定解問(wèn)題的推導(dǎo)

定解問(wèn)題的推導(dǎo)第1頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門(mén)自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要是指偏微分方程和積分方程，這些方程稱(chēng)為泛定方程，若加上物理問(wèn)題產(chǎn)生的具體環(huán)境（即邊界條件和初始條件），則構(gòu)成一個(gè)（組）數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題。數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律。從物理規(guī)律的角度來(lái)分析，數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題表征的是場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)物理思想第2頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（聲）振動(dòng)是研究（聲）源與聲波場(chǎng)之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場(chǎng)之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國(guó)數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢(shì)（或電場(chǎng)）和電荷分布之間的關(guān)系定解問(wèn)題第3頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)分析問(wèn)題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問(wèn)題分為正（向）問(wèn)題、逆（向）問(wèn)題或稱(chēng)為反問(wèn)題.不同出發(fā)點(diǎn)

正問(wèn)題，即為已知源求場(chǎng)

反問(wèn)題，即為已知場(chǎng)求源.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容.后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱(chēng)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容。第4頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四多數(shù)為二階線性偏微分方程振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿(mǎn)足波動(dòng)方程熱傳導(dǎo)問(wèn)題和擴(kuò)散問(wèn)題滿(mǎn)足熱傳導(dǎo)方程靜電場(chǎng)和引力勢(shì)滿(mǎn)足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程的類(lèi)型和所描述的物理規(guī)律第5頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三類(lèi)典型的數(shù)學(xué)物理方程三類(lèi)典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動(dòng)方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第6頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四分離變量法偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類(lèi)特殊函數(shù)。三類(lèi)數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法第7頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四波動(dòng)方程的建立1.弦的微小橫振動(dòng)（見(jiàn)教材第1頁(yè)）考察一根長(zhǎng)為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫(xiě)出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

第8頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1）問(wèn)題的提法給定一根兩端固定（平衡時(shí)沿直線）均勻柔軟的細(xì)弦，其長(zhǎng)為l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng)，研究弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（2）方程的推導(dǎo)注意：

物理問(wèn)題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡(jiǎn)化。數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)。第9頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）弦在某一平面內(nèi)作微小橫振動(dòng)，即弦的位置始終在一直線附近，而弦上各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小的振動(dòng)。所謂“微小”是指振動(dòng)的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小。（3）弦是柔軟的。它在形變時(shí)不抵抗彎曲，弦上各質(zhì)點(diǎn)間的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長(zhǎng)形變與張力的關(guān)系服從胡克（Hook）定律。基本假設(shè)（微小、均勻和柔軟的物理意義）：（1）弦是均勻的。弦的橫截面直徑與弦的長(zhǎng)度相比可以忽略（細(xì)），因此，弦可以視為一條直線，它的線密度ρ是常數(shù)。（ρ=M/L，M--質(zhì)量，L--長(zhǎng)度）第10頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四TT′′MM′N(xiāo)N′dsxx+dxxut時(shí)刻設(shè)弦上具有坐標(biāo)x的點(diǎn)在t時(shí)刻的位置為M，位移MN記作u，u=u(x,t)，由于沒(méi)有辦法考察弦上單點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，所以我們選擇小弧段來(lái)研究，然后研究小弧段的長(zhǎng)度趨于零的極限狀態(tài)。ds—弧段MM′的長(zhǎng)度；—弦的線密度；T—M點(diǎn)所受的張力；T′—M′點(diǎn)所受的張力；由于假設(shè)弦是柔軟的，所以在任一點(diǎn)處張力的方向總是沿著該點(diǎn)的切線方向，下面分析弧段的受力情況。第11頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四物理定律：Newton第二定律F=ma作用于弧段上任一方向上的力的合力等于這段弧的質(zhì)量乘以力的方向上的加速度。x軸方向（水平）：由于弦只作橫振動(dòng)（垂向振動(dòng)），則（1.1）由弦只作微小橫振動(dòng)的假設(shè)，即，′都很小，則≈0，′≈0，從而由TT′′MM′N(xiāo)N′dsxx+dxxut時(shí)刻第12頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四略去高階項(xiàng)，有代入（1.1）得到u軸方向（垂直）：又因?yàn)楫?dāng)≈0，′≈0時(shí)，TT′′MM′N(xiāo)N′dsxx+dxxut時(shí)刻第13頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四同理又由于小弧段在t時(shí)刻沿u方向運(yùn)動(dòng)的加速度為弧段的質(zhì)量m=ds，所以第14頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因?yàn)橛谑?，?.2）或第15頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（1.3）其中，方程（1.3）稱(chēng)為一維波動(dòng)方程。第16頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則式(1.3)應(yīng)該改寫(xiě)為

