電動力學(xué)復(fù)習(xí)題

1、有一內(nèi)外半徑分別為r和r的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止12自由電荷，求：（1）空間各點的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。f解：（1）設(shè)場點到球心距離為r。以球心為中心，以r為半徑作一球面作為高斯面。由對稱性可知，電場沿徑向分布，且相同r處場強大小相同。D0，E0。11當(dāng)rr時，14當(dāng)rrr時，4r2D(r3r3)31221fD(r3r3)E(r3r3)1f，1f，3r3r2222(r3r3)向量式為E1fr3r2344r2D(r3r3)1當(dāng)rr時，2332fD(r3r3)(r3r3)21fE3231rf3r3220(r3r3)fr3r向量式為E21330（2）當(dāng)rrr時，120P(DE)(D0D)p2222(10)D(10)2f當(dāng)rr時，1n(PP)n(D0D)(10)D02rrp21221當(dāng)rr時，2(10)3r3321r22rnP(10)D22rrfp22、內(nèi)外半徑分別為r和r的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流J，導(dǎo)12體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強度和磁化電流。f解：（1）以圓柱軸線上任一點為圓心，在垂直于軸線平面內(nèi)作一圓形閉合回路，設(shè)其半徑為r。由對稱性可知，磁場在垂直于軸線的平面內(nèi)，且與圓周相切。當(dāng)rr時，由安培環(huán)路定理得：H0,B0111當(dāng)rrr時，由環(huán)路定理得：2rHJ(r2r2)1221fJ(rr)(rr21)J2212所以H，Bf2r2r22f(r2r)(r2r2)Jr2r221Je?f向量式為B12r2f2rHJ(r2r2)31f當(dāng)rr時，22r)(r0J(r22r1r2221)J22所以H，Bf2r33f(r0(rr)r2)Jr22r2222r212Je?f向量式為B301f（2）當(dāng)rrr時，磁化強度為120r(r12)Jr2M(1)H(1)2r22f00所以JM[(1)H](1)H(1)JM22f00在rr處，磁化面電流密度為11Mdl02rM1在rr處，磁化面電流密度為2()1r2r2J1202r2Mdl(1)2r22Mf0(r)r22J2122向量式為α(1)M2rf03、在均勻外電場中置入半徑為試用分離變數(shù)法求下列兩種情況的電勢：（1）R的導(dǎo)體球，0導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差；（2）導(dǎo)體球上帶總電荷Q.0解答：與地保持電勢差時。以地為電（1）當(dāng)導(dǎo)體上接有電池，勢零點。本問題的定解條件有0內(nèi)(RR)00cos0|ER02＝0（RR)R且外0|外0RR0外其中是未置入導(dǎo)體球前坐標(biāo)原點的電勢.0b)P(cos)nRn1(aRnn根據(jù)題意設(shè)外nn0根據(jù)邊界條件可求得00a，aE，a0(n1)，b()R，bER，b0(n1)n200010n0010所以有()R0ER03ERcos(RR)0000R2cos外00R（2）當(dāng)導(dǎo)體球上帶總電荷Q時，定解問題存在的條件：20(RR)內(nèi)00(RR)02外|有限R0內(nèi)0|ERcosR0外＝|RR內(nèi)外0dsQ(RR)0外R0內(nèi)n0＝aRnP(cos)根據(jù)邊界條件設(shè)nnbnERcosP(cos)n外00Rn1n0Q根據(jù)邊界條件可以求得內(nèi)0(RR)04R00QER30cosERcos(RR)00R24R外005、真空中有電場強度為E的均勻電場，將半徑為R的一個均勻介質(zhì)球放到這個電場中。