彈性力學(xué)第三章習(xí)題2181

1.設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為ρ，在一邊側(cè)面上受均布剪力q，如圖1，試求應(yīng)力分量。x0采用半逆解法，設(shè)。x解：hg導(dǎo)出使其滿足雙調(diào)和方程：q2y2Xx0,yf(x)xyf(x)f(x)14x4yd4f(x)d4f(x)dx441dx44y40,x2y20圖1yd4f(x)d4f(x)040,y1dx4dx4y取任意值時(shí)，上式都應(yīng)成立，因而有：d4f(x)0,d4f(x)0dx41dx4f(x)Ax3Bx2Cx,f(x)Ex3Fx21y(Ax3Bx2Cx)Ex3Fx2（1）。x式中，中略去了常數(shù)項(xiàng)，中略去了的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)力無(wú)影響f(x)1f(x)含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：2Xx0yxy22Yyy(6Ax2B)6Ex2FPyx22(3Ax22BxC)xyxy（2）（3）利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：()0,xx0()0,C0能自然滿足：能自然滿足：yxx0()0,xxh()q,3Ah22Bhqyxxh()0,6Ex2F0,EF0yy0()0,不能精確滿足，只能近似滿足：yxy0h()dy0,h(3Ax22Bx)dx0xyy0y000（AhBh032（4）AB由式（3）、（4）解出常數(shù)和，進(jìn)而可求得應(yīng)力分量：qqhA,B2h2qyh(13x)Py,hqxhxy3x)（5）h0,(2xy2．如圖2（a），三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。xq0qll0ooxxgglyy（a）圖（b）解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：AxBxyCxyDy2332。0不難驗(yàn)證其滿足所以應(yīng)力分量為：42Xx2Cx6Dyyx22xYy6Ax2Bygyy222Bx2Cyxyxy2.用邊界條件確定常數(shù)，進(jìn)而求出應(yīng)力解答：xyy0()0,()0上邊界：yy0斜邊：lcos(900)sin,mcossincos00xxysincosxyyAB0,Cgcot,Dgcot2解得：23gxcot2gycot2xgy,gycotxyy2x,y,(xy2)20，問(wèn)3．如果為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足是否可作為應(yīng)力函數(shù)。解：將1x代入相容條件，得：21(22x(2x2y22)2)(x)2xxxy222212(2)2(2)0xx。將代入相容條件得2y?1滿足雙調(diào)和方程，因此，可作為應(yīng)力函數(shù)yy222,(2)02222232(x2y2)2(x2)2(y2)y44x4yxy2232(44x4y)0x23(x2y2)也能作為應(yīng)力函數(shù)。把代入相容條件，得：所以，也可作為應(yīng)力函數(shù)。34．圖所示矩形截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為：Ax3y3Bxy5Cx3yDxy3Ex3Fxy，求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）。qx0lq0hOql06xlql03ly解：由滿足相容方程確定系數(shù)4A與B的關(guān)系：440,y120Bxy,x36Axyxy224472Axy120Bxy05AB3含待定系數(shù)的應(yīng)力分量為6Ax3y20Bxy36Dxy6Axy36Cxy6Exxy(2)(9Ax2y25By43Cx23Dy2F)xy由邊界條件確定待定系數(shù)：()yqx,6Ax(h)36Cx(h)6Exqx0ll220yh2()0(3)xyyh29Ax2(h)25B(h)43Cx23D(h)2F0(4)222()0,6Ax(h2)36Cx(h2)6Ex0(5)yyh2()0,9Ax2(h)25B(h2)43Cx23D(h2)2F0(6)2xyyh、2由以上式子可求得：Eq0,A12lq,Bqq,C0003lh35lh34lhql,Dhqh02ql06h3Fh()dy(7)(8)062480lxyx0h2h()ydy0,Al2Bh2D02xxlh2由此可解得：qql03h3ql04hqh080lD,F010lh應(yīng)力分量為2q3xy(2y2x2l2h3)0lh310xyqx(3h2y4y3h3)(9)02lh3qh2(4y2h2)(3x2y2l204lh320xy5.如圖所示，右端固定懸臂梁，長(zhǎng)為l，高為h，在左端面上受分布力作用（其合力為P）。不計(jì)體力，試求梁的應(yīng)力分量。xOhPly解：用湊和冪次不同的雙調(diào)和多項(xiàng)式函數(shù)的半逆解法來(lái)求解。