《高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》高中數(shù)學(xué)必修四

學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載《 年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》——高中數(shù)學(xué)必修四第一章基本初等函數(shù)II一、基礎(chǔ)知識(shí)（理解去記）定義1角，一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2角度制，把一周角360等分，每一等價(jià)為一度，弧度制：把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫L做一弧度。360度=2弧度。若圓心角的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，則其弧度數(shù)的絕對(duì)值|a|='其中r是圓的半徑。定義3三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角a的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終2邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點(diǎn)的距離為r,則正弦函數(shù)sina='余弦x y x r r_函數(shù)cosa=r,正切函數(shù)tana=x，余切函數(shù)cota=2，正割函數(shù)seca=x，余割函數(shù)csca=2定理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:倒數(shù)關(guān)系：tana=cota,sina=csca，cosa=seca；sina cosa商數(shù)關(guān)系： ,cota=- tana=cosa sina；乘積關(guān)系：tanaXcosa=sina,cotaXsina=cosa；商數(shù)關(guān)系：平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1,tan2a+1=sec2a,cot2a+1=csc2a.定理2 誘導(dǎo)公式(I)sin(a+)=-sina,cos(+a)=-cosa ,tan( +a )=tana,cot( +a )=cota ;(II)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana,cot(-a)=cota;(III)sin(-a)=sina,cos(-a)=-cosa,tan=(-a)=-tana,cot(-aa)=-tana,cot(-a)=-cota;(兀)一a9(W)sin' )(兀)--a12 )=cosa,cos(兀)--a?…12 )_=sina,tan =cota（記法:奇變偶不變，符號(hào)看象限）。定理3（根據(jù)圖像去記） 正弦函數(shù)的性質(zhì)：根據(jù)圖象可得y=sinx（x￡R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)上為減函數(shù)，最小正周期為2兀.奇2k兀+三,2k兀+上為減函數(shù)，最小正周期為2兀.奇」上為增函數(shù)，在區(qū)間L 2 2偶數(shù).有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+2時(shí)，y取最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=3k兀-2時(shí),y取最小值-1。對(duì)稱(chēng)性：直兀線(xiàn)x=k兀+,均為其對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)（k兀，0）均為其對(duì)稱(chēng)中心，值域?yàn)椋?1,1］。這里k￡Z.定理4（根據(jù)圖像去記）余弦函數(shù)的性質(zhì)：根據(jù)圖象可得y=cosx（x￡R）的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間［2k,2k+］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［2k-,2k］上單調(diào)遞增。最小正周期為2。奇偶性：偶函數(shù)。對(duì)稱(chēng)性：直線(xiàn)

x=k均為其對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)', 兀八x=k均為其對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)', 兀八k兀+—,027均為其對(duì)稱(chēng)中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2k時(shí)，y取最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2k-時(shí)，y取最小值-1。值域?yàn)椴?,1］。這里k￡Z.（根據(jù)圖像去記）正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx（x豐k+2）在開(kāi)區(qū)間（k-2,k+2）兀上為增函數(shù)，最小正周期為，值域?yàn)?-8,+8),點(diǎn)(k,0),(k+2,0)均為其對(duì)稱(chēng)中心。定理6兩角和與差的基本關(guān)系式：cos(a—B)=cosacosp+sinasinp,sin(a—p)=sinacosp-cosa(tana—tanP)+ (1+tanatanP)TOC\o"1-5"\h\zsinp;tan(a—p)=' r7定理7和差化積與積化和差公式：————?c,?ar?1 27 1 2J.?ac?1 2J[ 2)sina+sinp=2sin' /cos' /,sina -sinp=2sin' /cos' /,，a+P) (a—P) (a+P) (a—0、…qr1 2J〔 2J~qr.1 2J.1 2Jcosa+cosp=2cos' /cos' /,cosa -cosp =-2sin' 'sin' ',\o"CurrentDocument"1 1sinacosp=2[sin(a+p)+sin(a-p)],cosasinp=2[sin(a+p)-sin(a-p)],1 1cosacosp=2[cos(a+p)+cos(a-p)],sinasinp=-2[cos(a+p)-cos(a-p)]./ 口訣記憶：積化和差：2前系數(shù)：“有余為正，無(wú)余為負(fù)”“前和后差”“同名皆余，異名皆正”“余后為和，正后為差”和差化積：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差負(fù)正弦定理8倍角公式(常考)|:sin2a=2sinacosa,cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a,tana.c(1-tan2a)tan2a=(a)+i'(1—cosa) (a)+|(1+cosa)定理9半角公式:sin12J=' 2,cos12J=' 2(a)tan1(a)tan12J=；(1-cosa)-. \(1+cosa)_(1+cosa)sina(1-cosa)

