概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題習(xí)題與講解224

P(X=2)=P(1,1)=1×1=1

6636

1

P(X=3)=P("1,2"∪"2,1")=1×1+1×1=2

666636

1

P(X=4)=P("1,3"∪"2,2"∪"3,1")=1×1+1×1+1×1=3

66666636

1

11

36

"1,1"∪"1,2"∪"1,3"∪"1,4"∪"1,5"∪"1,6"∪"2,1"∪"3,1"∪"4,1"∪"5,1"∪"6,1"

X

X

X

{}

PX=0=C3=7

8

C3

15

10

{}

PX=1=C1C

82=7

2

C3

15

10

{}

PX=2=C2C

81=1

2

C3

15

10

p(0<p<1)

X

X

p

X

r

Y

Y

rp

Y

{}

PX=k=p(1?p)k?1,k=1,2,......

{}

PX=k=Cpr(1?p)k?r,k=r,r+1,......

r?1

k?1

{}

PX=k=a,k=1,2.....,N

N

X

a

{}??

2

k

,=1,2.....

X

b

PX=k=b???k

??

3

λk

{}

PX=k=c?

λ

,k=0,1,2......>0

X

c

k!

∑

∑

{}

PX=k=

a=a=1

N

N

N

∴a=1

k=1

k=1

2b

∑

∑

??

∞

??

{}

∞

2

k

∴b=1

2

PX=k=b???=3=2b=1

2

3

3

1?

k=1

k=1

∑

∑λ

{}

∞

∞

k

PX=k=c?=ceλ=1

∴c=e?λ

k!

k=0

k=0

{}

PX=k=k,k=1,2,3,4,5

15

X

F(x)

{

}

?

?

?

??

P<X<5

1

F

1

P≤X≤2

1

??

?

?

?

??

5

2

2

?

?{}{}

?

?

P<X<5=PX=1+PX=2=1+2=1

1

?

?

2

2

15155

{

}{}{}

P1≤X≤2=PX=1+PX=2=1+2=1

15155

??

?

?

1

≤1=0

?

?

PX

F

??=

??

5

?

?

5

t

0.1

X

X~b(5,0.1)

{}()()

3

PX=2=C0.10.9=0.0729

2

2

5

{}{}

px≥1=1?PX=0=1?0.95=0.4095

{}{}{}()()()

5

px≤3=1?PX=4?PX=5=1?C0.10.9?C0.1=0.99954

4

4

1

5

5

5

1

=1

70

C4

8

1

X~b(10,)

70

X

{}

1

69

P{X=3}=C3×()3×()7≈3.16×10?4

10

X=

3

70

70

∑

e

?3

3

x

k

=0.999

k!

k=0

∑

+∞

e

?33k

=0.000292<1?0.999=0.001

k!

k=11

{

}{}{}

P3≤X≤5=PX≤5?PX≤2

1?P{X≥6}?(1?P{X≥3})

(P{X≥3})?P{X≥6}

∑∑

+∞

e

?

4

+∞

e

?44k

4

k

?

k!

k!

k=3

k=6

X~B(10,0.08)

(

0≤n<10)

n

λ

{}P{X>n}=

X>n

∑

∑

+∞

≈

e

?λ

k

(λ=0.8)

10

Ck(0.08)k(0.92)10?k

10

k!

k=n+1

k=n+1

{}

PX>2=0.0474<0.05

n+1=3,n=2

n=1

{}

PX>1=0.551>0.05

P{X≥3}

λ=np=3000×0.0001=0.3

P{X≥3}∑+∞0.3ke?0.3

=0.0036

k!

k=3

{}()

PX=k=Cp1?p

n?k

k

k

n

P{X=k}

λ

{}

pX=k=

e

?λ

k

k!

P{X=k}

P{X=k}

()

CkPk?p

n

1

n?k

M=

}=

PX=k?1

{

()

1

Ck?1Pk?1?P

n?k+1

n

()

(

)

n?1+kP=kq+n?1+kP?kq

=

kq

kq

()()

n+1P?p+qk

=1+

kq

∴k<(n+1)p,M>1

k=(n+1)p,M=1

{}{

}

PX=k=PX=k?1

k>(n+1)p,M<1

()

?+?

n1p1,(n+1)p,(n+1)p

k=?

n+1p

n+1p

?