顯然，應(yīng)力函數(shù)dxy34所對(duì)應(yīng)的面力，在梁兩端與本題相一致，只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個(gè)大小為dxy數(shù)上再添加一個(gè)與純剪應(yīng)-dh23的剪應(yīng)力，為了抵消它，在應(yīng)力函3444bxy力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)2：dxy4bxy23由平衡條件得含有待定系數(shù)的應(yīng)力表達(dá)式為：22x26dxy,y0y2x42xyb3dy224xy利用邊界條件確定，并求出應(yīng)力分量：上、下邊界：()0,()0yhxyhyy22左端部：()dyPxyx0h()0,x2hx02解得：3P,d2Pb22hh3412Ph33P6P2hh3xy0,xy,y2xy6.試考察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖3-8所示的矩形板Ox和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題(體力不計(jì))?hl【解答】⑴相容條件:y圖3-8不論系數(shù)滿足應(yīng)a取何值，應(yīng)力函數(shù)ay3總能力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).⑵求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)，得6ay,0,0xyxyyx⑶考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無(wú)面力.左右邊界上；當(dāng)a>0時(shí)，考察分布情況，注意到0，故y向無(wú)面力xxy0yh:()6ayfxxx00左端fyxyx0xxlxyxl6ayf()y0yh)(0右端:fx應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為lh主矢，主矩OAxfxfxy主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問(wèn)題。偏心距e：eePP因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e：pe0eh/6p()bhbh2/6xA同理可知，當(dāng)<0時(shí)，可以解決偏心壓縮問(wèn)題。aF7.試考察應(yīng)力函數(shù)xy(3h24y2)，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分2h3量（不計(jì)體力），畫(huà)出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫(huà)出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問(wèn)題。xh/2h/2O(lh)ly圖3-9【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）42440，顯然滿足x4x2y2y4（2）將錯(cuò)誤!未找到引用源。代入式（2-24），得應(yīng)力分量表達(dá)式12Fxy3F4y2)h2,0,(12hh3xyxyyx（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：h①在主要邊界上（上下邊界）上，y，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15），2應(yīng)力0yxyh/2yyh/2上，無(wú)任何面力，即fyh0,fyh022xy因此，在主要邊界yh2②在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：3F1-4y2x0:f0,f2hh2xy12Fly,f3F4y21hxl:fx2hh3y2因此，各邊界上的面力分布如圖所示：③在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫(xiě)成主矢、主矩形式：x=0上x(chóng)=l上x(chóng)向主矢：F=h/2fdy0,Fh/2fdy0NxNx1h/22h/2y向主矢：F=h/2fdyF,h/2Fh/2fdyFSySy12h/2主矩：M=h/2fydy0,xMh/2fydyFl2x1-h/2h/2因此，可以畫(huà)出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a)(b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問(wèn)題。8.設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎柱，密度為ρ，在一邊側(cè)面上受均布剪o力q（圖3-10），試求應(yīng)力分量。xbq【解答】采用半逆法求解。