(1.4)式（1.4）稱(chēng)為弦的受迫振動(dòng)方程.，為時(shí)刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向（垂直）外力。式中稱(chēng)為力密度

第17頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第18頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.傳輸線方程（或電報(bào)方程，見(jiàn)教材第4頁(yè)）（1）問(wèn)題的提法第19頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）方程的推導(dǎo)根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長(zhǎng)度為△x的傳輸線中，電壓降應(yīng)等于電動(dòng)勢(shì)之和，即第20頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由此得（2.1）另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流，即由此得（2.2）將方程（2.1）與（2.2）合并，即得i，v應(yīng)滿(mǎn)足如下方程組第21頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2.1）（2.2）第22頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四將（2.1）中的（2.3）代入（2.3），得（2.4）這就是電流i滿(mǎn)足得微分方程。采用類(lèi)似得方法從（2.1）與（2.2）中消去i可得電壓v滿(mǎn)足得方程第23頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2.5）（2.3）方程（2.3）或（2.5）稱(chēng)為傳輸線方程（電報(bào)方程）。根據(jù)不同的具體情況，對(duì)參數(shù)R，L，C，G作不同得假定，就可以得到傳輸線方程的各種特殊形式。例如，在高頻傳輸?shù)那闆r下，電導(dǎo)與電阻所產(chǎn)生的效應(yīng)可以忽略不計(jì)。也就是說(shuō)可令G=R=0,此時(shí)方程（2.3）與（2.5）可簡(jiǎn)化為這兩個(gè)方程稱(chēng)為高頻傳輸線方程。第24頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這兩個(gè)方程與（1.3）完全相同。由此可見(jiàn)，同一個(gè)方程可以用來(lái)描述不同的物理現(xiàn)象。一維波動(dòng)方程只是波動(dòng)方程中最簡(jiǎn)單的情況，在流體力學(xué)、聲學(xué)及電磁場(chǎng)理論中，還要研究高維的波動(dòng)方程。令（1.3）第25頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.熱傳導(dǎo)方程（見(jiàn)教材第8頁(yè)）（1）問(wèn)題的提法熱傳導(dǎo)方程的建立第26頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中k＝k（x，y，z）稱(chēng)為物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)，當(dāng)物體為均勻且各向同性的導(dǎo)熱體時(shí)，k為常數(shù)。第27頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四利用上面的關(guān)系，從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2通過(guò)曲面S流入?yún)^(qū)域V的全部熱量為第28頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四流入的熱量使V內(nèi)各點(diǎn)的溫度從u（x，y，z，t1）變化到u（x，y，z，t2），則在[t1,

t2]內(nèi)V內(nèi)溫度升高所需的熱量為其中c為物體的比熱，ρ為物體的密度，對(duì)均勻且各向同性的物體來(lái)說(shuō)，它們都是常數(shù)。由于熱量守恒，流入的熱量等于物體溫度升高所需吸收的熱量，即（2.6）此式左端的曲面積分中S是閉曲面，假設(shè)函數(shù)u關(guān)于x，y，z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，可以利用高斯（Guass）公式將它化為三重積分，即第29頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四同時(shí)，（2.6）的右端的體積分可以寫(xiě)成（2.6）因此，有（2.7）由于時(shí)間間隔[t1,

t2]及區(qū)域V都是任意取的，并且被積函數(shù)是連續(xù)的，所以（2.7）式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等，即第30頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2.8）若物體內(nèi)有熱源，其強(qiáng)度為F(x,y,z,t),則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程為其中。第31頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四作為特例，如果所考慮的物體是一根細(xì)桿（或一塊薄板），或者即使不是細(xì)桿（或薄板）而其中的溫度u只與x，t（或x，y，t）有關(guān)，則方程（2.8）就變成一維熱傳導(dǎo)方程（2.8）或二維熱傳導(dǎo)方程第32頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2.8）第33頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：

時(shí)間內(nèi)，通過(guò)面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比也與和成正比，即：式中是導(dǎo)熱系數(shù)

第34頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖表示t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,z）處的溫度在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)ABCD面流入的熱量為同樣，在時(shí)間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為第35頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，