λ

P()

λ

P(k?1;)k

λ

P(k;)

λ

=

k=2,3...

k<λ

k>λ

k=λ

P(k?1;λ)<P(k;λ)

P(k?1;λ)>P(k,λ)

λλ

λλ

P(,)=P(?1;)

[λ]

λk

P(k;)

k=[λ]

[]

λλ

P(;)

λ

k

λ

P(k;)

λλ

λλ

,

λ

,1,

??

k=

?[]

?

?

?

x<0

0

F(x)=Ax2

0≤x<1

x≥1

?

?

?

1

{}P{X>3/2}

PX<1/2

A

{

}

P0≤X≤2

?

?

x<0

0≤x<1

x≥1

0

∴1=F1=limF(x)=limAx2=Af(x)=F'(X)=2x

?

?

x??→1

x??→1

?

0

∫

∫

1/2

{}=F()

PX<1/21/2=1/4

1/2

P{X<1/2}=f(x)dx=2xdx=1/4

?∞

0

{

}∫

∫

∞

∞

PX>3/2=f(x)dx=0dx=0

3/2

}{

3/2

{

}

PX>3/2=1?PX≤3/2=1?F(3/2)=1?1=0

{

}∫

∫∫

12

2

P0≤X≤2=f(x)dx=2xdx+0dx=1

0

0

1

{

}

P0≤X≤2=F(2)?F(0)=1?0=1

?

?

x<0

0

f(x)=F'(X)=2Ax

0≤x<1

x≥1

?

?

?

0

1=

∫+∞f(x)dx=12Axdx=A∴A=1

∫

?∞

0

?

?

0<x≤1

1<x≤2

x

f(x)=2?x

?

?

?0

F(X)

{}{}{

}

PX<0.5,PX>1.3,P0.2<X<1.2

F(x)=P{X≤x}=∫

f(x)dx

x

?∞

?

x≤0

0

?∫

xxdx=x2

2

0<x≤1

?

?

=

∫∫

?

?

?

0

xdx+x(2?x)dx=2x?x2/2?1

1<x≤2

x>2

1

0

∫∫∫

1

xdx+2(1?x)dx+x0dx=1

?

?

1

0

1

2

{}

PX<0.5=F(0.5)=1/8

?

?

?

{}

1.32

PX>1.3=1?F(1.3)=1??2×1.3?

?1?

?

?

?

2

{

}

P0.2<X<1.2=F(1.2)?F(0.2)=0.66

P(X>1.3)=∫+∞f(x)dx,P{X<0.5}=∫

∫

0.5f(x)dx,P{0.2<X<1.2}=1.2f(x)dx,

1.3

?∞

0.2

1

2

θ

X

f(x)=??θe?θx

,x>0

?0,x≤0

{}{}∫

PX>c=1?PX≤c=1?f(x)dx

c

?∞

∫

∫

=1?f(x)dx?cf(x)dx

0

?∞

0

∫∫

=1?0dx?edx=eθ=1

θ

?x

θ

?c

0

c

2

?∞

0

∴c=ln2

θ

X

?

1000

f(x)=??

,x>1000

x2

?

?0,

x

{

}{

}∫1500f(x)dx

Px>1500=1?PX≤1500=1?

?∞

=1?∫1000f(x)dx?

∫

1500f(x)dx

?∞

1000

1000

=1?∫0dx?∫

1000

1500

dx

x

2

?∞

1000

=2

3

P{X≥2}=1?P{X=0}?P{X=1}

????????

2

0

1

5

2

1

1

4

232

243

=1?C0?????C????

1

????

33

????

33

5

5

X

?

1

5

?0

f(x)=??

x>0

e

?x/5

?