h由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。gyhb圖3-10根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力主要與截面yxy的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載為零，則0xx(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式f0,fg，代入公式（2-24）有將0，體力xxy2fx0y2xx對(duì)y積分，得yfx（a）（b）yfxfx1fx,fx都是x的待定函數(shù)。1其中（3）由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（2-25），得d4fxdfx4y1dx40（c）dx4在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無(wú)數(shù)多個(gè)根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它），可見(jiàn)其系數(shù)與自由項(xiàng)都必須為零，即1dxd4fx0,d4fx0dx4兩個(gè)方程要求fxAx3Bx2Cx,fxDx3Ex2（d）因?yàn)檫@三項(xiàng)在的1fx中的常數(shù)項(xiàng)，fx中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去，1表達(dá)式中成為y的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。將（d）式代入（b）式，得應(yīng)力函數(shù)CxDxEx32yAxBx2（e）3（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量2fx0（f）y2xx2x2fy6Axy2By6Dx2Egyy(g)(h)y23Ax2BxCxy2xy(5)考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、E。主要邊界x0上（左）：0,()0xx0xyx0將（f），（h）代入0，自然滿足x0x()C0（i）xyx0主要邊界xb上，xxb0，自然滿足()q，將（h）式代入，得xyxb()3Ab22BbCq（j）xyxb在次要邊界圣維南原理，寫(xiě)出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：y0上，應(yīng)用b()dx6Dx2Edx3Db22Eb0（k）（l）byy000b()xdx6Dx2Exdx2Db3Eb20byy000()dx3Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0（m）bbyxy00由式（i），(j)，（k），（l），（m）聯(lián)立求得0Aq,Bq,CDE0bb2代入公式（g），(h)得應(yīng)力分量2qxxq3bb0,13gy,xx2bbxyxy9.設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼?1)檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25）設(shè)應(yīng)力函數(shù)=AxBx2yCxy2Dy3，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)?次式的應(yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（2-25）(2)由式（2-24）求應(yīng)力分量f0,fg，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）得應(yīng)力分量：由體力分量xy2fx2Cx6Dy（a）y2xyx2y2fy6Ax2Bygy（b）y22Bx2Cy（c）xyxy（3）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。y0，其應(yīng)力邊界條件①對(duì)于主要邊界為：yxy0()0()0，（d）（e）yy0將式（d）代入式（b），（c），可得A0，B=0yxtan（斜面上），應(yīng)力邊界條件：②對(duì)于主要邊界在斜面上沒(méi)有面力作用，即0，該斜面外法線方向余弦為，yffxmcos.由公式（2-15），得應(yīng)力邊界條件lsin，yxyxtansin()cos()cos()0xyxtan（f）（g）sin()0xyyxtanyyxtan將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得Cggcot2cot,D23將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得應(yīng)力分量表達(dá)式：gxcot2gycot2xgyygycotxy10.