第八章重積分

第八章重積分一、問(wèn)題的提出定積分中會(huì)求平行截面面積為已知的一般立體的體積如何求先從曲頂柱體的體積開(kāi)始.而曲頂柱體的體積的計(jì)算問(wèn)題,一般立體的體積可分成一些比較簡(jiǎn)單的?回想立體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積.曲頂柱體的體積.二重積分的一個(gè)模型.可作為一、主要內(nèi)容第1節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)2曲頂柱體體積=特點(diǎn)1．曲頂柱體的體積D困難曲頂柱體以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以頂是曲面且在D上連續(xù)).?曲頂頂是曲的3柱體體積=

特點(diǎn)分析?曲邊梯形面積是如何求以直代曲、如何創(chuàng)造條件使?

解決問(wèn)題的思路、步驟與回憶思想是分割、平頂平曲這對(duì)矛盾互相轉(zhuǎn)化與以不變代變.曲邊梯形面積的求法類似取近似、求和、取極限.底面積×高4步驟如下用若干個(gè)小平頂柱體體積之和先任意分割曲頂柱體的底，曲頂柱體的體積并任取小區(qū)域，近似表示曲頂柱體的體積，5(1)分割相應(yīng)地此曲頂柱體分為n個(gè)小曲頂柱體.(2)取近似第i個(gè)小曲頂柱體的體積的近似式(用表示第i個(gè)子域的面積).將域D任意分為n個(gè)子域在每個(gè)子域內(nèi)任取一點(diǎn)6(3)求和即得曲頂柱體體積的近似值:(4)取極限λ)趨于零,求n個(gè)小平頂柱體體積之和令n個(gè)子域的直徑中的最大值(記作上述和式的極限即為曲頂柱體體積72.非均勻平面薄片的質(zhì)量(1)將薄片分割成n個(gè)小塊，看作均勻薄片.(2)(3)(4)近似任取小塊設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.8也表示它的面積,二、二重積分的概念1.二重積分的定義定義作乘積

并作和①②③9積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素這和式則稱此零時(shí),如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于的極限存在,極限為函數(shù)二重積分,記為即④10曲頂柱體體積它的面密度曲頂即在底D上的二重積分,平面薄片D的質(zhì)量即在薄片D上的二重積分,112.在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D,二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區(qū)別:重積分中可正可負(fù).則面積元素為D12(A)最大小區(qū)間長(zhǎng);(B)小區(qū)域最大面積;(C)小區(qū)域直徑;(D)最大小區(qū)域直徑.D選擇題132.二重積分的存在定理設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)存在.連續(xù)函數(shù)一定可積注今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時(shí),則都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的14(2)3.二重積分的幾何意義(3)(1)在D上的二重積分就等于二重積分是二重積分是而在其它的部分區(qū)域上是負(fù)的.這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,柱體體積的負(fù)值;柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,15性質(zhì)１為常數(shù),則(二重積分與定積分有類似的性質(zhì))三、二重積分的性質(zhì)16以1為高的性質(zhì)2將區(qū)域D分為兩個(gè)子域性質(zhì)3若為D的面積oxyD1D2

注既可看成是以D為底,柱體體積.對(duì)積分區(qū)域的可加性質(zhì).D1與D2除分界線外無(wú)公共點(diǎn).D又可看成是D的面積.17問(wèn)在有界閉區(qū)域D1上可積,且則是否必有18特殊地性質(zhì)4(比較性質(zhì))設(shè)則例的值=().(A)為正(B)為負(fù)(C)等于0(D)不能確定為負(fù)B19幾何意義以m為高和以M為高的兩個(gè)證再用性質(zhì)1和性質(zhì)3,性質(zhì)5(估值性質(zhì))則σ為D的面積,則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.證畢.則20性質(zhì)6(二重積分中值定理)體積等于顯然幾何意義證D上連續(xù),σ為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)使得則曲頂柱體以D為底為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)5中不等式各除以二重積分的概念與性質(zhì)有21的最大值M與最小值m之間的.由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.兩端各乘以點(diǎn)的值證畢.即是說(shuō),確定的數(shù)值是介于函數(shù)在D上至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)在該與這個(gè)確定的數(shù)值相等,即二重積分的概念與性質(zhì)22例1設(shè)D為圓域?二重積分=解上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積：RD二、典型例題23

