人教A版高中數(shù)學選修1-1《二章圓錐曲線與方程23拋物線23拋物線(通用)》課教案18

拋物線專題復習講義及練習(課時1)★知識梳理★y22pxy22pxx22pyx22py圖形▲▲yyy▲▲xxxxOOOO焦點F(p,0)F(p,0)F(0,p)F(0,p)2222準線xpxpypyp2222范圍x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0對稱軸x軸y軸極點（0，0）離心率e1拋物線的焦半徑、焦點弦①y22px(p0)的焦半徑PFxP;x22py(p0)的焦半徑PFyP；22②過焦點的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長度為2p.③AB為拋物線y22px的焦點弦，則xAxBp2，yAyBp2，|AB|=xAxBp43.y22px的參數(shù)方程為x2pt2（t為參數(shù)），x22py的參數(shù)方程為x2pt（t為參數(shù)）.y2pty2pt2★重難點打破★重點:掌握拋物線的定義和標準方程，會運用定義和會求拋物線的標準方程，能經(jīng)過方程研究拋物線的幾何性質(zhì)難點:與焦點相關(guān)的計算與論證重難點:圍繞焦半徑、焦點弦，運用數(shù)形結(jié)合和代數(shù)方法研究拋物線的性質(zhì)1.要適用定義的意識問題1：拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()點撥：拋物線的標準方程為x21y，準線方程為y1,由定義知，點M到準線的距離為1，因此點M的416縱坐標是15162.求標準方程要注意焦點地址和張口方向問題2：極點在原點、焦點在坐標軸上且經(jīng)過點（

3，2）的拋物線的條數(shù)有點撥：拋物線的種類一共有4種，經(jīng)過第一象限的拋物線有2種，故滿足條件的拋物線有2條3.研究幾何性質(zhì)，要具備數(shù)形結(jié)合思想，“兩條腿走路”問題3：證明：以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切點撥：設

AB為拋物線的焦點弦，

F為拋物線的焦點，點

A'、B

'分別是點

A、B在準線上的射影，弦

AB

的中點為

M，則

AB

AF

BF

AA'BB'，點

M到準線的距離為

1(AA'BB')

1AB

，

以拋物線焦點2

2弦為直徑的圓總與拋物線的準線相切★熱點考點題型探析★考點1拋物線的定義題型利用定義,實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的變換[例1]已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，－1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和的最小值為【解題思路】將點

