2023年高考數(shù)學(xué)必做模擬卷-新高考Ⅱ考綱卷01（解析版）

PAGE1絕密★啟用并使用完畢前測(cè)試時(shí)間：年月日時(shí)分——時(shí)分2023年高考必做模擬卷—新高考Ⅱ考綱卷01本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，集合，則（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵或，∴或，故選A。2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【答案】D【解析】∵，∴，則，∴的共軛復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限，故選D。3．年月我國(guó)抗擊新冠肺炎疫情工作取得階段性勝利，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說(shuō)法正確的是（）。A、這天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加B、這天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的極差大于復(fù)工指數(shù)的極差C、第天至第天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)D、第天至第天復(fù)工指數(shù)的增量大于復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量【答案】C【解答】A選項(xiàng)，第天比第天的復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均低，錯(cuò)，B選項(xiàng)，這天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的極差小于復(fù)工指數(shù)的極差，兩者最高差不多，但最低的復(fù)工指數(shù)比復(fù)產(chǎn)指數(shù)低得多，錯(cuò)，C選項(xiàng)，第天至第天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)，對(duì)，D選項(xiàng)，第天至第天復(fù)工指數(shù)的增量小于復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量，錯(cuò)，故選C。4．《算法統(tǒng)宗》中有一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，出行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”，意思是有一個(gè)人要走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，問(wèn)第三天和第四天共走了（）。A、里B、里C、里D、里【答案】C【解析】由題意得，每天走的路程構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，設(shè)為，∴，解得，則此人第二天走里，第三天走里，第四天走里，∴第三天和第四天共走了里，故選C。5．岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”。其地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山。始建于東漢建安二十年（年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年（年）重建時(shí)的形制與格局。因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世。自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)。小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線，如圖，測(cè)得，，米，則岳陽(yáng)樓的高度約為（）。參考數(shù)據(jù)：、。A、米B、米C、米D、米【答案】B【解析】在中，∵，∴，在中，∵，∴，則，得，則米，故選B。6．已知隨機(jī)變量，且，則（）的最小值為（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】，可得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，又，∴，即，令（），則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則的最小值為，故選B。7．如圖的平面四邊形中，，，，，，。若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角，依題意，，，在中，由余弦定理得，∴，∴，而，∴，，在中，由余弦定理得，∴，∴，在中，，∴是等邊三角形，∴，∴、、，設(shè)，依題意令（），即，∴，∴，∴，對(duì)于二次函數(shù)（），其對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，也即有最小值為，故選A。8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）。A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】由可得：，則，即，則，，又，∴，∴，∴，，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴的最小值為，則對(duì)于，令，可得，令，可得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)與有個(gè)交點(diǎn)，即方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為，故選B。二、多選題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得分，有選錯(cuò)的得分，部分選對(duì)的得分。9．已知，且，則（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】由，且，∴，A選項(xiàng)，，，∴，對(duì)，B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)，C選項(xiàng)，由于，錯(cuò)，D選項(xiàng)，∵在為增函數(shù)，∴，∴，對(duì)，故選AD。10．下列說(shuō)法正確的是（）。A、將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，方差也變?yōu)樵瓉?lái)的倍B、若四條線段的長(zhǎng)度分別是、、、，從中任取條，則這條線段能構(gòu)成三角形的概率為C、線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱D、設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生且不發(fā)生的概率與發(fā)生且不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率為【答案】BD【解析】將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，方差也變?yōu)樵瓉?lái)的倍，A錯(cuò)，從中任取條共有種，若三段能構(gòu)成三角形,則只有、、一種，則構(gòu)成三角形的概率是，B對(duì)，，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，，線性相關(guān)性越弱，C錯(cuò)，由題意可知，，，設(shè)，，則，得，得，即，得（舍）或，得，即事件發(fā)生的概率為，D對(duì)，故選BD。11．設(shè)、分別是雙曲線：的左右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則下列結(jié)論正確的是（）。A、B、的焦距是C、的離心率為D、的面積為【答案】ACD【解析】設(shè)，則，，離心率，選項(xiàng)C正確，∴，，選項(xiàng)A正確，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，設(shè)，將代入得，的面積為，選項(xiàng)D正確，故選ACD。12．如圖所示，棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍?，、分別是棱和棱的中點(diǎn)，在棱上移動(dòng)，則下列結(jié)論成立的有（）。