sina定理10萬(wàn)能公式:2tantana1—tan22tansin定理10萬(wàn)能公式:2tantana1—tan22tansina= 1+tan21—tan2cosa= 1+tan2(a\定理11****【必考】輔助角公式：如果a,b是實(shí)數(shù)且a2+b2中0,則取始邊在x定理11bai t(a,b)的一個(gè)角為B，則sinB=血2+b2,cosB=''a2+b2，對(duì)任意的角a.J(a2+b2) 一asina+bcosa= sin(a+P).定理12定理12正弦定理:在任意^ABC中有sinAsinBsinC2R，其中a,b,c分別是角A，B，C的對(duì)邊，R為^ABC外接圓半徑。定理13余弦定理：在任意^ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊?！鞠鄳?yīng)高考題】（2011陜西卷18相（本小題滿(mǎn)分12分）敘述并證明余弦定理.【分析思路點(diǎn)撥】本題是課本公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)，這是高考考查的常規(guī)方向和考點(diǎn)，引導(dǎo)考生回歸課本，重視基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)和鞏固.【解】敘述：余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩遍平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍?；颍涸赹ABC中，a,b,c為A,B,C的對(duì)邊，有a2=b2+c2—2bccosA,b2=c2+a2—2cacosB,c2=a2+b2—2abcosC.證明：（證法一）如圖，c2=BC=AC2—2AC?AB+AB2=AC2—2|AC?]AB|cosA^AB2=b2—2bc_cosA+c2即 a2=b2+c2—2bccosAB同理可證 b2=c2+a2—2cacosBc2=a2+b2—2abcosC

（證法二）已知AABC中，A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,,以A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C(bcosA,bsinA),B(c,0),a2二|BC|2二(bcosA-c)2+(bsinA)2-b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c=b2+c2-2bccosA,a2=b2+c2—2bccosA同理可證b2-c2+a2-2cacosBc2-a2+b2-2abcosC定理14圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin（x+①）的圖1象（相位變換）；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的①，得到y(tǒng)=sin3x（①〉0）的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin（3x+①）（3>0）的圖象（周期變換）；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin（3x+①）（3,g①>0）（|A|叫作振幅）的圖象向右平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=Asin3x的圖象。函數(shù)y=sinx2'2的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作函數(shù)y=sinx2'2的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx（x￡[-1,1]）,函數(shù)y=cosx（x￡[0,的反函數(shù)叫反正切函]）的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx（x￡[-1,1]）.函數(shù)y=tanx'的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x￡[-8,+8]).y=cosx(x￡[0,])的反函數(shù)稱(chēng)為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x￡[-8,+8]).定理15三角方程的解集，如果a￡(-1,1),方程sinx=a的解集是｛x|x=n+(-1)narcsina,n￡Z｝。方程cosx=a的解集是｛x|x=2kx±arccosa,k￡Z｝.如果a￡R,方程tanx=a的解集是｛x|x=k+arctana,k￡Z｝。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.xe0,xe0,—若12則sinx<x<tanx.二、基礎(chǔ)例題（必會(huì)）1.結(jié)合圖象解題。【高考真題】(2011.江蘇卷9)函數(shù)f(x)=Asin(wx+①),(A,叫①是常數(shù)，A>0,w>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)=T 7 兀 兀 兀一【解析】：由圖可知：A=+'2,=777?！?=,3=2,2*7+中=4 12 3 4 3f(0)=<2sin(k兀一g兀)=±[例1求方程sinx=lg|x|的解的個(gè)數(shù)?！窘狻吭谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=sinx與y=lg|x|的圖象(見(jiàn)圖)，由圖象可知兩者有6個(gè)交點(diǎn)，故方程有6個(gè)解。.三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例2設(shè)x￡(0,),試比較cos(sinx)與sin(cosx)的大小。xG【解】若xG【解】若5,兀J,則cosxW1且cosx>-1,所以cos所以sin(cosx)<0,又0<sinxW1,所以cos(sinx)>0,所以cos(sinx)>sin(cosx).八?！?一2八?！?一2；2，則因?yàn)閟inx+cosx=1cosxJ - /- (sinxcos4+sin4cosx)=v2sin(x+4)所以0<sinx<2-cosx<2,兀所以cos(sinx)>cos(2-cosx)=sin(cosx).綜上，當(dāng)x￡(0,)時(shí)，總有cos(sinx)<sin(cosx).例3已知。，B例3已知。，B為銳角兀且x?(a+p-2)>0,求證:1cosa、

sinP

、sinpj1cosP]Isinax<2.兀?！咀C明】若a+p>2,則x>0,由a>2-p>0得cosa<cos(2-p)=sinp,cosPcoscosPicosa'所以11且]Isina1cosa、

