春節(jié)聯(lián)歡晚會以“欣欣向榮的新時(shí)代中國，日新月異的更美好生活”為主題，通過各種藝術(shù)形式，充分展現(xiàn)開心信心、頑強(qiáng)奮進(jìn)的主旋律．調(diào)查表明，觀眾對春晚的滿意度與節(jié)目內(nèi)容、燈光舞美、明星陣容有極強(qiáng)的相關(guān)性．現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為a，b，c，并對它們進(jìn)行量化；0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示非常滿意．再用綜合指標(biāo)y＝a+b+c的值評定觀眾對春晚的滿意程度：若y≥4，則表示非常滿意；2≤y≤3表示基本滿意；0≤y≤1表示不太滿意．為了了解某地區(qū)觀眾對今年春晚的滿意度，現(xiàn)從此地觀眾中隨機(jī)電話連線10人進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：人員編號12345678910滿意度指標(biāo)（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，0，1）（1，2，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（0，1，0）（1，0，2）（1）在這10名被電話調(diào)查的人中任選2人，求這2人對燈光舞美的滿意度指標(biāo)不同的概率；（2）從滿意程度為“非常滿意”的被調(diào)查者中任選一人，其綜合指標(biāo)為m，從滿意程度不是“非常滿意”的被調(diào)查者中任選一人，其綜合指標(biāo)為n，記隨機(jī)變量X＝m﹣n，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）10名被調(diào)查者中，燈光舞美的滿意度指標(biāo)為0的共2人，燈光舞美的滿意度指標(biāo)為1的共5人，燈光舞美滿意度指標(biāo)為2的共3人，記“從10名被電話調(diào)查的人中任選2人，這2人對燈光舞美的滿意度指標(biāo)不同”為事件A，∴；（2）計(jì)算10名被調(diào)查者的綜合指標(biāo)，可列下表：人員編號12345678910綜合指標(biāo)4462453513其中滿意程度為“非常滿意”的共6名，則m的值可能為4，5，6；滿意程度不是“非常滿意”的共4名，則n的值可能為1，2，3，所以隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，3，4，5，，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X12345P．13．從《唐宮夜宴》火爆破圈開始，某電視臺推出的“中國節(jié)日”系列節(jié)目引發(fā)廣泛關(guān)注．某統(tǒng)計(jì)平臺為調(diào)查市民對“中國節(jié)日”系列節(jié)目的態(tài)度，在全市市民中隨機(jī)抽取了100人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“中國節(jié)日”系列節(jié)目喜歡的人數(shù)如下表．（注：年齡單位為歲，年齡都在[15，75）內(nèi)）年齡[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）頻數(shù)102030201010喜歡人數(shù)616261264（1）若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為對“中國節(jié)日”系列節(jié)目的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)喜歡不喜歡合計(jì)（2）若按年齡段用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中年齡在[45，75）被調(diào)查的人中選取8人，現(xiàn)從選中的這8人中隨機(jī)選取3人，求這3人中年齡在[55，65）的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828【解答】解：（1）列聯(lián)表如下：年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)喜歡224870不喜歡181230合計(jì)4060100＝≈7.143＞6.635，則能在犯