比較(D)無(wú)法比較.oxy

1??1?2C(2,1)?性質(zhì)4(比較性質(zhì))的大小,則()例224解估值性質(zhì)區(qū)域D的面積在D上例3不作計(jì)算,25(A)(B)(C)(D)提示:B是有界閉區(qū)域D:上的連續(xù)函數(shù),不存在.利用積分中值定理.例426利用積分中值定理,解即得:由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點(diǎn)是圓域內(nèi)的一點(diǎn).27例5設(shè)D是平面有界閉區(qū)域,函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù),在D上不變號(hào).求證:存在使得28本節(jié)介紹計(jì)算二重積分的方法:二重積分化為累次積分(即兩次定積分).第2節(jié)二重積分的計(jì)算29(1)積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)X－型在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分X-型區(qū)域的特點(diǎn):平行于y軸的直線與區(qū)域D的邊界至多交于兩個(gè)點(diǎn).30計(jì)算截面面積(紅色部分即A(x0))＊以D為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積.應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法.用二重積分的幾何意義說(shuō)明其計(jì)算法是區(qū)間為曲邊的曲邊梯形.為底,曲線31是區(qū)間為底,曲線為曲邊的曲邊梯形.有:＊先對(duì)y后對(duì)x的二次積分稱為累次積分.32(2)積分區(qū)域?yàn)椋篩－型先對(duì)x后對(duì)y的二次積分也即其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).Y-型區(qū)域的特點(diǎn):平行于x軸的直線與區(qū)域D的邊界至多交于兩個(gè)點(diǎn).33穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線abdc

計(jì)算結(jié)果一樣.又是Y型:(3)積分區(qū)域D既是X型:X型區(qū)域的特點(diǎn):Y型區(qū)域的特點(diǎn):與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).但可作出適當(dāng)選擇.34(4)若區(qū)域如圖,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式.(用積分區(qū)域的可加性質(zhì))D1、D2、D3都是X型區(qū)域則必須分割.35兩相鄰弧半徑平均值.內(nèi)取圓周上一點(diǎn)其直角坐標(biāo)則設(shè)為二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分36得即也即極坐標(biāo)系中的面積元素37(1)積分區(qū)域D:θθ即,極點(diǎn)O在區(qū)域D之外38若則39(2)積分區(qū)域D(曲邊扇形):即,極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上40極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積(3)積分區(qū)域D:注一般,在極坐標(biāo)系下計(jì)算:θ即,極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部41﹡三、二重積分的換元法設(shè)被積函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù),若變換滿足如下條件:(1)一對(duì)一地變?yōu)镈上的點(diǎn);(2)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且雅可比行列式42注意1.若J在D內(nèi)若干點(diǎn)或線上等于0,則以上結(jié)論仍成立.2.特別有極坐標(biāo)變換則3.J的性質(zhì)選擇變換公式的目的:使變換后的函數(shù)易積；(2)使積分限易確定.5.邊界映射到邊界。43

二重積分的計(jì)算規(guī)律再確定交換積分次1.交換積分次序:先依給定的積分次序?qū)懗龇e分域D的不等式,并畫(huà)D的草圖;序后的積分限;2.如被積函數(shù)為圓環(huán)域時(shí),或積分域?yàn)閳A域、扇形域、則用極坐標(biāo)計(jì)算;443.注意利用對(duì)稱性質(zhì),數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào).以便簡(jiǎn)化計(jì)算;4.被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí),應(yīng)將積分域分割成幾個(gè)子域,使被積函數(shù)在每個(gè)子域中保持同一符號(hào),以消除被積函45利用積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇,偶性,可以簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算.(1)如果積分區(qū)域D關(guān)于y=0對(duì)稱,則(2)如果積分區(qū)域D關(guān)于x=0對(duì)稱,則46(3)如果積分區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則

今后在計(jì)算重積分利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算時(shí),被積函數(shù)的奇偶性.

