2002年考研數(shù)學(xué)二試題及答案

超級狩獵者超級狩獵者超級狩獵者超級狩獵者2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析、填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上.）1-etanx 八 X'x>0，（1）設(shè)函數(shù)f（x）=\arcsin- 在x=0處連續(xù)，則a= 2ae2x, x<0【答案】-2【考點(diǎn)】函數(shù)的左極限和右極限、函數(shù)連續(xù)的概念【難易度】★★【詳解】本題涉及到的主要知識點(diǎn)：TOC\o"1-5"\h\z若函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)，則有；limf(x)=limf(x)=f(x0)xfx- x-x+0 01—etanx-tanx解析：limf(x)=lim lim -2xxx—^0+ x—^0+ x—^0+arcsin— —2 2limf(x)=limae2x=a,f(0)=a,x-0-xx-0-f(x)在x=0處連續(xù)0f(0+)=f(0-)=f(0),即a=-2.（2）位于曲線y=xe-x，0<x<+8下方,x軸上方的無界圖形的面積是 【答案】1【考點(diǎn)】定積分的幾何應(yīng)用一平面圖形的面積+J+8+J+8e-xdx=-e-xTOC\o"1-5"\h\z【詳解】解析:所求面積為S=J/xe-xdx=J+8xd(-e-x)=-xe-x0 0其中，limIxe-xJ=-limx洛必達(dá)-lim =0。x―+8 x—+8ex x—+8ex（3）微分方程yy"+y'2=0滿足初始條件y=1,y'I =1的特解是 x=0 x=02【答案】y=<x+1【詳解】解析：記1+cos1+【詳解】解析：記1+cos1+：1+cos生+...+\n\n「 n兀1+cos——n=12ni=1超級狩獵者【考點(diǎn)】可降階的高階微分方程【難易度】★★★【詳解】本題涉及到的主要知識點(diǎn)：可降階的高階微分方程，若缺]，則令y'=p,y〃=pdp。dyTOC\o"1-5"\h\z解析：方法1：將yy〃+y%=0改寫為(yy')'=0，從而得yy'=C.以初始條件y(0)=1,y'(0)=C一1 dyC一1 dy1 一, 一入，有k!二C，所以得yy'=1。即=十￡=2。于是得d二方解之得y2=x+Jy=±k2.以yL=0=1代入,得1==十￡=2。于是得d二方解之得y2=x+Jy=±k2.以yL=0=1代入,得1=±\C，所以應(yīng)取“+”號且C2=1。于是特解是y=v7T1。1 兀 2n n兀r(4)lim—[i1+cos—+|1+cos——+—bi1+cos——J= .n'n\n\n \n【答案】【考點(diǎn)】定積分的概念【難易度】★★★2 1 2 2 % 2再以初值代入，1=±iC所以應(yīng)取"+"且C2=1。于是特解y=<7T1。方法2：這是屬于缺%的類型y"=f(y,y')。命y'=p,y"=d=牛d=pdp。axdyaxdy原方程yy"+y'2=0化為yp半+p2=0,得p=0或y^p+p=0dy dyp=0即=0,不滿足初始條件y' ?=—，棄之，dx x=02dp? C .. 1一由ydy+p=0按分離變量法解之，得3r由初始條件yx=0=1，y,%=0=2可將C1先定出來:超級狩獵者超級狩獵者超級狩獵者超級狩獵者所以limu=limn1￡,：1+cos—=f1%1所以limu=limn1￡,：1+cos—=f1%1+cos兀xdxn小n0n-8c-兀x 12cos2——dx=X2J12 0兀xcos——2dx=<2f10兀x7

cos——dx2（5）矩陣-2-2-2—sin兀的非零特征值是【答案】4【考點(diǎn)】矩陣的特征值的計算【難易度】★★入【詳解】解析：|九E-A\入【詳解】解析：|九E-A\=-222九一22九一22入九一201

