2023高考數(shù)學(xué)壓軸題精煉一

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2023高考數(shù)學(xué)壓軸題精煉一

1．（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點M?1,2?，它們在x軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點.

（Ⅰ）求這三條曲線的方程；

（Ⅱ）已知動直線過點P?3,0?，交拋物線于A,B兩點，是否存在垂直于x軸的直線l?被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，說明理由.

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為y2?2px?p?0?，將M?1,2?代入方程得p?2

?拋物線方程為:y2?4x………………（1分）

由題意知橢圓、雙曲線的焦點為F??1,0?1,F2?1,0?,?c=1…（2分）對于橢圓，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22?a?1?2?a2?1?2??2?3?22………………（4分）

?b2?a2?c2?2?22?橢圓方程為：x23?22?y22?22?1對于雙曲線，2a??MF1?MF2?22?2?a??2?1?a?2?3?22?b?2?c?2?a?2?22?2?雙曲線方程為：x23?22?y222?2?1………………（6分）

（Ⅱ）設(shè)AP的中點為C，l?的方程為：x?a，以AP為直徑的圓交l?于D,E兩點，DE中點為H

?x?3y1?,?………………（7分）令A(yù)?x1,y1?,?C?122???DC?112AP??x1?3??y1222

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?DH?DC?CH?21?12?x1?3??y12???x?2a?3?????4?14???a-2?x1?a2?3a2當(dāng)a?2時,DH??4?6?2為定值;?DE?2DH?22為定值此時l?的方程為：x?2…………（12分）

2．（14分）已知正項數(shù)列?an?中，a1?6，點Anan,an?1在拋物線y2?x?1上；數(shù)列?bn?中，點

??Bn?n,bn?在過點?0,1?，以方向向量為?1,2?的直線上.

（Ⅰ）求數(shù)列?an?,?bn?的通項公式；

??an,?n為奇數(shù)?（Ⅱ）若f?n???，問是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出

??bn,?n為偶數(shù)?k值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）對任意正整數(shù)n，不等式

an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0成立，求正數(shù)a的取值范圍.

解：（Ⅰ）將點Anan,an?1代入y2?x?1中得

??an?1?an?1?an?1?an?d?1?an?a1??n?1??1?n?5直線l:y?2x?1,?bn?2n?1??n?5,?n為奇數(shù)?（Ⅱ）f?n???………………（5分）

2n?1,n為偶數(shù)????…………（4分）

當(dāng)k為偶數(shù)時，k?27為奇數(shù)，?f?k?27??4f?k??k?27?5?4?2k?1?,?k?4當(dāng)k為奇數(shù)時，k?27為偶數(shù)，?2?k?27??1?4?k?5?,?k?綜上，存在唯一的k?4符合條件。（Ⅲ）由

……（8分）

35?舍去?2an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0

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記f?n???f?n?1????f?n?1?f?n?2?1??1??1??1???1???1????1???1?2n?5?b1??b2??bn??bn?1?12n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3?1?4n2?16n?164n?16n?15?f?n?1??f?n?,即f?n?遞增，?f?n?min?f?1???0?a?4515………………（14分）

3.（本小題總分值12分）將圓O:x?y?4上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?橫坐標(biāo)不變),得到曲線C.(1)求C的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,過點F(3,0)的直線l與C交于A、B兩點,N為線段AB的中點,延長線段ON交C于點E.

求證:OE?2ON的充要條件是|AB|?3.

221445?,5315??x??x,??解:(1)設(shè)點P(x,y),點M的坐標(biāo)為(x,y),由題意可知?………………(2分)

?y?2y,?x2?y2?1.又x??y??4,∴x?4y?4?42222x2?y2?1.………………(4分)所以,點M的軌跡C的方程為4(2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),點N的坐標(biāo)為(x0,y0),㈠當(dāng)直線l與x軸重合時,線段AB的中點N就是原點O,不合題意,舍去;………………(5分)㈡設(shè)直線l:x?my?3,

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??x?my?3由?消去x,

22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0………………①

∴y0??3m,………………(6分)2m?43m23m2?4343∴x0?my0?3??2,??m?4m2?4m2?4∴點N的坐標(biāo)為(433m,?).………………(8分)22m?4m?48323m,?),由點E在曲線C上,

m2?4m2?4①若OE?2ON,坐標(biāo)為,則點E的為(4812m2得?2?1,即m4?4m2?32?0,∴m2?8(m2??4舍去).222(m?4)(m?4)12m2?4m2?164m2?1由方程①得|y1?y2|???1,22m?4m?4又|x1?x2|?|my1?my2|?|m(y1?y2)|,

∴|AB|?m2?1|y1?y2|?3.………………(10分)

4(m2?1)?3,∴m2?8.②若|AB|?3,由①得2m?4∴點N的坐標(biāo)為(362,?),射線ON方程為:y??x(x?0),362?23?2x??x(x?0)?y???3∴點E的坐標(biāo)為(23,?6),

由?解得?233?x2?4y2?4?y??6??3?∴OE?2ON.

綜上,OE?2ON的充要條件是|AB|?3.………………(12分)

1(x?R).