P到焦點的距離轉(zhuǎn)變成點

P到準線的距離[剖析]過點

P作準線的垂線

l交準線于點

R，由拋物線的定義知，

PQ

PF

PQ

PR，當

P點為拋物線與垂線

l的交點時，

PQ

PR獲取最小值，最小值為點

Q到準線的距離

,因準線方程為

x=-1,故最小值為

3【名師指引】靈便利用拋物線的定義，就是實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之間的變換，一般來說,用定義問題都與焦半徑問題相關(guān)【新題導練】1.已知拋物線y22px(p0)FP(xy)P(xy)P(xy)1的焦點為，點11，1，22，2，33，3在拋物線上，且、|P2F|、|P3F|成等差數(shù)列，則有（）A．x1x2x3B．y1y2y3C．x1x32x2D.y1y32y2［剖析］C由拋物線定義，2(xp)(xp)(xp),即：x1x32x2．2212322.已知點A(3,4),F是拋物線y28x的焦點,M是拋物線上的動點當MAMF最小時,M點坐標是,()[剖析]設M到準線的距離為MK,則|MA|MF|MAMK，當MAMK最小時，M點坐標是(2,4)，考點2拋物線的標準方程題型:求拋物線的標準方程[例2]求滿足以下條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：(1)過點(-3,2)(2)焦點在直線x2y40上【解題思路】以方程的見解對待問題，并注意張口方向的談論.[剖析](1)設所求的拋物線的方程為y22px或x22py(p0),∴拋物線方程為y24x或x29y,前者的準線方程是x1,后者的準線方程為y93238(2)∴所求拋物線方程為y216x或x28y,對應的準線方程分別是x4,y2.【名師指引】對張口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導練】3.若拋物線y22px的焦點與雙曲線x2y21的右焦點重合,則p的值3[剖析]p31p42對于極點在原點的拋物線，給出以下條件：①焦點在y軸上；②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；④拋物線的通徑的長為5；⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是____________.（要求填寫合適條件的序號）[剖析]用消除法，由拋物線方程y2=10可消除①③④，從而②⑤滿足條件.x若拋物線的極點在原點，張口向上，F(xiàn)為焦點，M為準線與Y軸的交點，A為拋物線上一點,且|AM|17,|AF|3，求此拋物線的方程[剖析]設點A'是點A在準線上的射影，則|AA'|3，由勾股定理知|MA'|22，點A的橫坐標為(22,3p)，代2入方程x22py得p2或4，拋物線的方程x24y或x28y考點3拋物線的幾何性質(zhì)題型：相關(guān)焦半徑和焦點弦的計算與論證[例3]設A、B為拋物線y22px上的點,且AOB90(O為原點),則直線AB必過的定點坐標為__________.【解題思路】由特別下手，先研究定點地址ykx1［剖析］設直線OA方程為ykx,由解出A點坐標為(22p,2p)ykx解出B點坐標為(2pk2,2pk)，y22pxkky22px直線AB方程為y2pkk(x2pk2),令y0得x2p，直線AB必過的定點(2p,0)1k2【名師指引】（1）由于是填空題，可取兩特別直線AB,求交點即可；（2）B點坐標可由A點坐標用1換k而得。k6.若直線axy10經(jīng)過拋物線y24x的焦點，則實數(shù)a[剖析]-17.過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點A、B,若A、B在拋物線準線上的射影為A1,B1,則A1FB1()A.45B.60C.90D.120[剖析]C基礎牢固訓練1.過拋物線y24x的焦點作一條直線與拋物線訂交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于a22a4(aR)，則這樣的直線（）A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.1條或2條D.不存在[剖析]C|AB|xAxBpa22a5(a1)244，而通徑的長為4．2.在平面直角坐標系xOy中，若拋物線x24y上的點P到該拋物線焦點的距離為5，則點P的縱坐標為（）A.3B.4C.5D.6[剖析]B利用拋物線的定義，點P到準線y1的距離為5，故點P的縱坐標為4．3.兩個正數(shù)a、b的等差中項是9，一個等比中項是25，且ab,則拋物線y2(ba)x的焦點坐標為()211C．(1D．(1D.a5,b4,ba1A．(0,)B．(0,),0),0)[剖析]44244.若是P1，P2，，P8是拋物線y24x上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，，x8，F(xiàn)是拋物線的焦點，若x1,x2,,xn(nN)成等差數(shù)列且xx2x945，則|PF|=（）．15A．5B．6C．7D．9[剖析]B依照拋物線的定義，可知PFixipxi1（i1，2，，n），x1,x2,,xn(nN)成等差數(shù)2列且x1x2x945,x55,|P5F|=65、拋物線y24x的焦點為F,準線為ll與x軸訂交于點EF且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x，，過軸上方的部分訂交于點A，AB⊥l，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于（）A．33B．43C．63D．83[剖析]C.過A作x軸的垂線交x軸于點H，設A(m,n)，則AFABm1,FHOHOFm1，m12(m1)m3,n23四邊形ABEF的面積=1[2(31)]236326、設O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y24x的焦點，A是拋物線上的一點，F(xiàn)A與x軸正向的夾角為60，則OA為．[剖析]21.過A作ADx軸于D，令FDm，則FA2m即2m2m，解得m2．拋物線的幾個常有結(jié)論及其應用（課時2）拋物線中有一些常有、常用的結(jié)論，認識這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時可迅速解答相關(guān)問題，在做解答題時也可迅速打開思路。結(jié)論一：若AB是拋物線y22px(p0)的焦點弦（過焦點的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，則：xx12p2，y1y2p2。4例：已知直線AB是過拋物線y22px(p0)焦點F，求證：11為定值。AFBF結(jié)論二：（1）若AB是拋物線y22px(p0)的焦點弦，且直線AB的傾斜角為α，則AB2Psin2

（α≠0）。（2）焦點弦中通徑（過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短。例：已知過拋物線y29x的焦點的弦AB長為12，則直線AB傾斜角為。AB傾斜角為或2。33結(jié)論三：兩個相切：（1）以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切。（2）過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。例：已知AB是拋物線y22px(p0)的過焦點F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。(2)分別過A、B做準線的垂線，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切。yAMPQOFxNB結(jié)論四：若拋物線方程為y22pxp(0)，過（2p，0）的直線與之交于A、B兩點，則OA⊥OB。反之也成立。結(jié)論五：對于拋物線x2py(p0)，其參數(shù)方程為，設拋物線x2py上動點P坐標為(2pt，2pt)，2x2pt22y2pt2，2pt2O為拋物線的極點，顯然kOPt，即t的幾何意義為過拋物線極點O的動弦OP的斜率．2pt例直線y2x與拋物線y22px(p0)訂交于原點和A點，B為拋物線上一點，OB和OA垂直，且線段AB長為513，求P的值．剖析：設點A，B分別為(2ptA2，2ptA)，(2ptB2，2ptB)，則tA11，tB1kOA2．kOA2kOBp25A，B的坐標分別為，，，．∴p22p(8p4p)AB8p2(p4p)13p513．∴p2．2練習：1.過拋物線yax2(a0)的焦點F作素來線交拋物線于P，Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p，q，則11故114a】p=pqq22px(p0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點．點C在拋物線的準線上，且2.設拋物線yBC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過原點O．【證明：拋物線焦點為Fp，0．設直線AB的方程為xmyp，代入拋物線方程，得y22pmyp20．若設22A(x，y)，B(x，y)，則2．∵BC∥軸x，且點C在準線k2p；y1y2pCO1122y122px1，得kAOy12p，故kCOkAO，即直線AC經(jīng)過原點O．】又由y1x1y13.已知拋物線的焦點是F(11)，，準線方程是xy20，求拋物線的方程以及極點坐標和對稱軸方程．【解：設P(x，y)是拋物線上的任意一點，由拋物線的定義得(x1)2(y1)2xy2．2整理，得x2y22xy8x8y0，此即為所求拋物線的方程．拋物線的對稱軸應是過焦點F(11)，且與準線xy20垂直的直線，因此有對稱軸方程yx．設對稱軸與準線的交點為M，可求得M(1，1)，于是線段MF的中點就是拋物線的極點，坐標是(0，0)】備選1.拋物線的極點坐標是A(1，0)，準線l的方程是x2y20，試求該拋物線的焦點坐標和方程．解：依題意，拋物線的對稱軸方程為2xy20．設對稱軸和準線的交點是M，可以求得M6，2．設焦點為F，則FM的