sinP

、sinpJ1包]IsinaJ0=2.所以0<sinicosa'所以11且]Isina1cosa、

sinP

、sinpJ1包]IsinaJ0=2.兀若。+p<2，貝Ux<0由0<a<2-p<2得cosa>cos(兀若。+p<2，貝Ux<0cosPcoscosP‘cosa'所以f包1IsinaJ'cosa、

sinP

、sinpJf包1IsinaJ0‘cosa'所以f包1IsinaJ'cosa、

sinP

、sinpJf包1IsinaJ0=2，得證。注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。.最小正周期的確定。例4求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期。兀【解】首先，T=2是函數(shù)的周期(事實(shí)上，因?yàn)閏os(-x)=cosx,所以co|x|=cosx)；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=k+工時(shí)，y=0(因?yàn)閨2cosx|W2<),所以若最小正周期為T(mén)0,則T0=m,m￡N+,又sin(2cos0)=sin2豐sin(2cos)，所以T0=2。.三角最值問(wèn)題。例5已知函數(shù)y=sinx+門(mén)+cos2x，求函數(shù)的最大值與最小值?！鰕2cos0,\：1+cos2x—>2sin0【解法一】 令sinx=兀,'2cos0+v2sin0=2sin(0+—).則有y= 4因?yàn)?兀八3—<0<一兀4，所以2兀 兀—因?yàn)?兀八3—<0<一兀4，所以2兀 兀—<0+—<K所以兀0<sin(0+一)4W1,9所以當(dāng)3=一兀4兀即x=2k-2(k￡Z)時(shí)，ymin=0,9=1當(dāng)4兀即x=2k+2(k￡Z)時(shí)，ymax=2.0 八(1+cos0)例6設(shè)0<0<，求sin2 的最大值。\o"CurrentDocument"c 0 兀 0 00 < —< — — —【解】因?yàn)?<0 <，所以 2 2，所以sin2>0, cos2>0.6 66cos226 0 0,2?2sin2—?cos2—?cos2—: 2 2 226cos226 0 0,2?2sin2—?cos2—?cos2—: 2 2 22x( 62sin2—2V 7?C0s26.COs26]

2 2.16=\''276 6 6<2 <2 6 4、3當(dāng)且僅當(dāng)2sin22=cos22,即tan2=2 ,6=2arctan2 時(shí)，sin2 (1+cos6)取得最大值9例7若A,B,C為^ABC三個(gè)內(nèi)角，試求sinA+sinB+sinC的最大值。A+BA—B0.A+B <2sin TOC\o"1-5"\h\z【解】因?yàn)閟inA+sinB=2sin2cos2 2，①一兀 一兀 一兀C+—C——C+—兀入. 3 3—? 3一=2sin 3cos <2sin A+B-C--A+B-C-- 3<2sin—4 3,③.口C+-A+B+C+-sin*+sin-3二2sin 3cos又因?yàn)?2 4由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin3W4sin3,兀3<3所以sinA+sinB+sinCW3sin3=2\o"CurrentDocument"兀 3<3當(dāng)A=B=C=3時(shí)，(sinA+sinB+sinC)max=2.注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|W1、|cosx|W1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。.換元法的使用。sinxcosxy= 例8求1+sinx+cosx的值域。【解】設(shè)t=sinx+cosx==\/2sin(x+【解】設(shè)t=sinx+cosx=兀-1<sin(x+)<1,因?yàn)?4又因?yàn)閠2=1+2sinxcosx,1212-1所以sinxcosx=2，所以L(fǎng)llz1<y<J所以2 —— 23w-1因?yàn)閠W3w-1因?yàn)閠W-1,所以2所以yW-1.y￡所以函數(shù)值域?yàn)?lt;2+12,一1U-1,<2-1

2例9已知a0=1,an= an-1 (n￡N+),求證：an>2n+2'0,y'【證明】由題設(shè)an>0,令an=tanan,an￡' )，則an=I■1+tan2a -1飛 nan=I■1+tan2a -1飛 n-1tanan-1seca-11-cosa n-1—tanan-1sinan-1a-n—1因?yàn)?1—a所以an=2n-111]所以an、27又因?yàn)閍0=tana1=1,兀所以a0=4a,所以n兀又因?yàn)楫?dāng)0<x<兀又因?yàn)楫?dāng)0<x<2時(shí)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，然后再保持縱坐標(biāo)也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變，a=tan > tanx>x,所以n 2n+2 2n+2注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。1o,7f另外當(dāng)x￡127時(shí)，有tanx>x>sinx,這是個(gè)熟知的結(jié)論，暫時(shí)不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很容易的。6.圖象變換【?？肌浚簓=sinx（x￡R）與y=Asin（3x+中）（A,3，①>0）.由y=sinx的圖象向左平移①個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的①，得到y(tǒng)=Asin（3x+中）的圖象;縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3，最后向左平移3個(gè)單位，得到

y=Asin(3x+?)的圖象。M,0、7對(duì)稱(chēng)，例10例10已知f(x)=sin(3x+①)(3>0,0W①W),0、7對(duì)稱(chēng)，兀且在區(qū)間1叱L是單調(diào)函數(shù)，求①和3的值。對(duì)任意x￡R【解】由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x),所以sin(3+P)=sin(-3x+中)，所以cosP對(duì)任意x￡R成立。兀又0W①W,解得①=2,77對(duì)稱(chēng)，所以(3兀八M一,0因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于I4

