2023中考數(shù)學(xué)壓軸題特訓(xùn)

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中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編

1、（安徽）按右圖所示的流程，輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足以下兩個(gè)要求：

y與x的關(guān)系式輸入x開(kāi)始（Ⅰ）新數(shù)據(jù)都在60～100（含60和100）之間；

（Ⅱ）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對(duì)應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大。

（1）若y與x的關(guān)系是y＝x＋p(100－x)，請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)p＝換滿足上述兩個(gè)要求；

（2）若按關(guān)系式y(tǒng)=a(x－h(huán))＋k(a>0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述要求的這種關(guān)系式。（不要求對(duì)關(guān)系式符合題意作說(shuō)明，但要寫(xiě)出關(guān)系式得出的主要過(guò)程）

（1）當(dāng)P=

2

輸出y終止1時(shí)，這種變2111時(shí)，y=x＋?100?x?,即y=x?50。222∴y隨著x的增大而增大，即P=

1時(shí)，滿足條件（Ⅱ）……3分21?100?50=100。而原數(shù)據(jù)都在20～100之間，所以新數(shù)據(jù)都在60～21100之間，即滿足條件（Ⅰ），綜上可知，當(dāng)P=時(shí)，這種變換滿足要求；……6分

2又當(dāng)x=20時(shí)，y=

（2）此題是開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一。若所給出的關(guān)系式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值m，n能落在60～100之間，則這樣的關(guān)系式都符合要求。

如取h=20,y=a?x?20??k,……8分

∵a＞0，∴當(dāng)20≤x≤100時(shí)，y隨著x的增大…10分令x=20,y=60，得k=60①令x=100,y=100，得a×80＋k=100②

2

2

1?a?12?y?由①②解得?，∴?x?20??60?！?4分160160??k?602、（常州）已知A(?1，m)與B(2，m?33)是反比例函數(shù)

yy?

k

圖象上的兩個(gè)點(diǎn)．x

（1）求k的值；

，0)，則在反比例函數(shù)y?（2）若點(diǎn)C(?1k

圖象上是否存在點(diǎn)x

C?1O1B1?1xD，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，

求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）由(?1)?m?2?(m?33)，得m??23，因此k?23．·····2分

（2）如圖1，作BE?x軸，E為垂足，則CE?3，BE?3，BC?23，因此∠BCE?30?．

?由于點(diǎn)C與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)一致，因此CA?x軸，從而∠ACB?120．

當(dāng)AC為底時(shí)，由于過(guò)點(diǎn)B且平行于AC的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)B，故不符題意．·····························3分當(dāng)BC為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，交雙曲線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A，D分別作x軸，y軸的平行線，交于點(diǎn)F．

由于∠DAF?30，設(shè)DF?m1(m1?0)，則AF?3m1，AD?2m1，由點(diǎn)A(?1，?23)，得點(diǎn)D(?1?3m1，?23?m1)．因此(?1?3m1)?(?23?m1)?23，

?

解之得m1??73?3（m1?0舍去），因此點(diǎn)D?6，?．

?3?3??此時(shí)AD?143，與······5分yBC的長(zhǎng)度不等，故四邊形ADBC是梯形．3yBCODDxBCOEHxAFA圖2

圖1

如圖2，當(dāng)AB為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為D．

??由于AC?BC，因此∠CAB?30，從而∠ACD?150．作DH?x軸，H為垂足，

則∠DCH?60，設(shè)CH?m2(m2?0)，則DH?3m2，CD?2m2

?，0)，得點(diǎn)D(?1?m2，3m2)，由點(diǎn)C(?1因此(?1?m2)?3m2?23．

解之得m2?2（m2??1舍去），因此點(diǎn)D(1，23)．

此時(shí)CD?4，與AB的長(zhǎng)度不相等，故四邊形ABDC是梯形．········7分如圖3，當(dāng)過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，與雙曲線在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為D時(shí)，

同理可得，點(diǎn)D(?2，?3)，四邊形ABCD是梯形．··············9分

綜上所述，函數(shù)y?23圖象上存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊x?3?形為梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D?6，?或D(110分，23)或D(?2，?3)．······

?3???y

BCOxD

3、（福建龍巖）如圖，拋物線y?ax2?5ax?4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC?BC．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸；

（2）寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；

（3）探究：若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上且在x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

yCA1A圖3

?5a5?………2分解：（1）拋物線的對(duì)稱軸x??2a2B4)C(0，4)…………5分0)B(5，（2）A(?3，2把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y?ax?5ax?4中，解得a??01x1………6分615?y??x2?x?4…………7分