A={X≤10}

P(A)=P{X≤10}=∫

∫

10f(x)dx=

10

1

5

e?x/5dx=1?e?2

?∞

0

{}

PY≥

Y

1

Y~b(5,1?e2)∴P{Y≥1}=1?P{Y=0}=1?(e)≈0.998

?(?2)5

X~N(3,22)

≤

≤

x

≤

{

}

53

?

23

?

()

?

?

?

?

?

?

?

??

1

?=Φ1?Φ???

??

P2<X≤5=

Φ?

?

??Φ?

2

2

2

=0.8413?1+0.6915=0.5328

{

}

103

?

?

43

??

??Φ?

?

?

?

?

?

?

P?4<X≤10=

Φ?

?

?

2

2

()()()

=Φ3.5?Φ?3.5=2Φ3.5?1=0.9996

{}

{}{}{}{}

PX>2=PX<?2∪X>2

=PX<?+PX>

2

2

=Φ????2?3?

?2?3?

?+1?Φ?

?

?

?

?

2

2

=Φ(?2.5)+1?Φ(?0.5)

{}{}

33

?

?

?

?

?

=?Φ?

PX>3=1?PX≤31

?=?

10.5=0.5

2

QP{X>c}=P{X≤c}

∴1=2P{X≤c}

∴1?P{X≤c}=P{X≤c}

{}

∴1=

PXc

≤

2

?c?3?1

?2?2

?3=0?c=3

Φ?

?=

∴c

2

σ

μ=

±

.

X

{

}

1?P10.05?0.12<X≤10.05+0.12

=1?Φ???10.05+0.12?10.05?

??+Φ???10.05?0.12?10.05?

?

0.06

0.06

?

=1?Φ??0.12??+Φ???0.12?

?0.06?

?0.06??

μ=180

σ=10

x

{

}?160?180??=1?Φ2=0.0228

()

PX≥160=Φ?

?

10?

np=10×0.0228≈0.2

x

1?P{x≥3}

1?P{x≥3}=1?0.0011=0.9989

α

z0.01,2z0.003

P{X>z}=0.01,P{X≤z}=1?0.01=0.99

0.01

0.01

Φ(z)=0.99

z=2.33.

z=2.75

0.003

0.01

0.01

X

Y

XY

XY

XY

{

}

{}

{}

PX=1,Y=2=12/35,PX=2=18/35PY=1=4/7

P{X=2}P{Y=1}

721284

≠

=

24535245

XY

XY

?ke?3x?4yx>0,y>0

f(x,y)=?

?

0,

k

XY

?+

xxy/3,0≤x≤1,0≤y≤2

2

f(x,y)=

≥

p{x+y1}

XY

?

?

0,

?

e?y

?

0,

?

0<x<y

f(x,y)==

XY

?3

f(x,y)=??2

0<x<1,?x<y<x

x

?

?

0

XY

f(x)=∫+∞f(x,y)dy

=∫+

∫

3

2

0<x<1

xf(x,y)dy=+x

xdy=3x2

f(x)

X

X

?∞

?x

?x

?

0<x<1

3x2

∴f(x)=

X

?

?

0

f(y)=∫+∞f(x,y)dx

?1<y<1

?3

Y

?∞

f(y)=∫1

3

2

xdx=3(1?y2)

∴f(y)=??

0<x<1

(1y2)

?

4

4

?

Y

Y

|y|

?0

?9

?

?

x2(1?y2)

0<x<1?1<y<1

∴f(x)f(y)=

4

?

?

X

Y

0

f(X)f(Y)≠f(X,Y)

X

Y

XY

XY

X

12

Y

11/6

21/9

31/18

1/3

α

β

α

β

XY

2

9

β=1

α=

XY

XY

9

x2+Xx+Y=0

x2+Xx+Y=0

?X

?4Y≥0

2

2

P{X2?4Y2≥0}

XY

XY

f(y)=?1

0<y<1

?1

0<x<1

f(x)=

X

?

?

?

X

Y

0

0

?

Y

f(x,y)=f(x)f(y)=?1

0<x<10<y<1

?

0

?