、“3 、兀_%)+f(—兀+%)4 =0。f(3兀)取x=0,得4 =0所以4所以sin'=0.2(k￡Z),即3=3(2k+1)(k￡Z).又3>0,取k=0時(shí)，此時(shí)f(x)=sin(2x+2)在［0,2］上是減函數(shù);兀取k=1時(shí)，3=2,此時(shí)f(x)=sin(2x+2)在［0,兀3］上是減函數(shù);10 兀取k=2時(shí)，33，此時(shí)f(x)=sin(3x+2)在［0,兀2］上不是單調(diào)函數(shù)，2綜上，3=3或2。7.三角公式的應(yīng)用。例11已知sin(-5)J3,sin(5+)=13,且(里,2兀+』27,求sin2,cos2的值?！窘狻恳?yàn)椤窘狻恳驗(yàn)?： 12V'1-sin2(a-P)=-一所以cos(-)」 13又因?yàn)?把,2兀+』27,所以cos(+120所以sin2=sin(+-)+()=sin(+)eos()+cos( +)sin()」69cos2=cos(-+-))=cos(+)cos()+sin(+)sin()=-1.例12已知^ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，且cosAcosCcosBA—Ccos 試求2值。A—C【解】因?yàn)锳=1200-C,所以cos2=cos(600-C),cos(1200—C)+cosC又由于cosAcosCcos(1200—C)cosC cosCcos(1200—C)2cos6002cos600cos(600—C)2cos(600—C)![cos1200+cos(1200—2C)]cosQ20?！?C)—1224V2cos2所以A—CA—C +2cos —3v2二0。A—Cv2

cos 二解得22或A—Ccos 23-<2A—Ccos又2 >0,A—C<2cos 二所以2例13求證：tan20°+4cos70°.sin20°【解】tan20°+4cos70°=cos20°+4sin20°sin20°+4sin20°cos20°sin20°+2sin40°cos20°cos20°sin20°+sin40°+sin40° 2sin30°cos10°+sin40°cos20°cos20°sin80°+sin40°2sin60°cos20°cos20°cos20°三、趨近高考（必懂）1.（2011.陜西卷16．）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在4ABC中，NABC=60,NBAC=90,AD是BC上的高，沿AD把4人3口折起，使NBDC=90.(1)證明：平面人口8，平面BDC；(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求AE與DB夾值．【分析】(1)確定圖形在折起前后的不角的余弦變性質(zhì)，如角的大小不變,線(xiàn)段長(zhǎng)度不變,線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系不變,再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；(2(1)證明：平面人口8，平面BDC；(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求AE與DB夾值．【分析】(1)確定圖形在折起前后的不角的余弦變性質(zhì)，如角的大小不變,線(xiàn)段長(zhǎng)度不變,線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系不變,再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；(2)在(1)的基礎(chǔ)上確定出三線(xiàn)兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．【解析】(1),??折起前AD是BC邊上的高，???當(dāng)4ABD折起后， AD±DC,AD±DB,又DBp|DC=D,?ad，平面BDC,VADU平面ABD,,??平面人8口，平面BDC.(2)由NBDC=90及(1)知DA,DB,DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|=1,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB,DC,DA所在直線(xiàn)為羽y,工軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得：D(0,0,0),B(L0,0),C(030),A(0O\3)舊2,2,0),13一所以AE=(-,-,-x：3),DB=(1,0,0),乙乙???cos<AE,DB〉=AE[DB

AE|-|DB<22~22所以AE與DB夾角的余弦值是法.22兀、 -tanx.(2011.江蘇卷7)已知tan(x+)=2,則的值為4 tan2x兀兀、【解析】：tanx=tan(x+---)=

