大學(xué)物理學(xué)大學(xué)物理學(xué)-第3版課后答案解析-習(xí)題五

./習(xí)題五5-1振動(dòng)和波動(dòng)有什么區(qū)別和聯(lián)系?平面簡諧波動(dòng)方程和簡諧振動(dòng)方程有什么不同?又有什么聯(lián)系?振動(dòng)曲線和波形曲線有什么不同?解:<1>振動(dòng)是指一個(gè)孤立的系統(tǒng)<也可是介質(zhì)中的一個(gè)質(zhì)元>在某固定平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時(shí)間的周期性函數(shù),即可表示為；波動(dòng)是振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過程,此時(shí)介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動(dòng),因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開平衡位置的位移既是坐標(biāo)位置,又是時(shí)間的函數(shù),即．<2>在諧振動(dòng)方程中只有一個(gè)獨(dú)立的變量時(shí)間,它描述的是介質(zhì)中一個(gè)質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律；平面諧波方程中有兩個(gè)獨(dú)立變量,即坐標(biāo)位置和時(shí)間,它描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標(biāo)和時(shí)間變化的規(guī)律．當(dāng)諧波方程中的坐標(biāo)位置給定后,即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程,而波源持續(xù)不斷地振動(dòng)又是產(chǎn)生波動(dòng)的必要條件之一．<3>振動(dòng)曲線描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律,因此,其縱軸為,橫軸為；波動(dòng)曲線描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置,隨時(shí)間變化的規(guī)律,其縱軸為,橫軸為．每一幅圖只能給出某一時(shí)刻質(zhì)元的位移隨坐標(biāo)位置變化的規(guī)律,即只能給出某一時(shí)刻的波形圖,不同時(shí)刻的波動(dòng)曲線就是不同時(shí)刻的波形圖．5-2波動(dòng)方程=cos［<>+］中的表示什么?如果改寫為=cos<>,又是什么意思?如果和均增加,但相應(yīng)的［<>+］的值不變,由此能從波動(dòng)方程說明什么?解:波動(dòng)方程中的表示了介質(zhì)中坐標(biāo)位置為的質(zhì)元的振動(dòng)落后于原點(diǎn)的時(shí)間；則表示處質(zhì)元比原點(diǎn)落后的振動(dòng)位相；設(shè)時(shí)刻的波動(dòng)方程為則時(shí)刻的波動(dòng)方程為其表示在時(shí)刻,位置處的振動(dòng)狀態(tài),經(jīng)過后傳播到處．所以在中,當(dāng),均增加時(shí),的值不會(huì)變化,而這正好說明了經(jīng)過時(shí)間,波形即向前傳播了的距離,說明描述的是一列行進(jìn)中的波,故謂之行波方程．5-3波在介質(zhì)中傳播時(shí),為什么介質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能具有相同的位相,而彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能卻沒有這樣的特點(diǎn)?解:我們?cè)谟懻摬▌?dòng)能量時(shí),實(shí)際上討論的是介質(zhì)中某個(gè)小體積元內(nèi)所有質(zhì)元的能量．波動(dòng)動(dòng)能當(dāng)然是指質(zhì)元振動(dòng)動(dòng)能,其與振動(dòng)速度平方成正比,波動(dòng)勢(shì)能則是指介質(zhì)的形變勢(shì)能．形變勢(shì)能由介質(zhì)的相對(duì)形變量<即應(yīng)變量>決定．如果取波動(dòng)方程為,則相對(duì)形變量<即應(yīng)變量>為.波動(dòng)勢(shì)能則是與的平方成正比．由波動(dòng)曲線圖<題5-3圖>可知,在波峰,波谷處,波動(dòng)動(dòng)能有極小<此處振動(dòng)速度為零>,而在該處的應(yīng)變也為極小<該處>,所以在波峰,波谷處波動(dòng)勢(shì)能也為極?。辉谄胶馕恢锰幉▌?dòng)動(dòng)能為極大<該處振動(dòng)速度的極大>,而在該處的應(yīng)變也是最大<該處是曲線的拐點(diǎn)>,當(dāng)然波動(dòng)勢(shì)能也為最大．這就說明了在介質(zhì)中波動(dòng)動(dòng)能與波動(dòng)勢(shì)能是同步變化的,即具有相同的量值．題5-3圖對(duì)于一個(gè)孤立的諧振動(dòng)系統(tǒng),是一個(gè)孤立的保守系統(tǒng),機(jī)械能守恒,即振子的動(dòng)能與勢(shì)能之和保持為一個(gè)常數(shù),而動(dòng)能與勢(shì)能在不斷地轉(zhuǎn)換,所以動(dòng)能和勢(shì)能不可能同步變化．