積分區(qū)域的對(duì)稱性,要特別注意考慮兩方面:47例1計(jì)算二重積分其中D是由直線及雙曲線所圍成的閉區(qū)域.選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序有利于計(jì)算.通常選擇使區(qū)域D不用分成幾部分的好.注二、典型例題48例2計(jì)算二重積分其中D是由直線及拋物線所圍成的閉區(qū)域.此例說(shuō)明選擇積分次序的重要性.注49例3求兩個(gè)底圓半徑為R,且這兩個(gè)圓柱面的方程分別為及解求所圍成的立體的體積.?還有別的做法嗎50注若先對(duì)x后對(duì)y積,則很難!此例說(shuō)明:利用二重積分的幾何意義求體積,及選擇積分次序的重要性.51例4求其中思考:求其中52例5siny2對(duì)y的積分而它對(duì)x的積分交換積分次序的方法是:改寫D為:oxy分析所以將二次積分先將所給的積分域(1)(2)畫(huà)出積分域的草圖(3)計(jì)算二次積分不能用基本積分法算出,可用基本積分法算出.交換積分次序.用聯(lián)立不等式表示D:53oxy此例說(shuō)明交換積分次序的重要性54交換積分次序的步驟(1)將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2)按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.并畫(huà)出草圖;55例6交換積分次序：解積分區(qū)域:原式=56又是能否進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題.計(jì)算二重積分時(shí),恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序十分重要,它不僅涉及到計(jì)算繁簡(jiǎn)問(wèn)題,而且凡遇如下形式積分:等等,一定要放在后面積分.57例7求證左邊的累次積分中,積分域可表為提示定積分與積分變量的記法無(wú)關(guān)不能具體計(jì)算.所以,是y的抽象函數(shù),證畢.先交換積分次序.58例8計(jì)算其中D是由直線所圍成的平面區(qū)域.59為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,(A)(B)(C)(D)0.AD1是D在第一象限的部分,練習(xí)60解a例9計(jì)算其中D是由中心在原點(diǎn),半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.在極坐標(biāo)系下61解求反常積分例10顯然有62又對(duì)稱性質(zhì)63概率積分夾逼定理即所求反常積分64例11計(jì)算位于平面曲線之外部分的面積.例12求球體被圓柱面所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積.65例13解所圍成的閉區(qū)域.其中D為橢圓作廣義極坐標(biāo)變換66故換元公式仍成立,極坐標(biāo)67例14解令則即68故69是空間有界閉區(qū)域Ω上的如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值在每個(gè)1.三重積分的定義將閉區(qū)域Ω任意分成n個(gè)小閉區(qū)域其中并作和作乘積①②③④有界函數(shù).也表示它的體積.表示第i個(gè)小閉區(qū)域,上任取一點(diǎn)一、三重積分的概念(define)第3節(jié)三重積分的概念與計(jì)算70記為函數(shù)趨于零時(shí)這和的極限總存在,則稱此極限為在閉區(qū)域Ω上的三重積分.即體積元素713.三重積分的幾何意義(2)設(shè)被積函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定可積2.三重積分存在性則區(qū)域Ω的體積為在Ω上是可積的.的三重積分存在性時(shí),(existence)(1)占有空間區(qū)域體密度函數(shù)為的立體的質(zhì)量為:72二、三重積分的計(jì)算1.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分故直角坐標(biāo)系下的體積元素為在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為在直角坐標(biāo)系中,如果用平行于坐標(biāo)面的平面的來(lái)劃分73設(shè)平行于z軸的直線與的邊界面至多相交于兩個(gè)點(diǎn).(1)設(shè)在xoy平面上的投影區(qū)域?yàn)橐缘倪吔缜€為準(zhǔn)線,作母線平行于z軸的柱面,把的邊界曲面分為上,下兩部分:直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分思想是1.投影法(先單后重法)74即設(shè)在上連續(xù),在上連續(xù),在上連續(xù).75的一元函數(shù),是分布在線段(2)對(duì)過(guò)作平行于z軸的直線穿過(guò)區(qū)域則由曲面穿入,穿入點(diǎn)由曲面穿出,穿出點(diǎn)上的質(zhì)量在豎坐標(biāo)z處的線密度,從而線段上的質(zhì)量為:76(4)把物體質(zhì)量看成分布在占有平面閉區(qū)域的平面薄片上,點(diǎn)處的面密度為則物體的質(zhì)量為:由于先單后重先對(duì)z,次對(duì)y,最后對(duì)x的三次積分則77注相交不多于兩點(diǎn)情形.則考慮化為先對(duì)z,后對(duì)xy的累次積分.過(guò)程如下:(1)將投影到xy平面,得區(qū)域(2)對(duì)作平行于z軸的過(guò)直線穿過(guò)區(qū)域看看由哪個(gè)曲面穿入,哪個(gè)曲面穿出,從而定出z的上下限.(3)最后再由二重積分的方法將化為二次積分即可.78所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積分(累次積分).和積分域Ω選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)行計(jì)算.解題時(shí),要依據(jù)具體的被積函數(shù)同樣,也可以把積分域Ω向yOz、zOx面投影.792截面法(紅色部分)(先重后單法)截面法的一般步驟(1)投影,得投影區(qū)間(2)(3)計(jì)算二重積分(4)最后計(jì)算單積分即80