4x?211(1)試證函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(,)對稱;

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4.（本小題總分值14分）已知函數(shù)f(x)?更多精品在大家！

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(2)若數(shù)列{an}的通項公式為an?f(大家網(wǎng)

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n)(m?N?,n?1,2,?,m),求數(shù)列{an}的前m項和mSm;

(3)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:b1?1111,bn?1?b2.設(shè).T??????bnnn3b1?1b2?1bn?1若(2)中的Sn滿足對任意不小于2的正整數(shù)n,Sn?Tn恒成立,試求m的最大值.

解:(1)設(shè)點P0(x0,y0)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點,其關(guān)于點(,)的對稱點為P(x,y).

1214?x?x01??x?1?x0,??2?2由?得?1y??y0.?y?y0?1?2??4?2所以,點P的坐標(biāo)為P(1?x0,?y0).………………(2分)由點P0(x0,y0)在函數(shù)f(x)的圖象上,得y0?∵f(1?x0)?121.

4x0?2141?x04x04x0??,x0x0?24?2?42(4?2)11114x0?y0??x0?(1?x,?y0)在函數(shù)f(x)的圖象上.∴點P,0224?22(4x0?2)2141kk1(2)由(1)可知,f(x)?f(1?x)?,所以f()?f(1?)?(1?k?m?1),

2mm2km?k11)?,?ak?am?k?,………………(6分)即f()?f(mm22∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(,)對稱.………………(4分)由Sm?a1?a2?a3???am?1?am,………………①得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am,………………②由①＋②,得2Sm?(m?1)?∴Sm?121m?11m1?2am??2???,226261(3m?1).………………(8分)1212(3)∵b1?,bn?1?bn?bn?bn(bn?1),………………③

3∴對任意的n?N?,bn?0.………………④

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由③、④,得

1bn?1?111111.??,即??bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1∴Tn?(111111111.……………(10分)?)?(?)???(?)???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列.n?0,∴Tn關(guān)于n遞增.當(dāng)n?2,且n?N?時,Tn?T2.∵b1?11144452,b2?(?1)?,b3?(?1)?,33399981∴Tn?T2?3?∴Sm?175?.………………(12分)b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6,∴m的最大值為6.……………(14分)5212523939225．（12分）E、F是橢圓x?2y?4的左、右焦點，是橢圓的右準(zhǔn)線，點P?l，過點E的直線交橢圓于A、B兩點.

（1）當(dāng)AE?AF時，求?AEF的面積；（2）當(dāng)AB?3時，求AF?BF的大??；（3）求?EPF的最大值.

yAPM?m?n?41解：（1）?2?S?mn?2?AEF22?m?n?8??AE?AF?4?AB?AF?BF?8，（2）因?BE?BF?4??則AF?BF?5.

（1）設(shè)P(22,t)(t?0)tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

BEOFx?(32232?222t223，?)?(1?)???22?1tttt?6t?6t33??EPF?30?3當(dāng)t?6時，tan?EPF?22Sn16．（14分）已知數(shù)列?an?中，a1?，當(dāng)n?2時，其前n項和Sn滿足an?，

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（2）求Sn的表達(dá)式及l(fā)im大家網(wǎng)

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an的值；

n??S2n（3）求數(shù)列?an?的通項公式；（4）設(shè)bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求證：當(dāng)n?N且n?2時，an?bn.

22Sn11解：（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)

2Sn?1SnSn?1所以??1??是等差數(shù)列.則1.?SSn?n?2n?1limann??S2?lim2?2?nn??2S?2.

n?12limn??Sn?1（2）當(dāng)n?2時，an?Sn?Sn?1?112n?1?2n?1??24n2?1，?1?n?1?綜上，a??3n???2.

??1?4n2?n?2?（3）令a?12n?1,b?12n?1，當(dāng)n?2時，有0?b?a?13法1：等價于求證

1112n?1??3?12n?1??.2n?1?2n?1?3當(dāng)n?2時，0?12n?1?13,令f?x??x2?x3,0?x?13,f??x??2x?3x2?2x(1?33132x)?2x(1?2?3)?2x(1?2)?0，則f?x?在(0,13]遞增.又0?12n?1?112n?1?3，所以g(132n?1)?g(132n?1),即an?bn.

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法（2）an?bn?1111??(?)?b2?a2?(b3?a3)2n?12n?1(2n?1)3(2n?1)3?(a?b)(a2?b2?ab?a?b)（2）

?(a?b)[(a2?因b?ababba?a)?(b2??b)]?(a?b)[a(a??1)?b(b??1)]（3）2222baab3a33?1?a??1??1??1??1?0，所以a(a??1)?b(b??1)?0

22222223由（1）（3）（4）知an?bn.

法3：令g?b??a?b?ab?a?b，則g??b??2b?a?1?0?b?2222所以g?b??maxg?0?,g?a??maxa?a,3a?2a

1?a2????因0?a?2141?)?0,則a2?a?a?a?1??0，3a2?2a?3a(a?)?3a(339322所以g?b??a?b?ab?a?b?0（5）由（1）（2）（5）知an?bn7．(本小題總分值14分)

x2y2設(shè)雙曲線2?2=1(a>0,b>0)的右頂點為A，

abP是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點.

(1)證明：無論P(yáng)點在什么位置，總有|OP|2=|OQ·OR|(O為坐標(biāo)原點)；

(2)若以O(shè)P為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；

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