5-4波動(dòng)方程中,坐標(biāo)軸原點(diǎn)是否一定要選在波源處?=0時(shí)刻是否一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻?波動(dòng)方程寫成=cos<>時(shí),波源一定在坐標(biāo)原點(diǎn)處嗎?在什么前提下波動(dòng)方程才能寫成這種形式?解:由于坐標(biāo)原點(diǎn)和開始計(jì)時(shí)時(shí)刻的選全完取是一種主觀行為,所以在波動(dòng)方程中,坐標(biāo)原點(diǎn)不一定要選在波源處,同樣,的時(shí)刻也不一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻；當(dāng)波動(dòng)方程寫成時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)也不一定是選在波源所在處的．因?yàn)樵诖颂帉?duì)于波源的含義已做了拓展,即在寫波動(dòng)方程時(shí),我們可以把介質(zhì)中某一已知點(diǎn)的振動(dòng)視為波源,只要把振動(dòng)方程為已知的點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn),即可得題示的波動(dòng)方程．5-5在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長上,描述各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的什么物理量不同,什么物理量相同?解:取駐波方程為,則可知,在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長上,描述各質(zhì)點(diǎn)的振幅是不相同的,各質(zhì)點(diǎn)的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的,即振幅變化規(guī)律可表示為．而在這同一半波長上,各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相則是相同的,即以相鄰兩波節(jié)的介質(zhì)為一段,同一段介質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)都有相同的振動(dòng)位相,而相鄰兩段介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位相則相反．5-6波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)和觀察者向波源運(yùn)動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生頻率增高的多普勒效應(yīng),這兩種情況有何區(qū)別?解:波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí),波面將被擠壓,波在介質(zhì)中的波長,將被壓縮變短,<如題5-6圖所示>,因而觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到的完整數(shù)目<>會(huì)增多,所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運(yùn)動(dòng)時(shí),波面形狀不變,但觀察者測(cè)到的波速增大,即,因而單位時(shí)間內(nèi)通過觀察者完整波的數(shù)目也會(huì)增多,即接收頻率也將增高．簡單地說,前者是通過壓縮波面<縮短波長>使頻率增高,后者則是觀察者的運(yùn)動(dòng)使得單位時(shí)間內(nèi)通過的波面數(shù)增加而升高頻率．題5-6圖多普勒效應(yīng)5-7一平面簡諧波沿軸負(fù)向傳播,波長=1.0m,原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率為=2.0Hz,振幅＝0.1m,且在=0時(shí)恰好通過平衡位置向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng),求此平面波的波動(dòng)方程．解:由題知時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為,故知原點(diǎn)的振動(dòng)初相為,取波動(dòng)方程為則有5-8已知波源在原點(diǎn)的一列平面簡諧波,波動(dòng)方程為=cos<>,其中,,為正值恒量．求：<1>波的振幅、波速、頻率、周期與波長；<2>寫出傳播方向上距離波源為處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；<3>任一時(shí)刻,在波的傳播方向上相距為的兩點(diǎn)的位相差．解:<1>已知平面簡諧波的波動(dòng)方程<>將上式與波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較,可知：波振幅為,頻率,波長,波速,波動(dòng)周期．<2>將代入波動(dòng)方程即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程<3>因任一時(shí)刻同一波線上兩點(diǎn)之間的位相差為將,及代入上式,即得．