即當(dāng)被積函數(shù)僅與變量z有關(guān),截面法的公式還有兩個(gè).?用上公式簡(jiǎn)便.希望自己推導(dǎo)注且截面Dz易知時(shí),81(1)如果被積函數(shù)是單變量z(或x,y)的函數(shù),并且總結(jié):用z=常數(shù)(或x=常數(shù),y=常數(shù))截空間區(qū)域得到的截面的面積易求,則考慮把三重積分化為先重(對(duì)xy)后單(對(duì)z)的累次積分來(lái)計(jì)算;(2)將三重積分化為三次積分時(shí),一定要先單后重或先重后單,不要直接化為三次積分;(3)充分利用對(duì)稱性.82小結(jié):直角坐標(biāo)系下計(jì)算重積分的一般步驟:1.畫(huà)出積分區(qū)域的示意圖;2.選定積分次序,三重積分只能先化為”先單后重”或”先重后單”的累次積分,不要直接化為三次積分.3.確定積分限,計(jì)算累次積分.83規(guī)定直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為就叫點(diǎn)M的柱面坐標(biāo).2.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分cylindricalcoordinates設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為則這樣的三個(gè)數(shù)84柱面坐標(biāo)系中,以z軸為中心軸的圓柱面；過(guò)z軸的半平面.與xOy平面平行的平面;三坐標(biāo)面分別為稱點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)85柱面坐標(biāo)系中的體積元素為在柱面坐標(biāo)系中,如圖,得小柱體即直角坐標(biāo)系下三重積分與(紅色部分).若以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域柱(面)坐標(biāo)系下三重積分的關(guān)系是86?