44兀tan('+4)-_1tanx_tanx _(1—tan2x)_4tan(x+2)+1不匹 2tanx4 1—tan2x.(2011.廣東卷16)．(本小題滿(mǎn)分12分)1兀、已知函數(shù)f(x)=2sm(二x--),xgR.36“5兀、⑴求f(-)的值;(2)(2)設(shè)a,pe0,—10f(3P+2兀)=6，求cos(a+p)的值.一，5兀、一.15兀兀、一.兀=TOC\o"1-5"\h\z【解析】：(1)f( )=2sin(—x--)=2sm =\；24 34 6 4兀 1 兀、兀 10 5(2) f(3a+—)=2sin[—(3a+—) 一一]=2sina = 一，即 sina=一2 3 2 6 13 13f(3p+2兀)=2sin[i(3p+2兀)--]=2sin(p+-)=6,即cosp=33 6 2 5 5cosa=<1-sin2a=13,sinP=J1-cos2p=5123 5 4 16...cos(a+p)=cosacosp-sinasinp=—x—-—x—=—135135 654.（2011.安徽卷9）動(dòng)點(diǎn)AG,y）在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周。八 ， ，1，則當(dāng)0<t<12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y，則當(dāng)0<t<12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A、[0,1]B、11,7]C、[7,12]D、[0,1]和[7,12A、[0,1]B、11,7]C、[7,12]D、[0,1]和[7,12]【解析】畫(huà)出圖形，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A與x軸正方向夾角為a,則t=0時(shí)a=?，每秒鐘旋轉(zhuǎn)看，在te[Q1]上ae[[,￡]，在[7,12]上ae[]?]，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t都是單調(diào)遞增的。故選D的取值范圍是冗兀冗兀.——一，兀.——一，兀，66，，33，在Asin2<sin2B+sin2C-sinBsinC四川卷中.)析由]題答案：C【解b2+c2-a2a2<b2+c2-bcnb2+c2-a2>bcn bc“ ，1c，?一>1ncosAN—n0<A<—北京卷）在^中，若:二北京卷）在^中，若:二.2兀v'3,/C=-3-，則a=,sinCsinC7 211sinB= b=x1=-【解析】 c弋3 2兀，兀B=—,A=—二B因此6 6，故a=b=1故為1.7.(四川省成都市2010屆高三第三次診斷理科)計(jì)算cot150—tan15。的結(jié)果是()(A)亨(B)/(C)343(D)2J3【答案】DE解析】解法:：mE15。一邊行15。=cazC45D-30D)-r^5D-30D)_14tan60。tan45”tan6O—tan45btan6Q"—tan45' 1+tan6Ttan45，_1+W^3—1y/3—11+y/3=[2+=-、自—?！岸_co<15"5in5in15'cos!5-_cos-15--5in:i5;Wn15-cos15"=詈匚班-isin30^.(成都2010屆高三第三次診斷文科)計(jì)算cos45"os15。一sin45"os75。的結(jié)果是( )\'3電\'3電；(A)^2- (B)帽(C)2(D)1【答案】Cw_ww.k#s5_u.co*m【解析】cos45°cos15°—sin45ocos75o=cos45°cos15°—sin45°sin15。=cos(45°+l5°)=cos60°1=2.(成都2010屆高三第三次診斷文科)先把函數(shù)f(x)=sinx—、回cosx的圖象按向量a=(§,0)平移得到

1曲線(xiàn)y=g(x),再把曲線(xiàn)y=g(x)上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的2倍,橫坐標(biāo)保持不變，得到曲線(xiàn)y=h(x),則曲線(xiàn)y=h(x)的函數(shù)表達(dá)式為( )w_ww.k#s5_u.co*m2(A)h(x)=sin(x—-3)(B)h(x)=sinx2(C)h(x)=4sin(x—§) (D)h(x)=4sinx【答案】A【解析】f(x)=2sin(x—中按向量a=(§，0)平移后，得到曲線(xiàn)y=g(x)=2sin(x—2")1 一一 ，一二，、 …—一 2再把縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1【答案】3www.k#s5u.co*m倍，橫坐標(biāo)保持不變，得到曲線(xiàn)y=h(x)=sin(x—-3)10(2011.【答案】3www.k#s5u.co*m已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x一4cosx。兀(i)求f(3)的值;(II)求f(x)的最大值和最小值。【解析】：”兀 2兀..兀，兀..3 9f(―)=2cos——+sm2——4cos—=-1+—-2=——.⑴ 3 3 3 3 4 4(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-127=3(cosx-3)2-3,xeR因?yàn)閏os因?yàn)閏osxJ-1,11所以當(dāng)cosx一時(shí)，27cosx二一 —一取最大值6；當(dāng)3時(shí)，取最小值311.(成都2010屆高三第三次診斷理科)已知sin(+)cos—cos(+)sin=3，則cos2的值為