九一2=42(4一4)故九故九二4是矩陣的非零特征值。（另一個特征值是九二0（二重））、選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).）（1）設(shè)函數(shù)f（u）可導(dǎo),>=f（x2）當(dāng)自變量x在x=-1處取得增量Ax=-0.1時，相應(yīng)的函數(shù)增量Ay的線性主部為0.1則fAy的線性主部為0.1則f'(1)=()(A)—1.(B)0。1.(C)1.(D)0。5.【答案】D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【難易度】★★★【詳解】本題涉及到的主要知識點(diǎn):①dy為Ay的線性主部;②(f[g(x)])'=f'[g(x)]gf(x);解析：在可導(dǎo)條件下，Ay=d Ax+o(Ax)。dxx=x0

當(dāng)dy

dx中0時dyx=x0 當(dāng)dy

dx中0時dyx=x0 dx0現(xiàn)在—Ax=f'(x2)2xAx，以x=-1,Ax=-0.1dx代入得dyAx=f'⑴x0.2,由題設(shè)它等于0。1，于是f'(1)=0.5，應(yīng)選(D)。dx(A)fxf(12)dt.0((A)fxf(12)dt.0(C)fxt[f(t)-f(-t)]dt.0【答案】D(B)fxf2(t)dt.0(D)fxt[f(t)+f(-1)]dt.0【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】★★【詳解】解析:t[f(t)+f(-1)]為t的奇函數(shù)，fxt[f(t)+f(-1)]dt為x的偶函數(shù)，(D)正確，(A)、0(C)是x的奇函數(shù)，(B)可能非奇非偶。例如f(t)=1+1，均不選.(3)設(shè)y=y(x)是二階常系數(shù)微分方程y"+py'+qy=e3x滿足初始條件y(0)=ln(1+x2)y'(0)=0的特解，則當(dāng)xf0時，函數(shù)一的極限()y(x)(A)不存在. (B)等于1. (C)等于2. (D)等于3.【答案】C【考點(diǎn)】洛必達(dá)法則、佩亞諾型余項(xiàng)泰勒公式【難易度】★★, . , 「ln(1+x2) x2 、&- 2x、&- 2 2c【詳解】解析:萬法1：lim =lim--洛lim^—洛lim^—=-=2xf0y(x)xf0y(x)xf0y(x) xf0y(x)1方法2：由y(0)=y'(0)=0,y〃(0)=1。由佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開，有r1 。hm =2xf01r1 。hm =2xf01上。(x2)2+工y(x)=0+0+—+o(x2),代入，有l(wèi)im=lim^ xf0 y(x) xf0—x2+o(x2)(4)設(shè)函數(shù)y=f(x)在(0,+8)內(nèi)有界且可導(dǎo)，則()(A)當(dāng)limf(x)=0時，必有l(wèi)imf(x)=0.xf+^ xf+^