如何計(jì)算柱坐標(biāo)系下三重積分回想直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分方法.將三重積分化為三次積分(累次積分)87柱坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算,可得柱坐標(biāo)系下三重積分化為三次積分與x,y,z等同的看為三個(gè)變量.如,極坐標(biāo)不等式表示只要把被積函數(shù)中的的計(jì)算公式.類比公式先將Ω在xOy面上的投影域用88從而故再確定Ω的下,上邊界面89當(dāng)化三重積分為先單后重或先重后單,而算上的重積分需用極坐標(biāo)計(jì)算時(shí),則考慮用柱面坐標(biāo)變換.注90如積分域Ω為圓柱域(如圖).則91當(dāng)被積函數(shù)是積分域Ω由圓柱面(或一部分)、錐面、拋物面用所圍成的.柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分較方便.92記投影向量與x軸正方向的規(guī)定正方向間的夾角為夾角為球面坐標(biāo).稱為點(diǎn)M的3.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),向xOy平面投影,93球面坐標(biāo)系中的三坐標(biāo)面分別為原點(diǎn)為心的球面；過(guò)z軸的半平面．球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸的圓錐面；94球面坐標(biāo)系中的體積元素為若以三坐標(biāo)面分割空得小六面體(紅色部分).于是,在球面坐標(biāo)系中，間區(qū)域95通常是注記96注:化球面坐標(biāo)系鐘的三重積分為三次積分時(shí)要根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)來(lái)決定積分限.1.若積分區(qū)域的邊界曲面是一個(gè)包含原點(diǎn)在內(nèi)的閉曲面,其球面坐標(biāo)方程為:則97特別若積分區(qū)域由所圍成,則再特別時(shí),由上式得到求的體積98若原點(diǎn)不在積分區(qū)域的內(nèi)部,則按以下方法確定積分限.通常是注(1)作兩個(gè)過(guò)z軸的半平面夾緊積分區(qū)域,這兩個(gè)半平面對(duì)應(yīng)著則對(duì)積分的上下限分別為:(2)用的半平面L截積分區(qū)域,得到截面S在L內(nèi)過(guò)原點(diǎn)作兩射線夾緊S,這兩射線對(duì)應(yīng)著則對(duì)積分的上下限分別為:則對(duì)積分的上下限分別為:99(3)設(shè)固定,即用過(guò)原點(diǎn)的射線穿過(guò)區(qū)域,設(shè)穿入穿出曲面為:則對(duì)r積分的上下限分別為:故結(jié)論:當(dāng)積分區(qū)域?yàn)榍蛎?球面與錐面等圍成,被積函數(shù)中含有則考慮用球面坐標(biāo)變換.時(shí),100類似有三重積分的換元法設(shè)變換將空間區(qū)域一對(duì)一地變換為空間地區(qū)域且函數(shù)在內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo),且則101小結(jié):對(duì)于二重積分,若積分區(qū)域?yàn)閳A域,扇形域或圓環(huán)域,而被積函數(shù)中含有則用極坐標(biāo)計(jì)算.2.對(duì)于三重積分,若積分區(qū)域的邊界面方程中含有且被積函數(shù)中也含有則用柱面坐標(biāo)變換計(jì)算.3.對(duì)于三重積分,若積分區(qū)域的邊界面方程中含有且被積函數(shù)中也含有則用球面坐標(biāo)變換計(jì)算.1024.作一般變量替換的目的:5.對(duì)于求封閉曲線圍成的圖形的面積,使變換后的函數(shù)易積；(2)使積分限易確定.注意:邊界映射到邊界.先分析其對(duì)稱性,再考慮用(廣義)極坐標(biāo)變換.而對(duì)于求封閉曲面圍成的圖形立體的體積時(shí),則先分析其對(duì)稱性,再考慮用(廣義)球面坐標(biāo)變換.103小結(jié):1.對(duì)于二重積分交換積分次序的步驟(1)將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,(2)按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.并畫(huà)出草圖;2.對(duì)于三重積分交換積分次序的步驟(1)將已給的三次積分退化為”先單后重”或”先重后單”的累次積分;(2)再將二重積分交換積分次序,重復(fù)多次即可.104二、典型例題投影法(先單后重法)計(jì)算三重積分?例15105例16求由旋轉(zhuǎn)拋物面和平面所圍成的立體的質(zhì)量,假設(shè)立體上各點(diǎn)處的密度與該點(diǎn)到z軸的距離成正比.例17將化為定積分.106例18求由拋物柱面及平面所圍成的立體在第一象限部分的體積.107例19計(jì)算的上半部分.例20計(jì)算其中是由柱面與平面所圍成的.108例21計(jì)算其中是由不等式所圍成的空間區(qū)域.利用柱面,球面,先重后單三種方法例22計(jì)算其中是由不等式所圍成的空間區(qū)域.利用對(duì)稱性,球面坐標(biāo)109例23計(jì)算其中是球體例24計(jì)算其中為錐面與平面所圍成的立體.110例25求半徑為a的球與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.例26計(jì)算其中為橢球面所圍成的閉區(qū)域..111解?如先對(duì)z積分其中Ω是由錐面例27與平面思考所圍成的錐臺(tái)體.柱面坐標(biāo)112可看出如先對(duì)z積分,(積不出來(lái)).將遇到積分最后對(duì)z積分.這里應(yīng)先對(duì)積分,113例28計(jì)算其中例29求曲面所圍成的立體的體積.114例30計(jì)算三重積分小結(jié):1.在計(jì)算重積分時(shí),要同時(shí)結(jié)合考慮區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性.2.充分利用輪換對(duì)稱性.115一、重積分在幾何上的應(yīng)用1.平面區(qū)域的面積設(shè)有平面區(qū)域D,2.體積設(shè)曲面方程為則D上的曲頂柱體體積為:則其面積為:占有空間有界域的立體的體積為:第4節(jié)重積分的應(yīng)用1163曲面的面積空間中一平行四邊形S(面積仍為S)投影到xoy平面上仍為平行四邊形σ(1)平面圖形的投影(面積仍為σ),則設(shè)S以為鄰邊,則σ以為鄰邊.117是S的法向量.且同理所以其中γ為空間平面S的法向量與z軸正向的夾角.即118如果S不是平行四邊形,而是位于空間中的任何一個(gè)平面圖形,則它的面積與它在xoy平面上的投影圖形的面積仍有此關(guān)系式:其中γ為兩空間平面圖形的法向量的夾角.結(jié)論:(1)當(dāng)S的法向量(2)當(dāng)S的法向量119(2)設(shè)曲面S的方程為：如圖,3.曲面的面積設(shè)小區(qū)域則有母線平行于z軸的小柱面,在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈,120曲面S的面積元素曲面S的面積公式121(3)設(shè)曲面的方程為曲面面積公式曲面面積公式(2)設(shè)曲面的方程為曲面面積公式(1)設(shè)曲面S的方程為122二、重積分的統(tǒng)一定義定義1設(shè)為一個(gè)有界的閉幾何形體(可以是直線段,曲線弧段,平面區(qū)域,空間曲面或空間立體),它是可以度量的(即可求長(zhǎng)度或面積或體積),函數(shù)上的一個(gè)有界數(shù)量值函數(shù).①也表示它的度量,②作乘積