X

Y

∫∫

P{X2?4Y≥0}=f(x,y)dxdy

G

∫∫∫∫dy=1

=dxdy=dx

1

x2/4

12

0

0

G1

XY

X

01

Y

?e?y/2

?

y>0

f(y)=

Y

?

2

0

?

y<=0

?

(1)XY

σ

σσ

2

+2X+Y=0

2

X~U(0,1)

?1,0<x<1

∴f(x)=

X

?

0,

?

QXY

∴XY

?

1

2

()()?

y

e?2

0<x<1,y>0

∴fxy=fxfy=

X

?

Y

?

0,

?

()

?=4X?Y≥0

2

{()}{≥Y}

P4X

?Y≥0=PX

22

=∫1dX∫X2

1

2

Y

e?2dY

0

0

XY

λλ

??

exx>0

f(x)=

X

?

?

0

x<=0

μμ

??

eyy>0

f(y)=

Y

?

?

0

y<=0

?1,

X≤Y

λ>0,μ>0,

?

Z=

0,X>Y

?

1

2

Z

QXY

∴f(xy)=f(x)=?λe

,x>0

?x

λ

?

0,x≤0

?

XY

X

?λ

?

e?λx,x>0

∴f(xy)=f(x,y)

XY

f(x)f(y)=f(x)=

X

Y

f(y)

f(y)

0,

x≤0

?

X

Y

Y

P{Z=0}=P{X>Y}

P{Z=1}=P{X≤Y}

?λμe(

λμ),x>0,y>0

?x+y

Qf(x,y)=?

0,

?

{}∫+∞∫

λμ?

e

∴PX>Y=

dxx

(λ

x+

)

μ

dy

y

0

0

()

μ

∫+∞λ

=

1?ee?λxdx=

?μx

μ+λ

0

λ

{}{}

PX≤Y=1?PX>Y=μ+λ

μ

λ

μ+λ

μ+λ

X

?100

?

?

x>100

f(x)=

x

2

?

?

0x≤100

150

3

3

3

P{X>150}=∫+∞100dx=2

150x2

3

n

{}

????

21

30

?3??3?

Pn=3=C????=8

3

3

27

{}????

Pn=0=C????=1

21

03

0

?3??3?

27

3

X

X

?1

01

Pk

0.30.4

0.3

Y=2X2+1

X

X

?2

?1

01

1/3

3

Pk

Y=2X

1/51/6

1/15

11/30

2

1

5

7

1

5

11

30

30

Y=eX

Y=2X2+1

Y=X

X~01)

{}

{}

F(y)=PY≤y=PeX

≤

y

Y

y≤0

y>0

F(y)=0

Y

{}

F(y)Px≤lny=F(lny)

Y

?0

y≤0

∴f(y)=??

1

πe?(lny)2/2

y>0

?

Y

y2

?

{}

{}

F(y)=PY≤yPX

=2+1≤

2

y

Y

=P???

y?1≤x≤y?1??

=F

X

?

?

?

?

?

?

?

?

?F?

X

?

y?1?

?

?

y?1

?

?

?

2

2

2

2

?

?

?

′

?

?

?

′

?

?

?

?

y?1??

??

??

?

?

y?1??

??

??

y?1?

y?1

?

?

?

?

f

?f?

X

?

??

2

?

??

2

2

2

?

X

{}{

}

F(y)=PY≤y=P?y≤x≤y

Y

()()

=Fy?F?y

X

X

()()??2

2

y

e?2,y>0

0,y≤0

fy+f?y=

X

?π

X

?

?

?

W=2I2

W

?1

f(i)=??

,9≤i≤11

2

?

?

0,

{}

≤t=P?t/2≤I≤t/2

{}

{}

F(t)=PW≤t=P2I

W

2

??

()

t

=F???F0

t>0

0

??

2

??

I

I

??

()

1

t

1

,162<t<242

??

??

∴ft=

W

=

42t

f

22t

2

??

I

0

?1

∴f(t)=??

,162<t<242

42t

?

W

0,

?