(B)當(dāng)limf(x)存在時，必有l(wèi)imf(x)=0.xfy (B)當(dāng)limf(x)存在時，必有l(wèi)imf(x)=0.xfy x■依(C)當(dāng)limf(x)=0時，必有l(wèi)imf(x)=0.xf0+ xf0+(D)當(dāng)limf'(x)存在時，必有l(wèi)imf'(x)=0.xf0+ xf0+【答案】B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念【難易度】★★★★【詳解】解析：方法1：排斥法(A)的反例f(x)=Linx2,它有界，f(x)=-1sinx2+2cosx2,limf(x)=0xf+8不存在.（C）與（D）的反例同（A）的反例。limf（x）=0，但limf'（x）=1中0但limf'(x)xf+8(C)不成立;xf0+xf0+limf（x）=1*0，（D）也不成立.（A）、（C）、（D）都不對，故選（B）.xf0+方法2：證明（B）正確.設(shè)limf（x）存在，記為A,求證A=0。用反證法，設(shè)A*0。若A>0,xf+8A則由保號性知，存在x>0,當(dāng)x>x時f'(x)>-,在區(qū)間［x,x］上對f(x)用拉格朗日中值定理0 0 2 0A -知，有f(x)=f(x)+f也)(x-x)>f(x)+-(x-x),x<己<x.0 0 0 2 0 0xf+8，，從而有f（x）f+8，與f（x）有界矛盾。類似可證若A<0亦矛盾。（5）設(shè)向量組a,a,a線性無關(guān)，向量P可由a,a,a線性表示，而向量P不能由a,a,a線1 2 3 1性表示，則對于任意常數(shù)h必有（）（A）a,a,a,kP+P線性無關(guān).12 3 1 2（C）a,a,a,P+kP線性無關(guān).123 1 2【答案】A【考點(diǎn)】向量的線性表示【難易度】★★★123 2 123(B)a,a,a,kP+P線性相關(guān).123 1 2(D)a,a,a,P+kP線性相關(guān).123 1 2TOC\o"1-5"\h\z【詳解】解析：方法1：對任意常數(shù)k，向量組a,a,a,kP+P線性無關(guān)。1 2 3 1 2用反證法，若a,a,a,kP+P線性相關(guān)，因已知a,a,a線性無關(guān)，故123 1 2 123kP+P可由a,a,a線性表出.1 2 1 2 3

設(shè)kP+P=九。+九a+九a，因已知P可由a,a,a線性表出，設(shè)為TOC\o"1-5"\h\z12112233 1 1 2 3P=la+1a+1a代入上式，得0=（X-1）a+（X-1）a+（X-1）a1 11 22 33 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3這和0不能由a,a,a線性表出矛盾。故向量組a,a,a,k0+0線性無關(guān)，2 1 2 3 1 2 3 1 2應(yīng)選（A）.方法2：用排除法取k=0,向量組a,a,a，k0+0即a,a,a，0線性相關(guān)不成立，排除（B）。取k=0,123 1 2 123 2向量組a,a,a，0+k0，即a,a,a，0線性無關(guān)不成立，排除（C）。123 1 2 123 1k中0時，a,a,a，0+k0線性相關(guān)不成立（證法與方法1類似，當(dāng)k=1時，選項(xiàng)（A）、123 1 2（D）向量組是一樣的，但結(jié)論不同，其中（A）成立，顯然（D）不成立。）排除（D）。三、（本題滿分6分）n已知曲線的極坐標(biāo)方程是r=1-cosO，求該曲線上對應(yīng)于9=-處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程.6【考點(diǎn)】平面曲線的切線、平面曲線的法線【難易度】★★★【詳解】本題涉及到的主要知識點(diǎn):①切線方程:y-y0r0(X-X0)一，… 1/ 、②法線萬程：y-y=-—(x-x)0 y， 00解析：極坐標(biāo)曲線r=1-cosO化成直角坐標(biāo)的參數(shù)方程為Ix=cosO-cos2O即Iy=sinO-cosOIx=cosO-cos2O即Iy=sinO-cosOsinO兀 3 31 %；3、曲線上O=的點(diǎn)對應(yīng)的直角坐標(biāo)為（二「一,—,—6 2 42 4dydxdy_dOdydxdy_dO-dxO=6 dOcosO+sin2O-cos2O-sinO+2cosOsinO=1.Oj61</3. *33, 3=5-于是得切線的直角坐標(biāo)方程為y-（2-?。┒?（三-/，即x-y-13+『°,，…， /1、①、 1/八93 31八法線方程為y-（2-彳）二一1（x一（三—4）），即x+y--y+廠°。四、（本題滿分7分）設(shè)于（X）=<C32x+2x2,設(shè)于（X）=<C32x+2x2,乙xex、(ex+1)2，-1<x<°,°<x<1,求函數(shù)F(x)=\xf(t)dt的表達(dá)式.-1【考點(diǎn)】定積分的分部積分法、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【難易度】★★★【詳解】解析：1<x<°時F(x)=Jx(21+|t2)dt=(12+2t3)x 1 1=—x3+x2-—-12 2當(dāng)°<x<1時，F(xiàn)(x)=bf(t)dt=J°f(t)dt+Jxf(t)dt

