相似三角形與圓綜合題解析

..(2)求證：△BCG∽△ACE；...F(2)△OBF∽△DEC。.2AC4AFAB5DF(2)若AB5DF(3)在(2)的條件下，若⊙O直徑為10，求△EFD的面積．...證：.1..F 相似三角形與圓的綜合考題(教師版)∴∠DCF=∠CAD，∠D=∠D，∴△CDF∽△ADC，=，∴CD2=AD×DF，∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°，∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°，∴∠GBC=∠ACG，∴△BGC∽△CGA，∵過E作⊙O的切線ED，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴CO∥AD，∴∠OCA=∠CAD，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAD，在△AGC和△ADC中，，∴△AGC≌△ADC(AAS)，..(2)過點O作OF∥AD，與ED的延長線相交于點F，求證：FD?DA=FO?DE．解：解：(1)方法一：.∴∠OAD=∠ODA．又∵又∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD．∴∠ODA=∠DAE=∠OAD．∵∠ADE+∠DAE=90°，∴EF是⊙O的切線．∴∴∠ADE=∠B．方方法二：DEA0°，∴∠ADB=∠DEA，∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．∴△DAE∽△BAD．∴∴∠ADE=∠B． (2)證明：∵OF∥AD，∴∴∠F=∠ADE．又∵∠DEA=∠FDO(已證)，∴△FDO∽△DEA．點評：本題主要考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質；(2)題乘積的形式通?？梢赞D化為比例的形式，通過相似三角形的性質得以證明．...(2)求證：△BCG∽△ACE；解：(1)如圖1，∴∠AEB=90°． (2)如圖1，∴∠ABF=90°．∵∠BAF=2∠CBF．∴∠BAF=2∠BAE．∴∠BAE=∠CAE．∴∠CBF=∠CAE．∴∠CGB=∠AEC=90°．∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，∴△BCG∽△ACE． (3)連接BD，如圖2所示．∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，∴∠DBE=∠CBF．∴∠ADB=90°．.AFBABF°，∴∠BAF=30°．BAF∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，∴∠ABE=∠ACE．∴∴AD=r．∴⊙O的半徑長為2+3．解析： (1)由AB為⊙O的直徑即可得到AE與BC垂直． (2)易證∠CBF=∠BAE，再結合條件∠BAF=2∠CBF就可證到∠CBF=∠CAE，易證∠CGB=∠AEC，從而證到△BCG∽△ACE． (3)由∠F=60°，GF=1可求出CG=；連接BD，容易證到∠DBC=∠CBF，根據(jù)角平分線的性質可得可求出⊙O的半徑長．分析：(1)連接OC，證明∠OCP=90°即可． (2)乘積的形式通?？梢赞D化為比例的形式，通過證明三角形相似得出．... (3)可以先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長．解答：(1)證明：連接OC．∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，AHF∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，∴PC是⊙O的切線． (2)解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使AD2=DE?DF，理由如下：DAC中點位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA， (3)解：連接OD交AC于G．DAC中點位置，∴∠OGA=∠OHD=90°，在△OGA和△OHD中，，∴△OGA≌△OHD(AAS)，.．再證垂直即可．同時考查了相似三角形的性質及全等三角形的性質． (1)證明：連接OC．∴∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，AHF∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，∴PC是⊙O的切線． (2)解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使AD2=DE?DF，理由如下：∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△∴△DAF∽△DEA， (3)解：連接OD交AC于G． ∴AE∥DF∥BC，∴∠OGA=∠OHD=90°，在△OGA和△OHD中，，∴△OGA≌△OHD(AAS)，解析： (1)連接OC，證明∠OCP=90°即可． (2)乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過證明三角形相似得出． (3)可以先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長。∴△∴△ODE≌△OAE(SSS)，∴∠OAE=∠ODE=90°，∴AE是⊙O的切線；..∴△BMF∽△BEA，∴∴∴∴∵△EDM∽△ECB，，解析： CE=CD+DE，即可證得AE=DE，則可得△ODE≌△OAE，即可證得AE是⊙O的切線； (2)首先易證得AE∥DF∥BC，然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可F(2)△OBF∽△DEC。證明：(1)連結OD，BD∴OD∥AC，∴∠DEC=90°，∠ODE=90°， ...∵∠FDB=∠CDE，∴∠OFD=∠C，∴∠C=∠OFB，又∵∠CED=∠FBO=90°，∴△OBF∽△DEC。2解：(1)連結CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共，∴△OCE≌△OBE(SAS)∴∴∠OCE＝∠OBE，又CE是切線，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE與⊙O相切 2458同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝，451232453考點：切線定義，全等三角形判定，相似三角形性質及判定。點評：熟知以上定義性質，根據(jù)已知可求之，本題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中..的值；(3)在(2)的條件下，若⊙O直徑為10，求△EFD的面積．試題分析： (1)連接OD，根據(jù)角平分線定義和等腰三角形的性質可得∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根據(jù)平行線性質和切線的判定推出即可； (2)先由(1)得OD∥AE，再結合平行線分線段成比例定理即可得到答案； (3)根據(jù)三角形的面積公式結合圓的基本性質求解即可. (1)連接OD所以∠OAD=∠ODA又已知∠OAD=∠DAE (2)由(1)得OD∥AE， 考點：圓的綜合題點評：此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.11、已知：如圖，在Rt△ABC11、已知：如圖，在Rt△ABC∴∠2=∠3，∴∠CDA=90°．證：1∴∠1=∠4，∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°． ∴∠3=∠C(同角的余角相等)．又∵∠ADB=∠CDA=90°，∴△ABD∽△CAD，ACADABACAD∴=易證△FAD∽△FDB，ADDFABADDFABBF∴=，∴=，ACDF解析： (1)連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，點E為AC中點，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=..∠∠1+∠2=90°，根據(jù)切線的判定即可；ABBDBDBFABBF (2)證△ABD∽△CAD，推出=，再證△FAD∽△FDB，推出=，得=，即可ACADADDFACDF解：(1)連接OD．解：(1)連接OD．∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，DEA0°，∴∠ODF=∠DEA=90°，∴EF是⊙O的切線． ∴∠BDA=∠DEA=90°，∵∠BAD=∠CAD，∴△BAD∽△DAE，ADAEABADAE∴=，4ADAD3AD3ADAD233∴cos∠BAD===，AB42..BADBODBAD=60°，111160222解析： (1)根據(jù)等腰三角形性質和角平分線性質得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據(jù)切線的判定推出即可； (2)證△BAD∽△DAE，求出AD長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出1解：(1)證明：連結AC，∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC，∴∠FCB=∠ECB，∴△BCF≌△BCE，∴CE=CF，∠FBC=∠CBE， (2)∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，..∴∠ACE=∠CBF，∴tan∠CBF=tan∠ACE==，2CE∴=CE=6，CE2證明：①∵AE為圓的切線，∴∠EAB=∠ACE(弦切角等于夾弧所對的圓周角)，∴∠ACE=∠ACD，∵∠ABD=∠ACD，∴∠EAB=∠ABD，∴AE∥BD；②∵AE∥BD，∴∠AEC=∠DBC，∵∠DBC=∠DAC，∴∠AEC=∠DAC，∵∠EAB=∠ADB(弦切角等于夾弧所對的圓周角)，∴∴△ABE∽△DFA，ABABAE∴=DFDA∵∠ACE=∠ACD，..∴∴AD=ABF∴AD∥BC∴∠EAD=∠ECF∠∠EDA=∠EFC∴△AED∽△CEF(AA)EFCEDEEFCE∴=∴∠EAG=∠ECD∠G=∠EDC∴△AEG∽△CED