設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計(jì)，l>>h，圖3-5，Φ=Axy+By+Cy+Dxy求解應(yīng)力分量。233解：本題是較典型的例題，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)Φ，可按下列步驟求解。1．將Φ代入相容方程，2．將Φ代入式（2-24），求。出應(yīng)力分量BCyDxy266,0,x3．考慮邊界條件：主要邊界y=±h/2上，應(yīng)精確滿足式（2-15），0,滿足；yyh23ADh0240,得yxyh2在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的邊界條件代替。注意x=0是負(fù)x面，圖3-5中表示了負(fù)x面上σ,和τ的正方向，由此得xxyFNdyF,求得B;0h2h2xNh2xMydyM,求得C2h2;h3xh2x0b1dyF,得AhDh3F。h24xyx0SSh2由式(a)，（b）解出FFA3S,D2S。h32h最后一個(gè)次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必須滿足的，故不必再校核。代入應(yīng)力公式，得FMF12,Sxyh12yhh30,Fy214。h2h211.擋水墻的密度為ρ，厚度為b，圖3-6，水的密度為ρ，試12求應(yīng)力分量。解：用半逆解法求解1．假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式，因?yàn)樵趛=-b/2邊界上，σ=0；y=b/2y邊界上，σ=-ρgx，所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)σ為y2xfy。yy2．推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由σ推測(cè)Φ的形式，yxfy,2xy2x2fyfy1則,x2x3fyxfyfy。6123．由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將Φ代入▽?duì)?0，得4xdfdfdf1df20。3444x22x6dydydy4dy442要使上式在任意的x處都成立，必須df40,BCyD;得f=Ay+y32dy4dfdf10,得fAy5y4Gy3Hy2IyB;1061422dy4dy2df420,得fEy3Fy。22dy4代入Φ，即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已略去了與應(yīng)力無(wú)關(guān)的一次式。4．由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，將Φ代入式（2-24），注意體力f=ρg，fy=0，求得應(yīng)力分x1量為xAyByGyH322BfxxAyy2226233EyFgx,xx621,2x22fyxAyByCyD3yy2x2AyByCxy3222xyAy42By33Gy22HyI。235．考慮邊界條件：在主要邊界y=±b/2上，有g(shù)xABCbb3b4Dgxa,得x;842yyb222yyb2bxABCbb3b2D0,得0;842xyyb2ABbCxb2320,得24bbb32ABG43HbI0。32124由上式得到cd,3b2ABbC0,4ef,bbb32ABG43HbI0。32124求解各系數(shù)，由bBD1g2,422(a)+(b)得(a)-(b)得ACb1gb3,8222B0,D1g,22(c)-(d)得b32AC0。4(c)+(d)得由此得3A2gCg,。b2b322又有(e)-(f)得H0，bb3AG2I0,4324(e)+(f)得代入A，得gbb2G。3Ig1642在次要邊界（小邊界）x=0上，列出三個(gè)積分的邊界條件：bdy0,得IgG,h8042b2b2b2b2xyx0dy0,得F0,0xb2xb2ydy0,得0。Exb2x0由式(g),(h)解出b1g。b102Ig,802G代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得應(yīng)力解答：2g22b54gxygxxy,23b13gxy+3b3xy3yy313gx23b22b2yyyb33233gxgy33。2b4bb1080byxy2212.已知aAyaxBxyCxy,22222bAx4BxyCxy22Dxy2Ey,43試問(wèn)它們能否作為平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)？解：作為應(yīng)力函數(shù)，必須首先滿足相容方程，40。將Φ代入，（a）其中A=0，才可成為應(yīng)力函數(shù)；（b）必須滿足3（A+E）+C=0，才可成為應(yīng)力函數(shù)。13.圖3-7所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩Fb2M=的作用，試用應(yīng)力函數(shù)Ax3Bx2求解圖示問(wèn)題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解：（1）校核相容方程▽4Φ=0，滿足。