微分幾何曲面論曲面的第二基本形式

微分幾何曲面論曲面的第二基本形式第1頁/共69頁§3曲面的第二基本形式主要內(nèi)容1.曲面的第二基本形式；2.曲面上曲線的曲率；3.Dupin指標(biāo)線；4.曲面的漸近方向和共軛方向；5.曲面的主方向和曲率線；6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率；7.曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)；8.Gauss曲率的幾何意義.第2頁/共69頁3.1曲面的第二基本形式1.切平面到曲面上點(diǎn)的無窮小有向距離第3頁/共69頁第4頁/共69頁2.曲面的第二基本形式定義注計(jì)算公式：第5頁/共69頁第6頁/共69頁第7頁/共69頁例1解：第8頁/共69頁第9頁/共69頁例2解：第10頁/共69頁3.2曲面上曲線的曲率1.曲面上曲線的曲率第11頁/共69頁2.法截線、法曲率第12頁/共69頁定義第13頁/共69頁定理第14頁/共69頁例3解：第15頁/共69頁例4證：第16頁/共69頁3.3杜邦(Dupin)指標(biāo)線定義方程第17頁/共69頁注第18頁/共69頁形狀第19頁/共69頁曲面上點(diǎn)的分類第20頁/共69頁3.4曲面的漸近方向和共軛方向復(fù)習(xí)二次曲線1.漸近方向定義：曲線的分類：叫做二次曲線的漸近方向.2.

中心定義：如果點(diǎn)C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(diǎn)那么點(diǎn)C叫做二次曲線的中心.第21頁/共69頁求法：曲線的分類：第22頁/共69頁3.

直徑定義：

也叫做共軛于平行弦方向的直徑.二次曲線的平行弦中點(diǎn)軌跡叫做二次曲線的直徑，4.

共軛方向定義：求法：5.

主直徑與主方向定義：

主直徑的方向與垂直于主直徑的方向都叫做二次曲線的主方向．二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑叫做二次曲線的主直徑，第23頁/共69頁1.曲面的漸近方向定義注第24頁/共69頁定義命題1證:注第25頁/共69頁命題2證:第26頁/共69頁定理注定義注第27頁/共69頁命題3證:第28頁/共69頁2.共軛方向定義定理第29頁/共69頁定義命題證：第30頁/共69頁命題4第31頁/共69頁3.5曲面的主方向和曲率線1.主方向定義問題：第32頁/共69頁第33頁/共69頁第34頁/共69頁定義注第35頁/共69頁例5證：例6證：第36頁/共69頁第37頁/共69頁主方向的判別定理證：第38頁/共69頁注第39頁/共69頁2.曲率線與曲率線網(wǎng)定義方程命題證：第40頁/共69頁第41頁/共69頁注命題5例7解：第42頁/共69頁3.6曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率1.主曲率定義第43頁/共69頁第44頁/共69頁注第45頁/共69頁命題6證：第46頁/共69頁主曲率的計(jì)算公式第47頁/共69頁第48頁/共69頁2.高斯曲率和平均曲率定義第49頁/共69頁第50頁/共69頁例8解：xyzo第51頁/共69頁第52頁/共69頁xyzo第53頁/共69頁例9注：解：第54頁/共69頁第55頁/共69頁第56頁/共69頁3.7曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)曲面上點(diǎn)的分類第57頁/共69頁P(yáng)第58頁/共69頁︷︸第59頁/共69頁第60頁/共69頁第61頁/共69頁3.8高斯曲率的幾何意義1.曲面的球面表示、曲面的第三基本形式定義注第62頁/共69頁定義命題證：第63頁/共69頁第64頁/共69頁命題