A、存在點(diǎn)，使垂直于平面B、對(duì)于任意點(diǎn)，平面C、直線的被球截得的弦長(zhǎng)為D、過(guò)直線的平面截球所得的所有圓中，半徑最小的圓的面積為【答案】ACD【解析】正方體的內(nèi)切球的球心即正方體的中心，，A選項(xiàng)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，∵，∴平面，而平面，則，同理，平面，可得，∵，∴平面，即垂直于平面，對(duì)，B選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，平面，平面，∴與平面相交，此時(shí)平面不成立，錯(cuò)，C選項(xiàng)，，取的中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，，∴，∵，∴，即到的距離為，∴直線的被球截得的弦長(zhǎng)為，對(duì)，D選項(xiàng)，設(shè)截面圓的半徑為，到平面的距離為，則，當(dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時(shí)，截面圓的半徑最小，∵到平面的距離小于等于到的距離，∴當(dāng)時(shí)，，∴半徑最小的圓的面積為，對(duì)，故選ACD。三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．已知函數(shù)，則。【答案】【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，則。14．某校有個(gè)社團(tuán)向高一學(xué)生招收新成員，現(xiàn)有名同學(xué)，每人只選報(bào)個(gè)社團(tuán)，恰有個(gè)社團(tuán)沒(méi)有同學(xué)選報(bào)的報(bào)法數(shù)有種（用數(shù)字作答）?！敬鸢浮俊窘馕觥扛鶕?jù)題意，分步進(jìn)行分析：①根據(jù)題意，個(gè)社團(tuán)中恰有個(gè)社團(tuán)，即只有個(gè)社團(tuán)有人報(bào)名，則先在個(gè)社團(tuán)中任選個(gè)，有學(xué)生報(bào)名，有種選法，②將名學(xué)生分為組，有種分法，③進(jìn)而將組全排列，對(duì)應(yīng)個(gè)社團(tuán)，有種情況，則恰有個(gè)社團(tuán)沒(méi)有同學(xué)選報(bào)的報(bào)法數(shù)有種，故恰有個(gè)社團(tuán)沒(méi)有同學(xué)選報(bào)的報(bào)法數(shù)有種。15．函數(shù)，，數(shù)列滿足，。①函數(shù)是增函數(shù)；②數(shù)列是遞增數(shù)列。（1）寫(xiě)出一個(gè)滿足①的函數(shù)的解析式；（2）寫(xiě)出一個(gè)滿足②但不滿足①的函數(shù)的解析式。（本題第一空2分，第二空3分）【答案】（1）；（2）（注：此題答案不唯一，寫(xiě)出一個(gè)正確的即可）【解析】（1）在上是增函數(shù)的函數(shù)有許多，可寫(xiě)為；（2）要找一個(gè)數(shù)列是遞增數(shù)列，而對(duì)應(yīng)的函數(shù)不是增函數(shù)，可寫(xiě)為，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合①中在上增函數(shù)的要求，而數(shù)列在上遞增。16．已知、是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的任意兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的最大值為?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，則，連接、、、，由題可知，∴，在中，，，，由，整理得，∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，∴，則。四、解答題：本題共小題，共分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，為的面積，且滿足。（1）求的大??；（2）若、，為直線上一點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)?！窘馕觥浚?）在中，，∵，∴，2分又，∴，即，又，∴；4分（2）在中，由余弦定理得：，又、，，5分∴，又，∴，6分在中，由正弦定理得，又，∴為銳角，∴，8分在中，，∴，，9分∴的周長(zhǎng)為。10分18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：?！窘馕觥浚?）當(dāng)時(shí)，，1分當(dāng)時(shí)，，，3分上式除以下式得：，4分經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)符合，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；5分（2）由（1）可知，，7分∴，8分∴。12分19．（本小題滿分12分）如圖所示，在五面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，。（1）若，求二面角的正弦值；（2）若平面平面，求的長(zhǎng)?！窘馕觥浚?）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，∴，，又，1分∴以、、為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、，則、，2分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，設(shè)，則、，∴，4分又、、，∴、，∴、，又，∴為平面的一個(gè)法向量，6分，∴二面角的正弦值為；7分（2）設(shè)（），則，、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，設(shè)，則，∴，9分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，設(shè)，則，∴，11分∵平面平面，∴，即，得，即。12分20．（本小題滿分12分）設(shè)為橢圓：的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)。（1）若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，求直線的方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、（），求證：為定值?！窘馕觥浚?）若為橢圓的上頂點(diǎn)，則，1分又過(guò)點(diǎn)，∴直線：，2分代入橢圓C：，可得，解得、，3分即點(diǎn)，從而直線：；4分（2）由題意可知，直線的傾角，設(shè)直線：，5分代入橢圓方程可得：，6分，則或，7分設(shè)、，∴，8分∴，10分又、均不為，故，即為定值。12分21．（本小題滿分12分）某機(jī)構(gòu)為研究考生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)系，從一次考試中隨機(jī)抽取名考生的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下表：數(shù)學(xué)成績(jī)物理成績(jī)（1）由表中數(shù)據(jù)可知，有一位考生因物理缺考導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，剔除該組數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，考生物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)這組數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)缺考考生如果參加物理考試可能取得的成績(jī)。（2）已知參加該次考試的名考生的物理成績(jī)服從正態(tài)分布，用剔除異常數(shù)據(jù)后的樣本平均值作為的估計(jì)值，用剔除異常數(shù)據(jù)后的樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，估計(jì)物理成績(jī)不低于分的人數(shù)的期望。附：參考數(shù)據(jù)：上表中的表示樣本中第名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，表示樣本中第名考生的物理成績(jī)，。參考公式：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)：、、…、，其方差：；②對(duì)于一組數(shù)據(jù)：、、…、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，。③若隨機(jī)變量服從，則，，。【解析】（1）設(shè)根據(jù)剔除后數(shù)據(jù)建立的關(guān)于的回歸直線方程為，剔除異常數(shù)據(jù)后的數(shù)學(xué)平均分為，剔除異常數(shù)據(jù)后的物理平均分為，則，則，∴關(guān)于的回歸直線方程為，4分又物理缺考考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椋喙烙?jì)其可能取得的物理成績(jī)?yōu)椋?/p>