（2）求應(yīng)力分量，在無(wú)體力時(shí)，得0。xy62,AxByxxb,0,0,（3）考慮主要邊界條件，均已滿足?？紤]xxy次人邊界條件，在y=0上，0,滿足;yxby0FBb2dxF得;yby0bFbFxdx得A=-。28b2yy0b代入，得應(yīng)力的解答，F(xiàn)13x,0。xyb2b2yx上述Φ和應(yīng)力已滿足了▽4Φ=0和全部邊界條件，因而是上述問(wèn)題的解。（4）求應(yīng)變分量，F(xiàn)Eb2xFEb2x331,1,0。b2b2xyxy（5）求位移分量，u由xFEb2x3x1,對(duì)積分,得b2xxFx3fy2u;Ebb421v由yFEb2x31,對(duì)積分，得yb2yFE2bxyb2y3fx2v=-。將u,v代入幾何方程第三式vu0,xyxy兩邊分開(kāi)變量，并令都等于常數(shù)ω,即dfxdfyF3y。dyEb2dx142從上式分別積分，求出xx,f20F3fy1y2yu。0Eb82代入u,v，得FxxF332uy2yu,0Ebb42Eb82FEb2xyy3x+v。b2v再由剛體約束條件，yFh;u30,得=Eb42x0,yhF3h;2Ebuu0,得8x0,yh02Fh。2Ebvv0,得0x0,yh代入u,v，得到位移分量的解答：F3hy2Fx32uxEb82,Ebb423xhy12bFv。2Eb在頂點(diǎn)x=y=0。Fh。2Ebxy014.矩形截面的簡(jiǎn)支梁上，作用有三角形分布荷載，圖3-8。試用下列應(yīng)力函數(shù)=xA3y3Bxy5CxyDxy3Ex3Fxy,3求解應(yīng)力分量。解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：、（1）將Φ代入相容方程AA5B0,721200,得。3B4由此，5=-xByBxy5CxyDEx3Fxyxy。33333（2）求應(yīng)力分量，在無(wú)體力下，得yB=-10Bx20xy6,Dxy33x1066,BxyCxyEx3BxyByCxDyF533。422y1522xy（3）考慮主要邊界條件（y±h/2）,53Bh4Dh2F0。416415yhxCBh2,0,得3xy22對(duì)于任意的x值，上式均應(yīng)滿足，由此得a15CB3-h0,240。b5Bh43Dh2F164yh2,0,x5Bh33Ch6E0,c4y。dyh2,qx5Bh33Ch6Eqxx,ll4y由(c)+(d)得由(c)-(d)得qE。l12eq5BC-h3。lh224由（e）-(a)得qq。BClh4,lh53（4）考慮小邊界上的邊界條件（x=0），由ql,6dyh2h2xyx0得fh5h3ql。6BDFh164由式（b）和(f)解出lDq1,h3lh103hlFq804。lh另兩個(gè)積分的邊界條件，dy0,0h2xh2xh2ydy0,xx0h2顯然是滿足的。于是，將各系數(shù)代入應(yīng)力表達(dá)式，得應(yīng)力解答：3xyl2xy22q222,lhh2h10xxyy32q1342,l2hh3yhy2q14ylx220。232hhlhllh4xy讀者試校核在x=l的小邊界上，下列條件都是滿足的。ydy0,h2h2xyxldy。xxlxxlh2dy0,h2h2ql3h22F15.矩形截面的柱體受到頂部的集中力和力矩M的作用。圖3-9，不計(jì)體力，試用應(yīng)力函數(shù)=yA2BxyCxyDy33求解其應(yīng)力分量。解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解：（1）代入相容方程，▽?duì)?0，滿足。4（2）求應(yīng)力分量，在無(wú)體力下，得ACxyDy66,xy0，BCy23。xyby，（3）考察邊界條件。在主要邊界2by0,滿足,；2y3qBCbq2,。a4yx在次要邊界x=0，AyDydyF,3b2b2FF,得A;b2xb2x0b2b2y2b2ADy2ydyM,2MM,得D23b3xb2x0b2ByCyb2b23dyF,F,得xYx0b2b2bF1Cb2。B+b4再由(a),(b)式解出2qFC,b2bF。B1q3b2代入，得應(yīng)力解答，F(xiàn)12FbbM12yqxy,bb23x0yFF36qy1q。2bb2b2xy16.試由應(yīng)力函數(shù)yq=-xyxyarctan,22x2求解圖3-10所示的半無(wú)限平面體在x≤0的邊界上受均布?jí)毫的問(wèn)題。解：應(yīng)校核相容方程的邊界條件，若這些條件均滿足，就可以求出其應(yīng)力分量。本題得出的應(yīng)力解答是qyxyarctan,xxy22xyqyxyarctan,2xxy2qy2。x2y2xy17.試由應(yīng)力函數(shù)q1yyxyxyarctan,xy2=ln2222求解圖3-11所示的半平面體在x≤0的邊界上受均布切力q的問(wèn)題解：應(yīng)力函數(shù)Φ應(yīng)滿足相容方程和邊界條件，若這些條件均滿足，就可以求出其應(yīng)力分量。本題得出的應(yīng)力解答是qy22lnx2y,2xyx22qy2,xyy22yxyqarctan。xxy22xy18.