【解析】因?yàn)閟in(【解析】因?yàn)閟in(+)cos—cos(+)sin=sin[(+)—]邑. 3=sin=J于是cos2于是cos2=1—2sin2221=1—3=312.(四川省攀枝花市2010年4月高三第二次統(tǒng)考文科試題)c0s41cos790—sin41cos1112www.k#s5u.co*m6.(綿陽(yáng)2010年4月高三三診理科試題)(本小題滿(mǎn)分12分)已知4ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A、B、C成等差數(shù)列，b=1,記角A=x,a+c=f(x).— —(I)當(dāng)x引6,4］時(shí)，求f(x)的取值范圍;-兀、_6f(x——)—(II)若6 5，求sin2x的值.解：(解：(I)由已知A、B、C成等差數(shù)列，得2B=A+C,;在△ABC;在△ABC中，A+B+C=，于是解得一兀，- 2兀B二一A+C=——3, 3;在4ABC;在4ABC中，sinAsinBsinCb=1，11a+c= ?兀sin—3TOC\o"1-5"\h\z?sinA+_1—sinC -.— 2V3 2—…sin— = [sinA+sin( A)]33 3主3[sinA+sin至cosA—cos生sinA] =2sin(A+-)3 3 3 =%3sinA+cosA 6,, 兀f(x)=2sm(x+-)6分即 66分由6.x.3得3.x+6.2，于是,；3.f(x).28分8分9分即f(x)的取值范圍為［*'3,2］.兀 兀，兀、6 :3f(x )=2sin(x +—)二一sinx=—(H)V6 66 5，即5.cosx=±、1-sin2x=±—\ 5

4 4 v'2 3兀 2兀cos尢=—— < A+C=—若5，此時(shí)由5 2知x>4，這與3矛盾.4cos尢=—TOC\o"1-5"\h\z???x為銳角，故5. 11分24sin2尢=2sin尢cos尢=一? 25. 12分7.(雅安2010屆高三第三次診斷性考試?yán)砜?(本題滿(mǎn)分12分)w_ww.k#s5_u.co*m三角形的三內(nèi)角A,BC所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,J設(shè)向量m=(c-a,b-a),n\o"CurrentDocument"(a+b,c)若m//n 一 一, 。⑴求角B的大?。虎魄髎inA+sinC的取值范圍。13.(自貢2010屆高三三診理科試題)(本小題滿(mǎn)分12分)（2分（2分） （4分）如圖4,已知△ABC中，|AC|=1,ZABC=120°,NBAC二°，記f（°）=AB*BC(I)求f(°)關(guān)于°的表達(dá)式；(II)求的值域。w_ww.k#s5_u.co*mIBCI_ 1 IAB?解：（I）,由正弦定理有：蓊"=sin120。=sin⑻°-°）IBC1=_1—si° IABI=sin（60。一°）sin20 sin120。4sin2sin(60O-°>13 2201cose，in二32 26)sin6一sin2。.i")32 21sin(26+三)-1=3 6 6兀(0<e<-)3(8分)(II)兀 兀 兀 5兀0<e<— —<26+—<一3 _>6 6 6一/1 ?！?lt;sin(26+—)<12 6f(e)e(0,1]6（12分）14.（南充2010屆高三4月月考理科試題）（本小題滿(mǎn)分12分）在^ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為A+B 7 .7u 不4sin2 cos2C=一,a+b=5,c=、7a、b、c, 2 2(1)求角C的大??；w_ww.k#s5_u.co*m(2)求^ABC的面積.4sin2"+'-cos2C=—,得4cos2—-cos2C—解：(1)由2 2 2 2；.4cos2C—4cosC+l=0「1cosC=一解得 2 ???C=60°(2)由余弦定理得C2=a2+b2—2abcosC即7=a2+b2—ab又a+b=5 Aa2+b2+2ab=25 ②由①②得ab=61absinC=地??.SAABC=2 215.（資陽(yáng)2009-2010學(xué)年度高三第三次高考模擬理）（本小題滿(mǎn)分12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，若角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊為射線(xiàn)I：丁=2%（%<0）(I)求tan2a的值；w_ww.k#s5_u.co*m、a、./ 、、2cos2——2sin(a—兀)—1v2cos(a )(II)求 4的值.tana=解：（I）在終邊l上取一點(diǎn)P（-1,-2），則2x2tan22x2tan2a= 1-22 3.4分a2cos2 2sin(a--)一12 )cosa+2sina(II)七2cos(a?2cos(a+—)cosa+(II)七2cos(a?2cos(a+—)cosa+2sinacosa-sina 8分1+2tana1+2x21-tana1-2=-512分11.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次統(tǒng)考文科試題）（12分）在AABC中，角1a a2+c2-b2=—ac分別是a,,c, 2.www.k#s5u.co*m⑴求sin2⑴求sin2A+C+cos2B