0已知球的電容率為，求各處的電場強度和極化電荷。解：先求電勢，然后由電勢求得電場強度E，再求極化電荷。自由電荷，電勢滿足拉普拉斯方程。以由于沒有球心為原點，E方向為極軸方向，0取球坐標(biāo)。根據(jù)對稱性可知，電勢只是r和的函數(shù)。因為所考慮的區(qū)域包括極軸（0和）在內(nèi)，電勢在極軸上應(yīng)該是有限所求電勢可寫為如下形式值，所以(r,)(ArlBl)P(cos)，剩下的問題就是由邊界條件定出各個系數(shù)rll1ln0是兩個不同的區(qū)域，電勢的表達(dá)式不同，令球內(nèi)的電勢為，由于球內(nèi)外i球外的電勢為，再由邊界條件分別定出他們的系數(shù)。0（1）無窮遠(yuǎn)處的邊界條件0r在無窮遠(yuǎn)處，電場應(yīng)該趨向于原來的電場E，即0Ercos0為方便，將原來的電場E在r0點的電勢取為零。比較兩者的系數(shù)，可得0A0,AE,A0(l2)010lBP(cos)(r,)Ercos所以lrl100ln0（2）球心的邊界條件在球心r0處，電勢B0應(yīng)該是有限值，所以其中的系數(shù)li(r,)ArlP(cos)所以illn0（3）球面上的邊界條件在球面上rR電勢(R,)(R,)連續(xù)，即0iD的法向分量連續(xù)(0)(i)0rRrR程，比較兩邊P(cos)的系數(shù)，可得將前面得到的電勢方程在R代入電勢連續(xù)方lBR3(AE)，BRA(l1)2l1110ll程，比較兩邊P(cos)的系數(shù)，可得程在R代入法向連續(xù)方將前面得到的電勢方llR3B(EA)，BA(l1)R02l1(l1)2101ll0比較得到的四個方程，可得到3R3EA20E，B20011000A0，B0，(l1)ll這些系數(shù)分別代入前面的和，即得到所求得電勢為0i20ER3cos,rR(r,)Ercos0r2000320(r,)Ercos,rRi00有了電勢即可求得電場強度E：320320320E，rR0EiEcoserEsinei000003(Er)rE]，rRR3EE[00r22r00300所以介質(zhì)球的極化強度為3()P()EiE002000所以球內(nèi)的極化電荷密度為3()E0P002P00球面上極化電荷的面密度為3()Ecos0ePr020P0注：真空中有電場強度為0E的均勻電場，將半徑為R的一個不帶電導(dǎo)體球放到這個電場中。求各處的電勢分布、電場強度分布和感應(yīng)的電偶極矩解法和前面一樣，只不過把導(dǎo)體球當(dāng)作是很大的介質(zhì)，這樣均勻極化介質(zhì)球在球13內(nèi)產(chǎn)生均勻退極化電場：E1P013EEEEP0，所以導(dǎo)體內(nèi)的極化強度為：導(dǎo)體內(nèi)的電場0100P3E004pR3P4R3E感應(yīng)的電偶極矩：30020ER3cos(r,)Ercos球內(nèi)的電勢為零，球外的電勢：000r20球外電場：Ee0容率為的6、電無窮大均勻介質(zhì)中有電場強度為E的均勻電場，將半徑為R的一個均勻20已知球的電容率為，求各處的電場強度和極化電荷。1介質(zhì)球放到這個電場中。解：E，E等表達(dá)式中的換成、換成0對于這個問題，只要將前題求得的，，ii0213()P()E這時，球內(nèi)的極化強度為1E0210210i12球外介質(zhì)的極化強度為：()()R3(Er)rE]320P()E()E[20120r222200r3012，P01P02球內(nèi)外的極化電荷密度分別為：P1P2球內(nèi)介質(zhì)在球面上的極化電荷面密度為3()ePrEcos2102P11012球外介質(zhì)在球面上的極化電荷面密度為e(P)3()Ecos1202P2r2rR012球面上總的極化電荷面密度為3()Ecos0e(PP)r0122P12P1P2127、真空中有一電荷量為q的點電荷，它到一無限大導(dǎo)體平面的距離為a，已知導(dǎo)0，如圖所示。試求（1）導(dǎo)體外的電勢分布；（2）導(dǎo)體面上的電荷體的電勢C分布；（3）q受導(dǎo)體上電荷的作用力解：本題用電像法求解最簡單（1）以導(dǎo)體平面為xy平面，通過的法線為z軸，q如圖取迪卡爾坐標(biāo)系。