半平面體表面上受有均布水平面力2q，試用應(yīng)力函數(shù)2(Bsin2C)求解應(yīng)力分量，如圖2qyOx解：（1）由于，而相容方程，故滿足，驗(yàn)證相容方程滿足；042（2）求出應(yīng)力分量如下：2Bsin22C2Bsin22C2Bcos2C（3）代入邊界的應(yīng)力邊界條件，得：20C022qBq2（4）得到應(yīng)力分量的表達(dá)式為：2qsin22qsin22qcos219.半平面體表面上受有均布水平面力2q，試用應(yīng)力函數(shù)2(Bsin2C)求解應(yīng)力分量，如圖（12分）2qyOx解（1）由于，而相容方程0，故滿足，驗(yàn)證相容方程滿足；24（2）求出應(yīng)力分量如下：2Bsin22C2Bsin22C2Bcos2C（3）代入邊界的應(yīng)力邊界條件，得：20C022qBq2（4）得到應(yīng)力分量的表達(dá)式為：2qsin22qsin22qcos220.如圖所示矩形截面簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)度為l，高度為h（lh，1），在上邊界受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為：Ax3y3Bxy5Cx3yDxy3Ex3Fxy，求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）。q0h/2OOxlq/60h/2lq/30ly解（1）將代入相容方程，40,72A120B0,得A53B由此，5Bxy3Bxy5CxyDxy3Ex3Fxy。333（2）求應(yīng)力分量，在無(wú)體力下，得10Bx3y20Bxy36Dxy,xy10Bxy36Cxy6Ex,(15Bx5By43Cx23Dy2F)。2y2xy（3）考察主要邊界條件(yh/2)，15521632F0。yh/2,0,得34Bhx2CBh4Dh4xy對(duì)于任意的x值，上式均應(yīng)滿足，由此得3C154Bh20（a）（b）（c）53Bh4Dh2F0164x54Bh33Ch6E0yh/2,0,y5xBh33Ch6Eq40xxlyh/2,q,y0l（d）由(c)+(d)得Eq012l。由(c)-(d)得54Bh3Cq02lh(e)2由(e)-(a)得q,Cq04lhB05lh3（4）考察小邊界上的邊界條件（x=0）,由h/2ql,()dy06xyx0h/2得BDh43Fhh5ql06（f）16由式（b）和(f)解出1,lDqFq3h310lh0hl。lh8040另兩個(gè)積分的邊界條件：顯然是滿足的。h/2()dy0,h/2xx0h/2()ydy0。xx0h/2（5）于是，將各系數(shù)代入應(yīng)力表達(dá)式，得應(yīng)力解答：2xxyl2q0lhhy3222,10xy2h2q13y24,xy32lhh302q143x20yl2hy2。4hhlh20llhxy2經(jīng)校核在x=l的小邊界上，下列條件也是滿足的：h/2qlxyxl()dy0,h/2()dy0,h/2()dy。03xxlxxlyh/2h/2h/2楔形體左邊垂直，右邊與垂直方向成角45o，下端無(wú)限長(zhǎng)，不計(jì)體力，左邊受21.到均布水平方向的面力q作用，試用半逆解法求應(yīng)力分量。Oxn45oqy45oy解：解法1---（1）假設(shè)部分應(yīng)力的形式并推求應(yīng)力函數(shù)的形式x和y的純一次式。而應(yīng)力函數(shù)較長(zhǎng)度x和y的純?nèi)问?，ax3bx2ycxy2dy3（2）驗(yàn)證上用量剛分析認(rèn)為，各個(gè)應(yīng)力分量只可能是量剛高兩次，應(yīng)該是因此假定：式滿足相容方程。顯然滿足（3）求解應(yīng)力分量的具體形式2fx2cx6dyxy2xy2fy6ax2byyx22xy2bx2cyxy（4）考察邊界條件第一個(gè)邊界x=0應(yīng)力邊界條件為：xyx0()qy;()0xx0代入上式并代入邊界方程x=0可得：()6dyyxx0()2cy0xyx0d1;c06因此應(yīng)力分量變化為：2cx6dyyxy6ax2by6ax2by2bx2cy2bxxy第二邊界x=y的應(yīng)力邊界條件為：xyxyl()m()0xxyyxyl()m()0xyxylcos45o2;msin45o222而：所以：b12y2(2by)0212b0222b3a0a12(2by)2(6a2b)y0322（5）求解應(yīng)力分量最后得出應(yīng)力分量為：2cx6dyyx6ax2by2xyy2bx2cyxxy解法2---（1）假設(shè)yx2y2y1y3yf(x)f(x)612（2）代入相容方程：42440x4xyy224得到：f(x)bx2cxy1f(x)ax321y3cxy2bx2yax36（3）代入邊界條件第一個(gè)邊界x=0應(yīng)力邊界條件為：xyx0()qy;()0xx0第二邊界x=y的應(yīng)力邊界條件為：xyxyl()m()0xxyyxyl()m()0xyxy而：lcos45o2;msin45o222得到：b1;a123（4）求解應(yīng)力分量yx2xyyxxy如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載q作用，試求應(yīng)力分量。