-1 -1 °/ 1、=(t2+213)1 1—x3+x2—- ,2 2所以F(x)=「 2 1Inex-x+ln2--、ex+1ex+1 2°+Jx—te--dt=-1-Jxtd—1—-1 °(e+1)2 2 ° (et+1)1tx{dt1x e-tdt +Jx =-- +Jx 2et+1° °et+1 2ex+1 °1+e-1 ln(1+e-1)ex+1五、（本題滿分7分）已知函數(shù)f（x）在（°,+8）內(nèi)可導(dǎo)，f（x）〉°,limf（x）=1，且滿足x-yf(x+hx)11lm(' h=ex,h.°f(x)【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、一階線性微分方程 ln(1+e-x)+ln2ex+1超級狩獵者超級狩獵者超級狩獵者【難易度】★★★【詳解】本題涉及到的主要知識點(diǎn):lim(1+A)；=e；f'(x)=lim于"十，一/⑴，其中A可以代表任何形式;△-0 Af0 A解析:11解析:11/ .11、1f(x+h)h[f(x)J11n(f(x+hx)]

eh〔f(x)J，[.1](f(x+hx)[.1](f(x+hx))lim-ln— <h-0h If(x)J二叫皿+)=lim!ln(=lim!ln(f(x+hxHf(x)h-0h)=lim」(f(x+hHf(x))h-0f(x) f(x)—f'(x),f(x)從而得到limh-0從而得到limh-01xf'(x)=ef(x)由題設(shè)e于是推得xf'(x)=1解此微分方程改寫成if(x)=Ce-x改寫成1再由條件limf(x)=1,推得C=1,于是得f(x)=e-x.x-+8六、(本題滿分7分)求微分方程xdy+(x—2y)dx=0的一個解y=y(x)，使得由曲線y=y(x)與直線x=1,x=2以及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小.【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體的體積、一階線性微分方程、函數(shù)的最大值與最小值【難易度】★★★【詳解】本題涉及到的主要知識點(diǎn)：V=Jb對2(x)dxxa…L 人，…八，、、丁 ,2 ? 、I-解析:一階線性微分方程y'——y=-1,由通解公式有xy=e」[：k[Je'[：]dxdx+C]=x2」—dx+C]=x2(1+C)=x+Cx2,1<x<2

由曲線y=x+J2與x=l,x=2及％軸圍成的圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為TOC\o"1-5"\h\z^ 31 15 7V=kJ2(x+Cx2)2dx=兀(—C+—C+3)，人dV ,62廠15、八75令—=兀(—C+—)=0，得C=- .dC5 2 12475 .又V〃(C)>0，故C=- 為V的惟一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，JLI75于是所求曲線為y=x- x2.124七、（本題滿分7分）某閘門的形狀與大小如圖所示，其中直線l為對稱軸，閘門的上部為矩形ABCD，下部由二次拋物線與線段AB所圍成.當(dāng)水面與閘門的上端相平時，欲使閘門矩形部分承受的水壓力與閘門下部承受的水壓力之比為5:4，閘門矩形部分的高h(yuǎn)應(yīng)為多少m（米）？【考點(diǎn)】定積分的物理應(yīng)用一壓力【難易度】★★★★【詳解】解析：建立坐標(biāo)系，細(xì)橫條為面積微元，面積微元dA=2xdy,因此壓力微元 dp=2pgx(1+h-y)dy平板ABCD上所受的總壓力為 P=J1+h2pgx(1+h-y)dyTOC\o"1-5"\h\z0其中以x=1代入，計算得 P=pgh2.1拋物板AOB上所受的總壓力為 P=J12pgx(1+h-y)dy,01,2、其中由拋物線方程知x=%〃,代入,計算得 P=4Pg(-h+—),, 2 3 15由題意P由題意P：P=5:4,即，1 24(3h+125)超級狩獵者解之得h=2（米）（h=-1舍去），即閘門矩形部分的高應(yīng)為2m.八、（本題滿分8分）設(shè)0<X<3,X=.x（3-x）（n=I,2,???），證明數(shù)列｛x｝的極限存在,并求此極限.1 n+1 n n n【考點(diǎn)】數(shù)列的極限【難易度】★★★【詳解】解析：方法1:考慮(1)xn-19勺 勺x(3-x)-3 : 75 7■ 【詳解】解析：方法1:考慮(1)xn-19勺 勺x(3-x)-3 : 75 7■ 3nn42、"n(3-xn一2=..^-3\:x(3一x)+不nn29—x2+3x ——nn4二：：x(3一x)+-nn2-(x2-1)2n23<0\:'x(3-x)+萬nn23 __所以x<-(當(dāng)n=1,2,...)卸x<n+i 2 n（當(dāng)n=2,3,??.），數(shù)列|n=2,3,…｝有上界—。乙再考慮(2)x-x=,:x(3-x)-xn-1 nnnnnx(3-x)-x2二一n n n—xx(3-x)+x