設(shè)想導(dǎo)體不存在，而在z軸上za處有一電荷量為q的點電荷，則邊界條件qz0處q可以滿足。q就是的像電荷。于是，根據(jù)唯一性定理，可以得到0C導(dǎo)體外任一點的P(x,y,z)的電勢：0q114)，z0(x2y(za)2x2y(za)2220（2）導(dǎo)體上的電荷面密度為00nDn()zz0[(1)1]23/2z0q42(za)2[x2y2(za)2]3/22[x2y2(za)]2(za)qa2(x2y2a2)3/2O為圓心，在導(dǎo)體表面取半徑為rxy2，寬度為q上的庫倫（3）根據(jù)對稱性，以原點2dr的圓環(huán)帶。環(huán)帶上的電荷量為dq2rdr2rdr，它作用在力為1qdqq2a2rdrdF4r2a2cosez4(r2a2)3ez00所以q受導(dǎo)體上電荷的作用力為q2a24rdrq2F(r2a2)3eez16a2z000注：電荷q受導(dǎo)體上電荷作用力的簡單算法導(dǎo)體表面電荷作用在q作用在q上的力等于像電荷q上的力1qqeq2F所以e4(2a)16a22zz008、在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點電荷Q位于b（b>a），試用電像法系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為求空間電勢。圖如圖，利用鏡像法，根據(jù)一點電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平面板和一點電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。QQQ0；但在球面上電勢不為0。再引入a22bbbaQ。這樣總電勢在平面和球面上都是零。bQQ,rar;QQ,rar;QQ,rbra2a21b1b2b1b334Q11[R2b22RbcosR2b22Rbcos0aa],(02,Ra)bR242aRcosbR242aRcosa2a2b2bb2b流I沿z軸流動，以z0空間充滿磁導(dǎo)z0區(qū)均勻介質(zhì)，9、設(shè)有無窮長的線電率為的域為真空，試用唯一性定理求磁感應(yīng)強度B，然后求出磁化電流分布。解：dDdS程組，有HdlI由麥克斯韋方dtfLS本題中D0，即HdlIfLI2rH2rI，即He所以由BH，可得BHe,(z0)2r10Ie,(z0)BH2r2B(HM)，所以可以得到：因為0I2rM0，M(1)H(1)e0012在介質(zhì)表面z0的位置，磁化電流面密度為I2re(MM)M(1)er0z212當(dāng)z0時，在電流線表面存在的磁化電流為IMdl(1)I,(r0)0M2L10、設(shè)x0空間充滿磁x0區(qū)域為I沿z軸流均勻介質(zhì)，真空，有線電流動，導(dǎo)率為的試求磁感應(yīng)強度B和磁化電流分布。解：由邊界條件n(BB)0可知BB，即HH0211221nn有HdlI再由麥克斯韋方程組，LIrHH21已經(jīng)得到0所以HrH1rI，即HH，由上面212rIH1所以，可以得到：0rIH20000BHeI0101r由BH，得到：0IBHe22r2IMdlMrMr磁化電流為：M1LM(BH)因為02IMr0I所以得到：M024511、一平面電磁波以從真空中入射到的介質(zhì)。電場強度垂直于入射面，求反0r射系數(shù)和折射系數(shù)解：E，入射角；反射波振幅E，反射角；折射波振幅E，折射角設(shè)入射波振幅為由菲涅耳公式，有：2coscosE0E，E2cos10Ecos2cos0cos2cos011sinsinn2n1可由折射定律得：2，代入，2又因為1300得到：2coscosE13即10E13cos2cos01E2cos2013E02coscos1平面電磁波的平均能流密度S為S1E2(r)e2kRnSE2(r)(13)223所以反射系數(shù)E(r)13232nS23透射系數(shù)T