X

?e?x,x>0

f(x)=??0,

Y=X2

{

}

y

{}

{}

y≥0

≤=

F(y)=PYyPX

Y

yP

≤=?

y≤X≤

2

()()

?

?

?

Fy?F?y,y≥0

∴F(y)=

X

X

0

,y<0

Y

?1

(e?y+ey),y≥0

,y<0

∴f(y)=F′(y)=?

?

2y

Y

Y

?

0

?

XY

X

012

Y

01

1/32/3

P

1/23/81/8Pk

k

X+Y

XY

Z=X+Y

{}{

}{}{}111

236

PZ=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0=×=

XY

λ>0,μ>0

X+Y

f(x)=?λe

f(y)=?μe?μy

x>0

x≤0

y>0

y≤0

?x

λ

?

?

0

?

0

?

X

Y

λμ

λ?μ

?

?

?

λ≠μ

(e?μz?e?λz)

λ

λ=μ

f(z)=ze

2

?

?z

λ

X+Y

?

0

z≤0

?

?

∫

∫

z

z

f(z)=

z

λμe?λx?μ(z?x)dx=e

λμ

?z

μ

e?(λ?μ)xdx

0

0

:(X,Y)

?λμe

x>0,y>0

?x?y

λμ

f(x,y)=?

0

x≤0y≤0

?

∫

+∞

f(z)=f(x,z?x)dx

z

?∞

Z=X+Y

f(x,z-x)

XY

f(x)=?

e?x,x>0

?

?

?

x>0

?x>0

?

?

?

0,,x≤0

z?x>0

zx

>

?

X+YX?Y

πλ

πλ

πλλ

XY

X~(),Y~()

X+Y~(+)

1

2

1

2

λ

λj

2

j!

πλ

k

πλ

X~()?P{X=k}=

Y~()?P{Y=j}=

e

?λ

e

?λ

1

1

2

k!

1

2

∑

U

i

X=k,Y=i?k}]=P{X=k,Y=i?k}XY

i

P{X+Y=i}=P[{

k=0

k=0

∑λ

λ

i?k

2

∑

k

i

=?

P{XkPYik

=?}=

i

e?λ

?

1

(i?k)!

P{X+Y=i}=

}{

e?λ2

1

k!

k=0

k=0

?

?

?

?

λλ

∑

?e

?(λ+λ)

i

i!?

k

1

?

i?k

2

=

=

?

k!(i?k)!??

1

2

i!

k=0

?

∑

?

?

?

e

?(λ1+λ2)

i

Ck?λk?λ

?

i?k

2

?i!

i

1

k=0

λλ

=(+)i

e

?(λ+λ2)

1

i=0,1,2,…

1

2

i!

πλλ

X+Y~(+)

1

2

XY

XY

?1000

?

?

,x>1000

2

f(x)=

x

?

0,

?

X

Y

Z=

X

Y

{}?180?160?()

PX<180=Φ?

?=Φ1=0.8413

?20?

Y~B(4,08413)

{}(

)

PY=0=C1?0.8413

0

4

σ

N(0,2)

XY

?

z

?

?

z≥0

e

?z2/2

σ

2

Z=X2+Y2

f(z)=

Z

σ

2

?

?

0

XY

1

2πσ2e

f(x,y)=f(x)f(y)=

F(z)=P{X2+Y2≤z}

Z

?(x2+y2)/2σ2

X

Y

z<0F(z)=0

Z

∫∫

z≥0F(z)=f(x,y)dxdy

Z

?

=∫∫

1

π

dθ

z

e?r

rdr

2/2σ2

2

0

0.2πσ2

=1×(?2)e

|z=1?e

0

σ

?r2/2σ2

?z2/2σ2

σ

2

z

∴f(z)=e?z

Z

2/2σ2

σ

2

?

z

?σ2

0

?

z≥0

e

?z2/2

σ

2

∴f(z)=

Z

?

?

X

Y

XY

XY

XY

XY

C2C

3

C3C`

32

2

2

C

4

7

C

4

7

C1C1C

3

C2C1C

C3C

3

C

4

7

2

2