初中八級等腰直角三角形中的常用模型

初中八級等腰直角三角形中的常用模型初中八級等腰直角三角形中的常用模型/初中八級等腰直角三角形中的常用模型等腰直角三角形中的常用模型【知識精析】1、等腰直角三角形的特色：①邊、角方面的特色：兩直角邊相等，兩銳角相等（都是45o）②邊之間的關(guān)系：已知任意一邊長，可獲取其他兩邊長。2、等腰直角三角形與全等三角形：以等腰直角三角形為背景的幾何問題中，常常包含全等三角形，發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形常常是解題的要點打破口。熟悉以下基本模型，對解決等腰直角三角形問題很有好處。模型一：一條直線（不與三角形的邊重合）過等腰直角三角形的直角極點（1）以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)斜邊，必然可以構(gòu)造一對全等的直角三角形：1-1：如圖：RtABC中，∠BAC，ABAC，點D是BC上任意一點，過B作BE⊥AD于點=90o=E，過C作CF⊥AD于點F。1）求證：BE-CF=EF；（）若D在BC的延長線上（如圖（）），（）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出新221的結(jié)論并證明。AEAABCAP變式1：等腰Rt△ABC中，AB=CB，∠，點P在線段BC上（不與B、C重合），以=90o為腰長作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E，連CQ交AB于M。（1）求證：M為BE的中點EF（2）若PC=2PB，求PC的值DCBCDBMB(1)F(2)（2）以原等腰直角三角形的兩直角邊為對應(yīng)直角邊，必然可以構(gòu)造一對全等的直角三角形：F1-2：如圖：RtABC中，∠BAC=90o，AB=AC，點D是BC上任意一點，過B作BE⊥AD于點E，交AC于點GD，過C作ACF⊥AC交AD的延長線與于點F。A（1）求證：BG=AF；FD在BC的延長線上（如圖（（2）若21D結(jié)論并證明。tABC中，∠ACBBo，∠BACGo，AB=AC，點D是AB的中點，AF⊥CD變式B△1：如圖，在RC=45E=90AA于H交BC于F(1)，BE∥AC交AF的延長線于E，求證：BC垂直且均分DE.變式ABC中，AC=ABG，∠BAC＝(2)E2：等腰Rt△°，點D是AC的中點，AF⊥BD于點E，交BC90于點F，連接DFE，求證：∠=∠。F變式123：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝°，點D、E是AC上兩點且AD=CE，AF⊥BDDCB90DBC于點G，交BC于點F連接DF，求證：∠1=∠。(1)2(2)F模型二：等腰直角三角形與另一個直角三角形共斜邊等腰直角三角形與另一個直角三角形有公共斜邊，必然可以以兩腰為對應(yīng)邊構(gòu)造全等三角形2-1：連接AD，求證：∠ADB＝45°。變式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，E是AC上一點，點D為BE延長線上一點，且∠ADC＝135°求證：BD⊥DC。變式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE均分∠ABC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延長線于點M，BMAM（1）求ABBC的值；（2）求BCAB的值。模型三：兩個等腰直角三角形共一個極點（1）兩個等腰直角三角形共直角極點，必然含一對全等三角形：EEABC=∠BEF=90o，連接AF、CF，M是AF的中AEADA點，連ME，將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)。猜想CF與EM的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）兩個等腰直角三角形共銳角極點且直角張口方向相同，必然含一對相似三角形：（3）兩個等腰D直角三角形共銳角極點且直角張口方向相反，必然可利用平移構(gòu)造含一對全等三角形：BDCBCCB(1)(2)(3)。把DE平移到CF，使E與C如圖，△ABC和△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC∠BED==90o重合，連接AE、AF，則△AEB與△AFC全等（要點是利用平行證明∠ABE∠ACF）=3-2：如圖：兩個直角三角形ABC、ADE的極點A重合，P是線段BD的中點，連PC、PE。（1）如圖1，若∠BAC∠DAE°，當(dāng)A、C、D在同素來線上時，線段PC、PE的關(guān)系==45是；2）如圖2、3，將⊿BAC繞A旋轉(zhuǎn)α度，（1）中的結(jié)論可否依舊成立？任意選擇一個證明你的結(jié)論。【經(jīng)典模型】在△BAC中，AB=AC，且∠BAC=90°有一點D滿足∠BDC=90°：1）當(dāng)點D在邊BC下面時，試試究DB、DA和DC的大小關(guān)系？2）當(dāng)點D在邊BC上面時，試試究DB、DA和DC的大小關(guān)系？實行：1）△ABC為等邊三角形，D為BC下面一點且∠BDC=120°，此時呢？2）△ABC為等腰三角形，D為BC下面一點且∠BDC=60°，此時又如何？【猜想】在運算中可否發(fā)現(xiàn)1，1，1有某種數(shù)量上的對應(yīng)關(guān)系？DBDCDA【牢固練習(xí)】1．如圖，在RtABC中，ABAC,∠BAC90,D、E為BC上兩點，∠DAE45，F(xiàn)為ABC外一點，且FB⊥BC,FAAE,則以下結(jié)論：①CEBF;②BD2CE2DE2;③SADE1ADEF;④CE2BE22AE2,其中正確的選項是4A、①②③④B、①②④AC、①③④D、②③的中點，以O(shè)為極點作∠MON，交2．已知：Rt⊿ABC中，AB=AC，∠BAC°，若FO是BC=90AB、AC于點M、N。222MON°（如圖（1）若∠1），求證：①OM=ON；②BM+CN=MN；=90BCMON°（如圖（2）若∠），求證：①AM+MNCN；E=452=D如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）。1）若C為x軸正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連OD，求∠AOD的度數(shù)；2）過A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過A作x軸垂線交EH于點M，連FM，等式AMFM1可否成OF立？若成立，請證明；若不成立，說明原由。4.在△ABC和△DCE中，ABAC，DCDE∠BAC∠EDC°，點E在AB上，連AD，DF⊥AC==,==90于點F。試試究AE、AF、AC的數(shù)量關(guān)系；并求出∠DAC的度數(shù)?！?，E為AB是．如圖：等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB，AC=BC，DE=BD，∠ACB＝∠EDB＝590一點，P為AE的中點。⑴連接PC，PD；則PC，PD的地址關(guān)系是；數(shù)量關(guān)系是；并證明你的結(jié)論。上變化時，其他條件不變，作EF⊥BC于F，連接PF，試判斷△的⑵當(dāng)E在線段ABPCF形狀；在點E運動過程中，△PCF可否可為等邊三角形？若可以，試求△ACB與△EDB的兩直角邊之比。6.已知兩個共一個極點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同素來線上時，求證：MB∥CF；2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時，求證：BM=ME．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(4，0)，B(0，4)。點N為OA上一點，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。1）求證：BN均分∠OBA；2）求OMMN的值；BN3）若點P為第四象