函數(shù)增減性與奇偶性

第五講函數(shù)增減性與奇偶性一、函數(shù)增減性考點一函數(shù)單調(diào)性的判定［必備知識］.定義法設(shè)函數(shù)fx)的定義域為I，區(qū)間D匚I，如果對于任意x1,x2eD,且x1<x2,則有：(1)fx)在區(qū)間D上是增函數(shù)經(jīng)fx)</(x2)；(2)fx)在區(qū)間D上是減函數(shù)經(jīng)fxJfx2)..導(dǎo)數(shù)法(選秀內(nèi)容)在某個區(qū)間(a,6)內(nèi)，如果f(x)>0,那么函數(shù)y=fx)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增；如果f(x)<0,那么函數(shù)y=fx)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減.［題組練透］.下列四個函數(shù)中，在(0，+8)上為增函數(shù)的是()A.fx)=3—x B.fx)=x2-3xC.fx)=—+ D.fx)=—|x|2.判斷函數(shù)g(x)=—在(1,+8)上的單調(diào)性.［類題通法］對于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：(1)可以結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解.(2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)判斷.但是，對于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，只能采用定義法進(jìn)行判斷.1考點二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間［必備知識］單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y=fx)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=fx)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=fx)的單調(diào)區(qū)間.［典題例析］求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y=-x2+2|x|+1；(2)y=|x2—3x+2|.［類題通法］求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義.(3)圖象法：如果fx)是以圖象形式給出的，或者fx)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.［提醒］單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用［必備知識］函數(shù)的最值(1)函數(shù)最大(小)值的幾何意義：函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點的縱坐標(biāo)；函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱坐標(biāo).(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：如果函數(shù)y=fx)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b，c］上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=fx),x￡［a，c］在x=b處有最大值fb)；如果函數(shù)y=fx)在區(qū)間［a，b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b，c］上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=fx)，x￡［a，c］在x=b處有最小值fb).［多角探明］高考對函數(shù)單調(diào)性的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也應(yīng)用于解答題中的某一問中.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，歸納起來常見的命題角度有:(1)求函數(shù)的值域或最值；(2)比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大?。?3)解函數(shù)不等式；(4)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值.角度一：求函數(shù)的值域或最值「1 、一 一，x三1，.函數(shù)fx)=jx 的最大值為、一x2+2，x<1角度二：比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小.已知函數(shù)fx尸，若xi￡(1,2)，x￡(2，+8)，則( )一x1 2A.fx］)<0，fx2)<0 B.fxI)<0，fx2)>0CfxJ〉。，fx2)<0 D.fxJ〉。，fx2)>0角度三：解函數(shù)不等式fx)是定義在(0，+8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足fxy)=fx)+fy)，次3)=1，當(dāng)fx)+fx-8)<2時，x的取值范圍是()A.(8，+8)B.(8,9］C.［8,9］D.(0,8)角度四：利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍或值{({(a一2)%,%>24.已知函數(shù)fx)=一(%一2)2,%<2滿足對任意的實數(shù)X廿x2,都有華尸＞0成立，則實數(shù)。的取值范圍為()18 18A.(—8,2) B.(—8,__8] C.[2,+8)D.[2,-38]［類題通法］函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；②需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.(4)利用單調(diào)性求最值.應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值.二、函數(shù)奇偶性考點一函數(shù)奇偶性的判定［必備知識］函數(shù)的奇偶性的定義如果對于函數(shù)fX)的定義域內(nèi)任意一個X，都有八—X)=fX)［或次—X)=—fX)］,那么函數(shù)fX)就叫做偶函數(shù)(奇函數(shù)).［提醒］定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件.［［題組練透］判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1^^(1^^)=\,11~x2+\：X2—1；(2)/(x)=\!3—2x+2x—3；(3fx尸%：4—x2|x+3|-3；Ix2+x,x>0(3fx尸%：4—x2|x+3|-3；［類題通法］判定函數(shù)奇偶性的常用方法及思路1.定義法:2.圖象法:1.定義法:2.圖象法:祠乂關(guān)于原點對可(a幻為奇已的?迷卜^干尸軸對稱:—0r寸為帙斯痰)3.性質(zhì)法:“奇+奇”是奇，“奇一奇”是奇，“奇?奇”是偶，“奇?奇”是偶;“偶+偶”是偶，“偶一偶”是偶，“偶?偶”是偶，“偶?偶”是偶;“奇?偶”是奇，“奇?偶”是奇［提醒］(1)“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的.(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明/—x)與/x)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性.鞏固練習(xí).判斷正誤(1)若fx)是定義在R上的奇函數(shù)，則f—x)+fx)=0( )(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點()(3)函數(shù)fx),g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)=fx)+g(x)是偶函數(shù)()(4)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件().已知函數(shù)fx)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x三0時，fx)=x(1+x)，則x<0時，fx)=..已知fx)=ax2+bx是定義在[a—1,2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是.函數(shù)fx)=|x—2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A.[1,2] B.[—1,0]C.[0,2]D.[2，+8).(2015?長春調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)fx)滿足fx)+f—x)=0，且在(一8,0)上單調(diào)遞增，如果x1+x2<0且x干2<0，則fx1)+fx2)的值( )A.可能為0B.恒大于0 C.恒小于0D.可正可負(fù).已知fx)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x三0時，fx尸x2+2x，若f(2—a2)>fa)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(一8，一1)U(2，+8) B.(—1,2)C.(—2,1) D.(—8，一2)U(1，+8)7.若函數(shù)fx)=x2—ax為偶函數(shù)，則實數(shù)a=.—x2+2x，x>0，8.已知函數(shù)fx)=10，x=0， 是奇函數(shù).lx2+mx，x<0(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)fx)在區(qū)間[—1，a—2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.能力提升.已知函數(shù)fx)為R上的減函數(shù)，若［勺(1),則實數(shù)x的取值范圍是.已知函數(shù)fx)=x2-2ax-3在區(qū)間［1,2］上具有單調(diào)性，則實數(shù)a的取值范圍為.1,x>0,.設(shè)函數(shù)fx)=10，x=0, g(x)=xfx-1),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是I—1,x<0,x.已知fx)= (x力a).x-a(1)