\nnnx(3-2x)=n —n >0.n=2,3,-.?o、Jx(3-x)+xnnnn所以｛x｝單調(diào)增加。單調(diào)增加數(shù)列｛x｝有上界，所以limx存在，記為a.(3)由x=、:x(3-x)兩邊取極限,于是得a=a(3(3一a),2a2-3a=0,n+i 、nn ”33得a=大或a=0，但因x>0且單調(diào)增，故a豐0，所以limx=-.2 n n2nfg方法2：由0<x<3知x及（3-x）均為正數(shù)，故0<13設(shè)0<x<大，則

k2xk+1—, ，、1 - 3x2Jx1(3-x1)()<2(x1+3-x”2.- 1 3匕(37)、(xk+3 了x-Jx(3-x)-x<

n+i n'nnnx(3-x)-x2x(3-2x)——n n ——n-=,/x(3-x)+x11nnn―■n n :x(3-x)+x、nnn>0.所以｛x｝單調(diào)增，單調(diào)增加數(shù)列｛x｝有上界，所以limx存在，記為a.nfg超級狩獵者超級狩獵者超級狩獵者超級狩獵者———- —~~- 3 八再由x=Jx(3—x)兩邊命n-8取極限，得a=Ja(3—a),a=-或a=0,n+1nnn 23但因x>0且單調(diào)增加，故a豐0，所以a=-。n2九、(本題滿分8分)2a lnb—lna1設(shè)0<a<b，證明不等式———<- <―^?a2+b2 b—a abb【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判別【難易度】★★★【詳解】解析:左、右兩個不等式分別考慮先證左邊不等式，方法1：由所證的形式想到試用拉格朗日中值定理.Inb—Ina 1 11 2a— =(1nx) ——,0<a<s<b.而>>> 。b一a 'x苴S sba2+b2其中第二個不等式來自不等式a2+b2>2ab(當(dāng)0<a<b時)，這樣就證明了要證明的左邊。方法2:用單調(diào)性證，將b改寫為x并移項(xiàng)，命中(x)―1nx—1na—2a(xa)，有①(a)—0.a2+x21 2a 4ax(x—a) (x—a)2 4ax(x—a)8(x)=_— +——1 —— — + ->0(當(dāng)0<a<x),xa2+x2 (a2+x2)2 x(a2+x2)(a2+x2)2而推知當(dāng)x>a>0時叭x)>0，以x=b代入即得證明.1再證右邊不等式，用單調(diào)性證，將b改寫為x并移項(xiàng)，命。(x)=1nx—1na—-=(x—a),ax1 1/1a、 (%：x—、,-'a)2八有0(a)=0,及6(x)=一一=(—=+——)=- ：=—<0,x aa2%；x2xvx 2x^ax所以當(dāng)x>a>0時,。(x)<0，再以x=b代入，便得1 lnb—lna1Inb—Ina<—=(b—a),即 < ,aab b—a Jab右邊證畢.十、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)中0,f'(0)中0,f〃(0)中0。