22.【解】（1）楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于q、ρ、，其中q的量綱為NL-2，與應(yīng)力的量綱相同。因此，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能取Kq的形式，而K是以，表示22的無(wú)量綱函數(shù)，亦即應(yīng)力表達(dá)式中不能出現(xiàn)ρ，再由知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是的函數(shù)乘以，可設(shè)2（a）f()2將式（a）代入雙調(diào)和方程22112，22021d4f()4d2f()d4d得0，2df()4df()42d4d=0，上式的通解為，f()Acos2Bsin2CD將上式代入式（a），得應(yīng)力函數(shù)為。（b）2(Acos2Bsin2CD)(2)應(yīng)力表達(dá)式為112222(Acos2Bsin2D)，C222(Acos2Bsin2D)，(c)C1122Asin22Bcos2C。2(3)應(yīng)力邊界條件，得2（A+D）=－q;(d)(e)()q0()0,得Acos2+Bsin2+C+D=0,()0,得－2B－C=0,(f)0,2Asin2－2Bcos2－Ｃ=0。(g)()0聯(lián)立求解式(d)－(g)，得各系數(shù)qtanq，，A4(tan)B4(tan)q(tan2)。q，C2(tan)D4(tan)將系數(shù)代入(c)，得應(yīng)力分量2(tan)2(tan)，tan(1cos2)(2sin2)qqtan(1cos2)(2sin2)q，（h）。q(1cos2)tansin2)2(tan23.楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如下圖所示，試求其應(yīng)力分量?！窘狻浚?）應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)，進(jìn)行求解。2(Acos2Bsin2CD)由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量1122(Acos2Bsin2CD),22222(Acos2Bsin2CD),1()2Asin22Bcos2C（2）考察邊界條件：根據(jù)對(duì)稱性，得0;（a）2q;(b)(c)20;2q(d)22Acos2BsinC2D0;同式（a）得(e)同式（b）得2Asin2BcosC;q(f)同式（c）得2Acos2BsinC2D0;(g)同式（d）得2Asin2BcosCq;(h)式(e)、(f)、(g)、(h)聯(lián)立求解，得qq,BC0,Dcot2A2sin將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得cos2qsincot,cos2qcot,sinqsin2sin24.圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為1，右端固定、左端自由，荷載分布在自右端上，其合力為P（不計(jì)體力），求梁的應(yīng)力分量。解：這是一個(gè)平面應(yīng)力問(wèn)題，采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程M（x）與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo)y成正比，因此可設(shè)錯(cuò)誤!未找到引用源。(a)式中錯(cuò)誤!未找到引用源。的為待定常數(shù)。將式（錯(cuò)誤!未找到引用源。!未找到引用源。為x的待定函數(shù)，可由a）對(duì)y積分兩次，得上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它，可見(jiàn)它的系數(shù)和自由錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。!未找到引用源。為待定的積分常數(shù)。將錯(cuò)誤!未找到引用源。，式中錯(cuò)誤錯(cuò)誤!未找到引用源。.(c)錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。(3)考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無(wú)水平力；上、下部無(wú)荷載；自由端的剪力之和為P，得邊界條件錯(cuò)誤!未找到引用源。,自然滿足；錯(cuò)誤!未找到引用源。,得錯(cuò)誤!未找到引用源。;上式對(duì)x的任何值均應(yīng)滿足，因此得錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。，即錯(cuò)誤!未找到引用源。，得錯(cuò)誤!未找到引用源。X取任何值均應(yīng)滿足，因此得錯(cuò)誤!未找到引用源。.將式（e）代入上式積分，得錯(cuò)誤!未找到引用源。,錯(cuò)誤!未找到引用源。計(jì)算得其