5-9沿繩子傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程為=0.05cos<10>,式中,以米計(jì),以秒計(jì)．求：<1>波的波速、頻率和波長；<2>繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度；<3>求=0.2m處質(zhì)點(diǎn)在=1s時(shí)的位相,它是原點(diǎn)在哪一時(shí)刻的位相?這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在=1.25s時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)?解:<1>將題給方程與標(biāo)準(zhǔn)式相比,得振幅,頻率,波長,波速．<2>繩上各點(diǎn)的最大振速,最大加速度分別為<3>m處的振動(dòng)比原點(diǎn)落后的時(shí)間為故,時(shí)的位相就是原點(diǎn)<>,在時(shí)的位相,即π．設(shè)這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在s時(shí)刻到達(dá)點(diǎn),則5-10如題5-10圖是沿軸傳播的平面余弦波在時(shí)刻的波形曲線．<1>若波沿軸正向傳播,該時(shí)刻,,,各點(diǎn)的振動(dòng)位相是多少?<2>若波沿軸負(fù)向傳播,上述各點(diǎn)的振動(dòng)位相又是多少?解:<1>波沿軸正向傳播,則在時(shí)刻,有題5-10圖對(duì)于點(diǎn)：∵,∴對(duì)于點(diǎn)：∵,∴對(duì)于點(diǎn)：∵,∴對(duì)于點(diǎn)：∵,∴<取負(fù)值：表示點(diǎn)位相,應(yīng)落后于點(diǎn)的位相><2>波沿軸負(fù)向傳播,則在時(shí)刻,有對(duì)于點(diǎn)：∵,∴對(duì)于點(diǎn)：∵,∴對(duì)于點(diǎn)：∵,∴對(duì)于點(diǎn)：∵,∴<此處取正值表示點(diǎn)位相超前于點(diǎn)的位相>5-11一列平面余弦波沿軸正向傳播,波速為5m·s-1,波長為2m,原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如題5-11圖所示．<1>寫出波動(dòng)方程；<2>作出=0時(shí)的波形圖及距離波源0.5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線．解:<1>由題5-11<a>圖知,m,且時(shí),,∴,又,則題5-11圖<a>取,則波動(dòng)方程為<2>時(shí)的波形如題5-11<b>圖題5-11圖<b>題5-11圖<c>將m代入波動(dòng)方程,得該點(diǎn)處的振動(dòng)方程為如題5-11<c>圖所示．5-12如題5-12圖所示,已知=0時(shí)和=0.5s時(shí)的波形曲線分別為圖中曲線<a>和<b>,波沿軸正向傳播,試根據(jù)圖中繪出的條件求：<1>波動(dòng)方程；<2>點(diǎn)的振動(dòng)方程．解:<1>由題5-12圖可知,,,又,時(shí),,∴,而,,∴故波動(dòng)方程為<2>將代入上式,即得點(diǎn)振動(dòng)方程為題5-12圖5-13一列機(jī)械波沿軸正向傳播,=0時(shí)的波形如題5-13圖所示,已知波速為10m·s-1,波長為2m,求：<1>波動(dòng)方程；<2>點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線；<3>點(diǎn)的坐標(biāo)；<4>點(diǎn)回到平衡位置所需的最短時(shí)間．解:由題5-13圖可知,時(shí),,∴,由題知,,則∴<1>波動(dòng)方程為題5-13圖<2>由圖知,時(shí),,∴<點(diǎn)的位相應(yīng)落后于點(diǎn),故取負(fù)值>∴點(diǎn)振動(dòng)方程為<3>∵∴解得<4>根據(jù)<2>的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如題5-13圖<a>,則由點(diǎn)回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角題5-13圖<a>∴所屬最短時(shí)間為5-14如題5-14圖所示,有一平面簡諧波在空間傳播,已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為=cos<>．<1>分別就圖中給出的兩種坐標(biāo)寫出其波動(dòng)方程；<2>寫出距點(diǎn)距離為的點(diǎn)的振動(dòng)方程．解:<1>如題5-14圖<a>,則波動(dòng)方程為如圖<b>,則波動(dòng)方程為題5-14圖<2>如題5-14圖<a>,則點(diǎn)的振動(dòng)方程為如題5-14圖<b>,則點(diǎn)的振動(dòng)方程為5-15已知平面簡諧波的波動(dòng)方程為<SI>．<1>寫出=4.2s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)式,并求此時(shí)離原點(diǎn)最近一個(gè)波峰的位置,該波峰何時(shí)通過原點(diǎn)?<2>畫出=4.2s時(shí)的波形曲線．解:<1>波峰位置坐標(biāo)應(yīng)滿足解得<…>所以離原點(diǎn)最近的波峰位置為．