123

并作和③④記如果對(duì)任意分割及點(diǎn)的任意取法,極限都存在且相等,則稱函數(shù)且此極限值為多元數(shù)量值函數(shù)(也稱黎曼積分),記為即積分和積分區(qū)域被積函數(shù)被積表達(dá)式或積分微元124于是,質(zhì)量特別當(dāng)時(shí),根據(jù)積分區(qū)域的不同,有以下不同的積分表達(dá)形式:并稱為二元函數(shù)上的二重積分,即平面積分區(qū)域面積元素125并稱為三元函數(shù)上的三重積分,即空間積分區(qū)域體積元素126(3)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分平面上積分曲線弧弧長(zhǎng)微分或空間積分曲線弧弧長(zhǎng)微分(4)對(duì)面積的曲面積分積分曲面面積元素127由力學(xué)知識(shí)知道，則該質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心的坐標(biāo)為設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)組,每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置為三、重積分在物理上的應(yīng)用1、質(zhì)心對(duì)yoz面的靜矩對(duì)xoz面的靜矩對(duì)xoy面的靜矩128物體的重心坐標(biāo)為設(shè)空間物體上任一點(diǎn)的體密度為則利用微元法的思想得到注當(dāng)物體是均勻的,重心稱為形心.1292、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由力學(xué)知識(shí)知道，則該質(zhì)點(diǎn)組關(guān)于x,y,z軸的設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)組,每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為130設(shè)的密度函數(shù),它在上連續(xù),同樣利用微元法的思想得到物體繞x,y,z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為如果幾何形體位于xoy面上,則z=0131用元素法求薄片對(duì)z軸上的單位質(zhì)點(diǎn)的引力引力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影3、引力(1)平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力設(shè)有一平面薄片,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點(diǎn)(x,y)處的面密度為假定在D上連續(xù),計(jì)算該平面薄片對(duì)位于z軸上的點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力.元素.薄片中的大小近似地為的部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力132引力的方向方向余弦薄片中上的投影的元素:薄片中的大小近似地為的部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力