2的值；（I）若b=2，求AABC面積的最大值.解：解：（I）由余弦定理:cosB=—4sin2A+C-+cos2B=sin2(--B)+2cos2B-12 22B=cos2 +2cos2B-121+cosB +2cos2B-1v15(II)由b=2? ,a2+c2-b2=-ac2a2a2+c2，從而11=—ac+b2=—ac+4>2ac2 2SAABC故3（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)）16.（成都石室中學(xué)2010屆高三三診模擬理科）（12分）w_ww.k#s5_u.co*m已知AABC中,sinA(sinB+招cosB)二相sinC.（I）求角A的大小;（II）若BC=3,求AABC周長(zhǎng)的取值范圍。解：(I)A+B+C=兀得sinC=sin(A+B)代入已知條件得sinAsinB=%3cossinB兀tanA==3,A=一.「sinB中0，由此得 3 6分八「 2?！?2兀八B+C——，?二C———B（II）由上可知： 3 3由正弦定理得：AB+AC=2R(sinB+sinC)=2v3(sinB+sin(2^—B))AB+AC=AB+AC=即得：sinB+ -cosB)=6sin(B+看)2兀，一1 幾0<B<上得1<sin(B+-)<132 6...3<AB+AC<6，aAABC周長(zhǎng)的取值范圍為G'9]■ 12分5u.co*m第二章平面向量一、基礎(chǔ)知識(shí)（理解去記）定義1既有大小又有方向的量，稱(chēng)為向量。畫(huà)圖時(shí)用有向線(xiàn)段來(lái)表示，線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的模。向量的符號(hào)用兩個(gè)大寫(xiě)字母上面加箭頭，或一個(gè)小寫(xiě)字母上面加箭頭表示。書(shū)中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱(chēng)為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱(chēng)為單位向量【最近幾年?？肌俊６x2方向相同或相反的向量稱(chēng)為平行向量（或共線(xiàn)向量），規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律。定理1向量的運(yùn)算，加法滿(mǎn)足平行四邊形法規(guī)，減法滿(mǎn)足三角形法則。加法和減法都滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律。定理2非零向量a,b共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)N*0，使得a=%b.f定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a,b不共線(xiàn)，則對(duì)同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得c=xa+yb，其中a,b稱(chēng)為一組基底。定義3向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底，任取一個(gè)向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x,y，使得c=xi+yi，則（x,y）叫做c坐標(biāo)。

定義4向量的數(shù)量積，若非零向量a,b的夾角為°，則a,b的數(shù)量積記作a?b=|a|?|b|cos^=|a|?|b|cos<a,b>,也稱(chēng)內(nèi)積，其中|b|cos°叫做b在a上的投影(注：投影可能為負(fù)值)。定理4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，1.a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),a,(b+c)=a?b+a,c,xx+yy

1-2 1~2

i JX2+y2?:x2+y2a,b=x1x2+y1y2,cos(a,b)='1 1*2 2(a,b豐0),a//b=x1y2=x2y1,a,b=x1x2+y1y2=0.定義5若點(diǎn)P是直線(xiàn)P1P2上異于p1,p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使P1P八PP2，叫P分P1P2OP=所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則OP十OP=所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則 1 2-1+入。由此可得若P1,P,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x,y),(x2,y2),X二(x,y),(x2,y2),X二〈,y=則〔X+入X 21+入入y]+[y21+九X一X u=X一X2定義6設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=\：h2+k2個(gè)單位得到圖形F'，這一過(guò)程叫做平移。設(shè)p(x,y)是F上任意一點(diǎn)，平移到F'上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P'(X’‘y‘)，(x,=x+h則［y'=y+k稱(chēng)為平移公式。定理5對(duì)于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|a?b||a|?|b|,并且|a+b||a|+|b|.【證明】因?yàn)閨a|2?|b|2-|a?b|2=(X2+y；)(X2+")-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20,又|a?b|0,|a|?|b|0,所以|a|?|b||a?b|.由向量的三角形法則及直線(xiàn)段最短定理可得|a+b||a|+|b|.注:本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1)對(duì)n維向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同樣有|a?b||a|*|b|,化簡(jiǎn)即為柯西不等式：(X12+X2+…+X2)(y12+y2+…十甲-(x1y1+x2y2+…+xnyn)20,又|a?b|0,|a|?|b|0,所以|a|?|b||a?b|.由向量的三角形法則及直線(xiàn)段最短定理可得|a+b||a|+|b|.注:本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1)對(duì)n維向量，a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同樣有|a?b||a|*|b|,化簡(jiǎn)即為柯西不等式：(X12+X2+…+X2)(y12+y尸…+y2)-(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。2)對(duì)于任意n個(gè)向量，a1,a2,…,an,有|a1,a2,…,an||a1|+|a2|+…+|an|。二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】.向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用例1設(shè)O是正n邊形A1A2例1設(shè)O是正n邊形A1A2-An的中心，求證:OA+OA+…+OA=O.12 n【證明】S=OA+OA+…+OA若S豐On，石則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)n后與原正n邊形重合，所以S不變，這不可能，所以S二O例2給定例2給定△ABC，求證：G是^ABC重心的充要條件是**.GA+GB+GC=O.【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AD至P，使DP=GD，則AG=2GD=GP.又因?yàn)锽C與GP互相平分,所以BPCG為平行四邊形，所以BG//PC，所以GB=CP所以GA+GB+GC=GC+CP+PG=O.充分性。若GA+GB+GC=O延長(zhǎng)AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則GA=PG.因?yàn)镚C+PG+PC=O，則GB=PC