∵故知,∴,這就是說該波峰在前通過原點(diǎn),那么從計(jì)時(shí)時(shí)刻算起,則應(yīng)是,即該波峰是在時(shí)通過原點(diǎn)的．題5-15圖<2>∵,∴,又處,時(shí),又,當(dāng)時(shí),,則應(yīng)有解得,故時(shí)的波形圖如題5-15圖所示5-16題5-16圖中<a>表示=0時(shí)刻的波形圖,<b>表示原點(diǎn)<=0>處質(zhì)元的振動(dòng)曲線,試求此波的波動(dòng)方程,并畫出=2m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線．解:由題5-16<b>圖所示振動(dòng)曲線可知,,且時(shí),,故知,再結(jié)合題5-16<a>圖所示波動(dòng)曲線可知,該列波沿軸負(fù)向傳播,且,若取題5-16圖則波動(dòng)方程為5-17一平面余弦波,沿直徑為14cm的圓柱形管傳播,波的強(qiáng)度為18.0×10-3J·m-2·s-1,頻率為300Hz,波速為300m·s-1,求：<1>波的平均能量密度和最大能量密度?<2>兩個(gè)相鄰?fù)嗝嬷g有多少波的能量?解:<1>∵∴<2>5-18如題5-18圖所示,和為兩相干波源,振幅均為,相距,較位相超前,求：<1>外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度；<2>外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度解：〔1在外側(cè),距離為的點(diǎn),傳到該點(diǎn)引起的位相差為〔2在外側(cè).距離為的點(diǎn),傳到該點(diǎn)引起的位相差.5-19如題5-19圖所示,設(shè)點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播,它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為;點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播,它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為,本題中以m計(jì),以s計(jì)．設(shè)＝0.4m,＝0.5m,波速=0.2m·s-1,求：<1>兩波傳到P點(diǎn)時(shí)的位相差；<2>當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向相同時(shí),處合振動(dòng)的振幅；*<3>當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向互相垂直時(shí),處合振動(dòng)的振幅．解:<1>題5-19圖<2>點(diǎn)是相長干涉,且振動(dòng)方向相同,所以<3>若兩振動(dòng)方向垂直,又兩分振動(dòng)位相差為,這時(shí)合振動(dòng)軌跡是通過Ⅱ,Ⅳ象限的直線,所以合振幅為5-20一平面簡諧波沿軸正向傳播,如題5-20圖所示．已知振幅為,頻率為波速為．<1>若=0時(shí),原點(diǎn)處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運(yùn)動(dòng),寫出此波的波動(dòng)方程；<2>若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等,試寫出反射波的波動(dòng)方程,并求軸上因入射波與反射波干涉而靜止的各點(diǎn)的位置．解:<1>∵時(shí),,∴故波動(dòng)方程為m題5-20圖<2>入射波傳到反射面時(shí)的振動(dòng)位相為<即將代入>,再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射,存在半波損失,所以反射波在界面處的位相為若仍以點(diǎn)為原點(diǎn),則反射波在點(diǎn)處的位相為,因只考慮以內(nèi)的位相角,∴反射波在點(diǎn)的位相為,故反射波的波動(dòng)方程為此時(shí)駐波方程為故波節(jié)位置為故<…>根據(jù)題意,只能取,即5-20一駐波方程為=0.02cos20cos750<SI>,求：<1>形成此駐波的兩列行波的振幅和波速；<2>相鄰兩波節(jié)間距離．解:<1>取駐波方程為故知,則,∴<2>∵所以相鄰兩波節(jié)間距離5-22在弦上傳播的橫波,它的波動(dòng)方程為=0.1cos<13+0.0079><SI>試寫出一個(gè)波動(dòng)方程,使它表示的波能與這列已知的橫波疊加形成駐波,并在=0處為波節(jié)．解:為使合成駐波在處形成波節(jié),則要反射波在處與入射波有的位相差,故反射波的波動(dòng)方程為5-23兩列波在一根很長的細(xì)繩上傳播,它們的波動(dòng)方程分別為=0.06cos<><SI>,=0.06cos<><SI>．<1>試證明繩子將作駐波式振動(dòng),并求波節(jié)、波腹的位置；<2>波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大?解:<1>它們的合成波為出現(xiàn)了變量的分離,符合駐波方程特征,故繩子在作駐波振動(dòng)．令,則,k=0,±1,±2…此即波腹的位置；令,則,…,此即波節(jié)的位置．<2>波腹處振幅最大,即為m；處的振幅由