證明：存在惟一的一組實(shí)數(shù)九,九,九，使得當(dāng)h—0時，九f(h)+九f(2h)+九f(3h)-f(0)是比h2123 1 2 3高階的無窮?。究键c(diǎn)】無窮小的比較，洛必達(dá)法則【難易度】★★★【詳解】解析:方法1:由題目，去證存在唯一的一組九，九,九，123入f(h)+Xf(2h)+Xf(3h)-f(0)八L=limt 2 3 =0h-0 h2由此知，分子極限應(yīng)為0，由f(x)在x=0連續(xù)，于是推知，應(yīng)有由洛必達(dá)法則，L=limh-0九十九+九=1.123入f(h)+Xf(2h)+Xf(3h)-f(0) 3h2(1)=limh-0入f(h)+2入f'(2h)+3'f'(3h)2h(2)分子的極限為lim(九f(h)+2f'Qh)+3f'(3h))=(九+2+3九)f'(0)，h-0 1123若不為0，則式(1)應(yīng)為8,與原設(shè)為0矛盾，故分子的極限應(yīng)是0,即九+2九+3九二0123(3)對(2)再用洛必達(dá)法則，L=limh-0入1Hh)+%f〃(2h)+9”〃(3h)」入+4入+9入)f〃(0)223由f70)豐0，故應(yīng)有九十4九+9九=0 (4)123111將(1)、(3)、(4)聯(lián)立解之，由于系數(shù)行列式123=2。0,149由克萊姆法則知，存在唯一的一組解滿足題設(shè)要求，證畢.方法2:由佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式f(h)=f(0)+f'(0)h+1f〃(0)h2+o(h2),

21f(2h)=f(0)+2f'(0)h+2f70)h2+o(h2),29f(3h)=f(0)+3f'(0)h+-f〃(0)h2+o(h2),23代入0=limhf0f)+"(2h)+”(3h)T(0)=limhf0(X +入+入-1)f(0)+(入 +2入 + 3入)/(0)h+1(入 + 4入 +9入)f〃(0) h21 2 3 1 2 3 2 1 2 3h2Xo(h2)+Xo(h2)+Xo(h2)I--1_1 0_0 2_2 11 22 33h2上面［ ］中第二項(xiàng)極限為0,所以第一項(xiàng)中應(yīng)有rx+x+x=11 2 3<X+2X+3X=01 2 3X+4X+9X=0v1 2 3111由于系數(shù)行列式123=2w0,149由克萊姆法則知，存在唯一的一組解滿足題設(shè)要求，證畢.十一、(本題滿分6分)已知4B為3階矩陣，且滿足2A-1B=B-4E，其中E是3階單位矩陣.(1)證明：矩陣A-2E可逆;1(2)若B=10-202 0，求矩陣A.02【考點(diǎn)】逆矩陣的概念、矩陣的計算【難易度】★★★【詳解】本題涉及到的主要知識點(diǎn)：若有AB=E則稱A,B互逆。解析：(1)由題設(shè)條件2A-1B=B-4E兩邊左乘A，得2B=AB-4A即 AB-2B=4A(A-2E)B=4A-8E+8E=4(A-2E)+8E(A-2E)(B-4E)=8E(A-2E)1(B-4E)=E得證A—2E可逆(且(A—2E)-1=1(B—4E))。8(2)方法1：由(1)結(jié)果知-1(A-2E)=j(B-4E)=8(B-4E-1[b—4E\e\=—20400—3—2020—040二1—2002__004__00—2"-3—20100-"1—21—20010--3—200—200100A=8(B—4E)-1+2E110000—20——2—2A=8(B—4E)