遼寧省重點中學2022-2023學年度高考適應(yīng)性測試及參考答案

遼寧省2022-2023學年度高考適應(yīng)性測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A． B．1 C． D．22．已知集合，，則（）A． B．C． D．3．函數(shù)在上單調(diào)遞減的充分必要條件是（）A． B． C． D．4．如圖，在三棱錐中，，，過點作截面，則周長的最小值為（）A． B． C． D．5．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，下列說法正確的是（）A． B．C． D．在上的投影向量為6．某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%．若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個，則選到綁帶式口罩的概率為（）A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.777．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知實數(shù)，，，且，，，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．的最小正周期為B．是的最大值C．把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象D．時，的最小值為，的最大值為110．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點、，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等11．瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，，其歐拉線方程為，則頂點的坐標可以是（）A． B． C． D．12．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當時，若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有9個，則實數(shù)m的取值可以是（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在的展開式中，含的項的系數(shù)是______．14．已知數(shù)列滿足，，則______．15．若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．16．已知函數(shù)，的定義域均為R，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是______．（只填序號）①為偶函數(shù) ②為奇函數(shù) ③ ④四、解答題：本題共小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）在銳角中，角，，，的對邊分別為，，，從條件①：，條件②：這兩個條件中選擇一個作為已知條件．（1）求角的大?。唬?）若，求周長的取值范圍．18．（12分）已知為單調(diào)遞增數(shù)列，為其n前項和，．（1）求的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前n項和，證明：．19．（12分）芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對其有記載：“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”，如圖，在芻甍中，四邊形ABCD是正方形，平面和平面交于．（1）求證：；（2）若平面平面ABCD，，，，，求平面和平面所成角余弦值的絕對值．20．（12分）甲、乙兩地教育部門到某師范大學實施“優(yōu)才招聘計劃”，即通過對畢業(yè)生進行筆試，面試，模擬課堂考核這3項程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項程序分別由3個考核組獨立依次考核，當3項程序均通過后即可簽約．去年，該校數(shù)學系130名畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”的具體情況如下表（不存在通過項3程序考核放棄簽約的情況）．人數(shù)

性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生4515女生6010今年，該校數(shù)學系畢業(yè)生小明準備參加兩地的“優(yōu)才招聘計劃”，假定他參加各程序的結(jié)果相互不影響，且他的輔導(dǎo)員作出較客觀的估計：小明通過甲地的每項程序的概率均為通過乙地的各項程序的概率依次為，，m，其中．（1）判斷是否有90%的把握認為這130名畢業(yè)生去年參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”能否簽約與性別有關(guān)；（2）若小明能與甲、乙兩地簽約分別記為事件，，他通過甲、乙兩地的程序的項數(shù)分別記為，．當時，證明：．參考公式與臨界值表：，．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63521．（12分）已知橢圓的左右頂點分別為，，上頂點為，離心率為，，點，為橢圓上異于，的兩點，直線，相交于點．（1）求橢圓的方程；（2）若點在直線上，求證：直線過定點．22．（12分）已知函數(shù)．（其中為非零實數(shù)）（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，，求證：．參考答案及評分意見1．B【解析】由題意：，滿足題意時．解得．故選B．2．C【解析】，，∴．故選C．3．B【解析】若在上單調(diào)遞減，則滿足且，則．即在上單調(diào)遞減的一個充分必要條件是．故選B．4．C【解析】如圖．沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個平面內(nèi)，如下圖所示：則即為的周長的最小值，且，在中，由勾股定理得；．故選C．5．D【解析】對A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯誤；對B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有，與共線且同方向．易知，均為含角的直角三角形，故，則，而，故，故，故B錯誤；對C，因為，．故C錯誤；對D，，則在上的投影向量為，故D正確．故選D．6．D【解析】由圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩的占比分別為70%，20%，10%，記事件，，分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩，則，且，，兩兩互斥，所以，，，又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%，記事件B為“選到綁帶式口罩”，則，，，所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為．故選D．7．A【解析】三棱錐中，，，，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的體對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，故選A．8．A【解析】由，，得，，，因此，，．設(shè)函數(shù)，則，，，，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，又，，，所以．故選A．9．AC【解析】因為，所以周期，故A正確；．故B不正確；將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，故C正確，因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，取得最大值，最大值為2．當時，取得最小值，最小值為．故D不正確．故選AC．10．ABC【解析】由，，可證平面，從而，故A正確；由平面，可知平面，故B正確；設(shè)與交于點，則為三棱錐的高，，三棱錐的體積為為定值，故C正確；由圖形可以看出，到線段的距離與到線段的距離不相等，所以的面積與的面積不相等，故D錯誤．故選ABC．11．AD【解析】設(shè)，的垂直平分線為，的外心為歐拉線方程與直線的交點，∴，∴①，由，，重心為，代入歐拉線方程，得②，由①②可得，或，．故選AD．12．BC【解析】因為定義在R上的偶函數(shù)滿足，所以，所以，從而4為函數(shù)的周期，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)的示意圖，關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個，從而滿足解得，則實數(shù)m的取值范圍為，，，．故選BC．13．【解析】因為，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是．故答案為．14．2022【解析】因為，即，所以，等式兩端同時除以，整理得：，即為常數(shù)列．因為，所以，所以，所以．故答案為2022．15．【解析】由題意可得對任意恒成立，由，，可得，當且僅當即時取得等號，則，解得．故答案為．16．①④【解析】因為，所以，又，則有，因為是奇函數(shù)，所以，可得，即有與，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù)．因為，所以，所以為偶函數(shù)．故①正確；由是奇函數(shù)，則，所以，又，所以，所以③錯誤；由得，所以②錯誤；因為，，所以，所以，所以④正確．故答案為①④．17．解：（1）選條件①：因為，所以，所以．又因為，所以，所以，所以．選條件②：由正弦定理可得．即，又因為，所以．因為，所以．（2）∵，，∴，，則即，即周長的取值范圍為．18．解：當時，，所以，即，又為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，由得，所以，整理得，所以，所以，即，所以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以．（2）證明：，所以．19．（1）證明：在正方形中，，平面，平面，所以平面．又平面，平面與平面交于，∴．（2）解：過點作于，過點作于，連接．由平面平面，平面平面，∴平面．又平面，∴．以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）知，∴．在四邊形中，，，，所以，．在正方形中，，所以．因為，且，所以．所以，，，，，所以，，，．設(shè)平面的一個法向量，由令，則．設(shè)平面的一個法向量，由令，則．設(shè)平面和平面所成角為，則，所以平面和平面所成角余弦值的絕對值為．20．解：（1）因為，所以沒有90%的把握認為去年該校130名數(shù)學系畢業(yè)生參加甲地教育部門“優(yōu)才招聘計劃”能否簽約與性別有關(guān)．（2）因為小明參加各程序的結(jié)果相互不影響，所以，則．的可能取值為0，1，2，3．，，，．隨機變量的分布列：0123．因為，所以，即，所以，所以21．（1）解：依題意，，，，，，解得所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，，則，，，①當直線垂直于軸時，由對稱性，直線，交于軸，不合題意，舍去．②當直線不垂直于軸時，設(shè)其方程為，聯(lián)立得．依題意，，，，．所以．因為，，所以直線方程為，直線方程為．依題意，設(shè)，因為為