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-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是最符合題意的.1.已知空間向量,,若與垂直,則等于()A. B. C. D.2.在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為()A.60 B.15 C.120 D.303.已知函數(shù),,則實(shí)數(shù)()A.4 B.3 C.2 D.14.已知,,,若,,三向量共面,則實(shí)數(shù)等于()A.1 B.2 C.3 D.45.李中水上森林公園原為荒灘,經(jīng)過(guò)治理,成為江蘇省最大的人工生態(tài)林。園內(nèi)栽種了10萬(wàn)余株水杉、池杉等品種樹(shù)木,垛與垛間的夾溝里魚(yú)游蝦戲。這里是丹頂鶴、黑鸛、貓頭鷹、灰鷺、蒼鷺、白鷺等候鳥(niǎo)的樂(lè)園。游客甲與乙同時(shí)乘竹筏從碼頭沿下圖旅游線路游玩。甲將在二月藍(lán)花海之前的任意一站下竹筏,乙將在童話國(guó)之前的任意一站下竹筏,他們都至少坐一站再下竹筏,則甲比乙后下的概率為()A. B. C. D.6.若函數(shù)在上有小于0的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.據(jù)說(shuō),笛卡爾擔(dān)任瑞典一小公國(guó)的公主克里斯蒂娜的數(shù)學(xué)老師,日久生情,彼此愛(ài)慕,其父國(guó)王知情后大怒,將笛卡爾流放回法國(guó),并軟禁公主,笛卡爾回法國(guó)后染上黑死病,連連給公主寫(xiě)信,死前最后一封信只有一個(gè)公式:國(guó)王不懂,將這封信交給了公主,公主用笛卡爾教她的極坐標(biāo)知識(shí),畫(huà)出了這個(gè)圖形“心形線”.明白了笛卡爾的心意,登上了國(guó)王寶座后,派人去尋笛卡爾,其逝久矣。某同學(xué)利用GeoGebra電腦軟件將,兩個(gè)畫(huà)在同一直角坐標(biāo)系中,得到了如右圖“心形線”.觀察圖形,當(dāng)時(shí),的導(dǎo)函數(shù)的圖像為()A.B. C.D.8.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是()A.展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為20 B.被7除余1C.展開(kāi)式的第二項(xiàng)為 D.被63除余110.如圖所示,在直三棱柱中,底面是以為直角的等腰直角三角形,,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,要使平面,則的值可能是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),,則()A.在上單調(diào)遞增 B.存在,使得函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn) D.任意,12.下列說(shuō)法正確的是()A.空間有10個(gè)點(diǎn),其中任何4點(diǎn)不共面,以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作1個(gè)四面體,則一共可以作210個(gè)不同的四面體B.甲、乙、丙3個(gè)人值周,從周一到周六,每人值2天,但甲不值周一,乙不值周六,則可以排出24種不同的值周表C.從0,1,2,…,9這10個(gè)數(shù)字中選出5個(gè)不同的數(shù)字組成五位數(shù),其中大于13000的共有26543個(gè)D.4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)盒子中,恰有1個(gè)空盒的放法共有144種三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.(請(qǐng)將所有填空題答案填到答題卡的指定位置中.)13._________.(用數(shù)字作答)14.函數(shù),的極值點(diǎn)為,則_________.15.如圖,正方形、的邊長(zhǎng)都是1,而且平面、互相垂直,點(diǎn)在上移動(dòng),點(diǎn)在上移動(dòng),若,則的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________.16.設(shè)實(shí)數(shù),若不等式恰好有三個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.四、解答題17.(1)解不等式.(2)若,求正整數(shù).18.如圖所示,四棱錐中,,,,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若點(diǎn)在線段上,且,若平面與平面所成銳二面角大小為,求的值.19.請(qǐng)從下列三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面已知條件中的橫線上,并解答問(wèn)題.①第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是;②第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比的絕對(duì)值為;③展開(kāi)式中有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.已知在的展開(kāi)式中,___________.(1)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng),并指出是第幾項(xiàng);(2)求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng).20.如圖所示,平面,四邊形為直角梯形,四邊形ADFE為矩形,,.(1)記平面平面,求證:平面;(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得二面角的正弦值為.若存在,求出長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.21.某展覽會(huì)有四個(gè)展館,分別位于矩形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、處,現(xiàn)要修建如圖中實(shí)線所示的步道(寬度忽略不計(jì),長(zhǎng)度可變)把這四個(gè)展館連在一起,其中百米,百米,且.(1)設(shè),求出步道的總長(zhǎng)(單位:百米)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(參考數(shù)據(jù),)(2)求步道的最短總長(zhǎng)度(精確到0.01百米).22.已知函數(shù)的最大值是.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)設(shè)函數(shù),若,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案題號(hào)123456789101112答案BABABCADBCDACABDAD13.49414.15.16.17.所以且,,經(jīng)驗(yàn)算,可得; 5分(2)因?yàn)? 8分所以,則滿足題意,且在且時(shí)遞增,因此是唯一解; 10分18.(1)證明:因?yàn)椋?,故.又平面平面,平?.平面,平面,故平面;因?yàn)槠矫?,故平面平面?4分(2)解:設(shè)為的中點(diǎn),連接,因?yàn)椋?,又平面平面,故平面,如圖,以為原點(diǎn),分別以,和平行于的方向?yàn)?,,軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,2,,,4,,,0,,,1,,因?yàn)椋瑒t,所以,,,易得平面的一個(gè)法向量為, 6分設(shè)為平面的一個(gè)法向量,,,由得不妨?。?8分因?yàn)槠矫媾c平面所成銳二面角為,所以,解得,(不合題意舍去),故. 12分19.解:(1)由二項(xiàng)式知:展開(kāi)式通項(xiàng)為, 3分①第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、,故,,又,解得. 6分②第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別為,,則有,解得 6分③展開(kāi)式中有且只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,展開(kāi)式共有7項(xiàng),從而可知. 6分由上知:展開(kāi)式通項(xiàng)為,當(dāng),有時(shí),常數(shù)項(xiàng)為. 8分(2)由上知:展開(kāi)項(xiàng)通項(xiàng)為,要求有理項(xiàng),可知,2,4,6, 10分有理項(xiàng)分別為,,60,. 12分20.(1)延長(zhǎng)、交于點(diǎn),連接即為交線,在直角梯形中,由于,,所以為的中點(diǎn),則有,因?yàn)槠矫?,平面,所以.則為等腰直角三角形,,即.因?yàn)槠矫?,平面,所?.又因?yàn)?,平面,,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,又因?yàn)槠矫?,,所以平面?4分(2)由平面,,所以?xún)蓛苫ハ啻怪?,以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,所以,,設(shè),則,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得:,令,則,所以, 6分而平面的一個(gè)法向量為, 8分則,由于二面角的正弦值為,則,所以,則或, 10分因?yàn)?,所以,又,所以?12分21.(1)設(shè),則,,,則,解得,又因?yàn)?所以,所以). 6分(少定義域扣2分)(2),,令,可得, 8分當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取得極小值(最小值) 10分(百米),所以步道的最短總長(zhǎng)度約為18.39百米. 12分22.(1)求導(dǎo),得令,解得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值,即,所以 2分(2)令,求導(dǎo),得 4分
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