所以GB//CP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G為重心。例3在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對(duì)角線(xiàn)BD和AC的中點(diǎn)，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2?！咀C明】如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。 L ■ ■ 卜 to- fa因?yàn)锽P+PQ=BQ,DP+PQ=DQ，所以BQ2+DQ2=(BP+PQ)2+(DP+PQ)2BP2+DP2+2PQ2+2BP.PQ+2DP?PQ_BP2+DP2+2PQ2+2(BP+DP)?PQ=BP2+DP2+2PQQ.不= ①又因?yàn)锽Q+QC=BC,BQ+QA=BA,QA+QC=O,同理BA2+BC2=QA2+QC2+2BQ2同理，CD2+DA2=QA2+QC2+2QD2，由①，②，③可得BA2+BC2+CD2=4QA2+2(BQ2+QD之)=AC2+2(2BP2+2PQ2)=AC2+BD2+4PQQ得證.證利用定理證明共線(xiàn)例4△ABC外心為0，垂心為出重心為G。求證：0，G，H為共線(xiàn)，且OG：GH=1：

一一一一2—.OG=OA+AG=OA+-AM【證明】首先 3―1——— —1-—————OA+3(AB+AC)=OA+3(2AO+OB+OC)=3(OA+OB+OC).其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E,則連結(jié)CE后得CE1BC又AH1BC，所以AH//CEO又EA1AB,CH1AB,所以AHCE為平行四邊形。所以AH=ECCF 111 111 F F F F F T "" 1所以O(shè)H=OA+AH=OA+EC=OA+EO+OC=OA+OB+OC,所以O(shè)H=3OG所以O(shè)G與OH共線(xiàn)，所以O(shè),G,H共線(xiàn)。所以O(shè)G：GH=1：2o.利用數(shù)量積證明垂直例5給定非零向量a,b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a1b.【證明】|a+b|=|a-b|=(a+b)2=(a-b)20a2+2a?b+b2=a2-2a,b+b20a,b=00a1b.例6已知^ABC內(nèi)接于。O,AB=AC,D為AB中點(diǎn)，E為工ACD重心。求證：OE1CD。OA=a,OB=b,OC=c【證明】設(shè)--1z,、OD=—(a+b)TOC\o"1-5"\h\z則2 ,1 1 1 ,OE==—c+—a+—b.OE=3 2 61.CD=—(a+b)-c又2 , 1- ￥OE-CD所以=—a2=—a2+4 12_1a?(b-c).(因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)又因?yàn)锳B=AC,08=00所以O(shè)A為BC的中垂線(xiàn)。所以a-（b-c）=0.所以0E1CD。.向量的坐標(biāo)運(yùn)算例7已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：AF二AE?！咀C明】如圖所示，以CD所在的直線(xiàn)為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則A，”■■B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則B后=（x,y-1）,AC=（1,一口，因?yàn)锽E〃AC，所以-x-(y-1)=0.又因?yàn)?又因?yàn)?CE1=1AC1，所以x2+y2=2.+<3 1-<3TOC\o"1-5"\h\zx= ,y= .由①，②解得（2011.（2011.江蘇卷10）已知e,e是夾角為彳兀的兩個(gè)單位向量，3=3-2e,b=ke+e,若3B=0，1 2 3 12 12則k的值為【解析】：由b刃=0得：k=2(2011.廣東卷3).若向量a,b,c滿(mǎn)足a//b且a1c，則c-(a+2b)=\o"CurrentDocument"AE/*1,T-、"],lAE|2=4+262 2所以V 7]設(shè)F(x'J)，則CF=(]設(shè)F(x'J)，則CF=(x'1)=0.\o"CurrentDocument"—— —— x由CF和CE共線(xiàn)得2所以x=-（2+、；3），即F（-2-四1），lAF|2,2右=lAE|2所以=4+' ，所以AF=AEO（2011.湖南卷14）在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)BC=2BDCA3C，E則AD?BE=【解析】由題AD=CD-CA=1CB-CA，BE=CE-CB=1CA-CB，2 3所以AD.BE=*CB-CAM3CA-CB^-2-3+6CB-^CA=-4TOC\o"1-5"\h\zA?4 B?3 C?2 D.0[解析]:依題意得c1a,c1b，則c?(a+2b)=c?a+2c?b=0故選d.(2011.四川卷4)如圖，正六邊形 中,BA+CD+EF, f 《 \BE CD CF \—答案D【解析】：BA+CD+EF=BA+AF+EF=BF+EF=CE+EF=CF.(成都市立010福高三第三次診斷理科不知向量不一3,21b三(！l)；Ma+2b|的值為()(A)3、2(B)7 (C)17 (D)"3+