66

y

C（3）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)．以下分三類情形摸索．

A設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于N，與CB交于M．過(guò)點(diǎn)B作BQ?x軸于Q，易得BQ?4，AQ?8，

01Ｋ1ＭＮBP3ＱP2P1xAN?5.5，BM?52①······························································································································以

AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè)：△PAB．1?AB2?AQ2?BQ2?82?42?80·················8分

1992在Rt△ANP?11中，PN22APAB2?AN2?80?(5.5)2?1?AN??5199??P，?·························9分?1??2?2??②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè)：△P2AB．

在Rt△BMP2中，MP2?BP22?BM2?AB2?BM2?80?2529510分?42?58?295??P2?11分??2，2?························

??③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個(gè)，即△P3AB．

畫(huà)AB的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P3，此時(shí)平分線必過(guò)等腰△ABC的頂點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)P3作P∽R(shí)t△BAQ．3K垂直y軸，垂足為K，顯然Rt△PCK3

?P3KBQ1??．CKAQ213分?P3K?2.5?CK?5于是OK?1···············14分?P，?1)···························3(2.5注：第（3）小題中，只寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，無(wú)任何說(shuō)明者不得分．4、（福州）如圖12，已知直線y?的橫坐標(biāo)為4．

（1）求k的值；（2）若雙曲線y?1kx與雙曲線y?(k?0)交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A2xk(k?0)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；xk（3）過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y?(k?0)于P，Q兩

x點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1)∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4,∴當(dāng)x=4時(shí)，y=2.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）.

yAOxB圖12

18yxy?∵點(diǎn)A是直線與雙曲線（k>0）的交點(diǎn),2x∴k=4×2=8.(2)解法一：如圖12-1，∵點(diǎn)C在雙曲線上，

y=8時(shí)，x=1

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,8).過(guò)點(diǎn)A、C分別做x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形DMON.S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.

S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.解法二：如圖12-2，

過(guò)點(diǎn)C、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，∵點(diǎn)C在雙曲線y?

8

x

上，當(dāng)y=8時(shí)，x=1.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,8).∵點(diǎn)C、A都在雙曲線y?

8

x

上,∴S△COE=S△AOF=4?！郤△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.∴S△COA=S梯形CEFA.∵S1梯形CEFA=2×（2+8）×3=15,

∴S△COA=15.

（3）∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形,∴OP=OQ，OA=OB.

∴四邊形APBQ是平行四邊形.

∴S11△POA=S4平行四邊形APBQ=

4×24=6.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m>0且m?4）,

8得P(m,).m

過(guò)點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，

∵點(diǎn)P、A在雙曲線上，∴S△POE=S△AOF=4.若0＜m＜4，如圖12-3，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴

18(2?)?(4?m)?6.2m解得m=2，m=-8(舍去).

∴P（2，4）.若m＞4，如圖12-4，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴

18(2?)?(m?4)?6，2m解得m=8，m=-2(舍去).∴P（8，1）.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（2，4）或P（8，1）.

15、（甘肅隴南）如圖，拋物線y?x2?mx?n交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P2是它的頂點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是?3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．

(1)求m、n的值；(2）求直線PC的解析式；

(3）請(qǐng)?zhí)骄恳渣c(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓與直線

PC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(參考數(shù)：2?1.41，3?1.73，5?2.24)

1解：(1)由已知條件可知：拋物線y?x2?mx?n經(jīng)過(guò)A(-3，0)、B(1，0)兩點(diǎn)．

29?0??3m?n,??2∴?……2分

1?0??m?n.??23解得m?1,n??．………3分

2313(2)∵y?x2?x?，∴P(-1，-2)，C(0,?)．…4分

222??2??k?b,?13設(shè)直線PC的解析式是y?kx?b，則?3解得k?,b??．

b??.22??213∴直線PC的解析式是y?x?．…………6分

2213說(shuō)明：只要求對(duì)k?，b??，不寫(xiě)最終一步，不扣分．

22(3)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為E．

設(shè)直線PC與x軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，0)．………7分3在Rt△OCD中，∵OC=，OD?3，

2∴CD?()2?32?3235．…………8分2

∵OA=3，OD?3，∴AD=6．…………9分∵∠COD=∠AED=90，∠CDO公用，

∴△COD∽△AED．……………10分

335OCCD622?∴，即．∴AE??5．…11分

AE6AEA