難題集萃題選-電磁學

難題集萃?舒幼生題選一、靜電學Ml］如圖，在邊長為『的正方雅的四個頂點分別有電#均為Q的固定的點鬼荷?在正方照對角線文點上放置一個質(zhì)量為電量為q（q與Q同號）的自由點電荷.今將q沿某一對弟緩移動一個很小的距離.試向q是否將作周期性撮動，若是，試求出振動同期.1?3】如圖所示，在1輛的±&處分細有兩個固定的點電荷.它何的電最曲為Q（QX）.在上軸的土2c?批分別有另外兩個固定的點電荷，它們的電量均為-8Q.在原點0有一個電量為q3>0）、質(zhì)■為m的帯電質(zhì)點，設帶電質(zhì)點只能在x軸上運動,試分析帶鬼質(zhì)點既在的平衡位暨原點。，是否為稼定平衡位置.若原點。為穩(wěn)定平術位置，將帶電脂點移到i=A處從靜止粹放（0CA4。）,城求其振動周期.-M Q 4i* Q *， 親 ， 丄_ 亠E—2a —d 0 。 知Iff?］一無限枝均勻帶電繃線彎成如電S1-6-1所示的平面圖形,其中AH是半圖弧，」和BB'是兩平行直煥,A'和B,向右蝙無限延伸.試求風心O勤的電場我盧,[■7]半輕為R的半圖環(huán)均勻帶電,電荷線審度為A,試求圓心處的電場強度■[H9]如電圖1-9[H9]如電圖1-9-1所示,在半輕為R、體電荷密度為p的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半柱為R'的一個小球，小球球心O'與大球球心O相距為4杭來O'的電場強度，并征明空腔內(nèi)電場均勻.I分析】把挖去空腔的帶電球看作由帶電大球（R,p）與帶異導電的小球（氏二-戶）構成.由高斯定理求出它們各自在O'的電場強度，再童加即得％,這是利用不具有對稱性的帶電體的特點，把它湊成由若干具有對稱性的嘴電體組成.使問題得以簡化.在小球內(nèi)任取另一點F,用同祥方法求出與，比較Ep和Eys即可低明空腔內(nèi)電場是均勻的?采用關叔表述，可使圧明簡單明確,這[S10]如電El-10-m示，把半徑為R的球體切為八等份,取其中一份,使之均句帶電,電荷體密度為外試求此八分之一帶電球體在球心O姓的電場強度大小Eo?[HHl在験性系S中有勻強電籟E,其方向如圖所示.在電場中與￡平行的亠條幾何直線（圖中區(qū)虛線）上.有兩個靜止的小球A和B,兩小球的質(zhì)黃均為m,A球所帶電量為Q（Q>0）,B球不帶電，開始時兩球相距為I,在電場的作用下,A球開始沿直線運動，并與B球發(fā)生奔性正碰撞.從而使B球也奉與運動.沒在咎次碰撞過程中,A球枷B球之間并無電量的轉移,設萬有引力可略去不汁.試證明,A球與B球相鄰而次彼撞之間的時間間隔相同，并求出該時何間隔T.【■13】在半徑為R的細圖亦上分布著不能移動的正電荷，總電量為Q.如果某個點電荷Q］(H0)可在環(huán)中指定直徑AOB線段內(nèi)作勻速宜線運動,試確定圓環(huán)上電荷銭密度1的分布.取上軸沿直徑AQB,原點0在環(huán)中心,將第一間中的點電荷Q］放在與。點相距〃的x左半軸上某點.設電員Qi的絕對值為Q的卩倍.能否在工冇半軸上再放一個非零電量的點電荷応,使得這兩個點電荷及圓環(huán)均可兼持不動,設兩點電禮都不與環(huán)接觸，設環(huán)的質(zhì)量分布均勻-試求Qz及其位置,把上述兩個點電荷Qi卻Q?固定在第二向中確定的位置上，同時改變它們的電荷符號但保持電量大小不變.再使環(huán)(所帶電量q及分布均不變.)沿忠輔的正方向乎移一小m然后靜止地釋放,試定量討論環(huán)的遠動，設環(huán)的質(zhì)量為亠在瑕解本題時，只需考慮電荷冋的庫侖作用，其他相互作用均可略.提示:把所求的圜環(huán)上電荷分布與球面上均句電荷分布相聯(lián)系.【■16］如圖，兩個同心的半球面相對放置,半徑勿別為火】與RfR］〉Rz),都均勻帶電，電荷面密度分別為tfi與試求大的半球底面到直徑AOB上的電勢分布?A【題19】如圖所示，兩個固定的均勾帶電球面A和B分別帶電4Q和Q（Q>0）.兩球心之間的距離d遠大于兩球的半徑，兩課心的連線MN與網(wǎng)球面的相交處都開有足夠小的孔，因小孔而損失的電量可以忽酸不汁.一帶負電的質(zhì)點靜止地放置在A球左側某業(yè)P點,且在MN直線上.設質(zhì)點從尸點釋放后剛好能穿越三個小孔，并通過B球球心.試求質(zhì)點開始時所在的F點與A球球心的距離工應為多少？【恵21】在平面上有一段長為I的均勾帶電直線AB,在該平面取直角坐標。卻，原點O為AB中點，雄沿工軸軸與］軸垂直?】?試證明，諼平面上任一點P的電場強度方向沿ZAPB的角平分線?試求該平面上的電場線方程.試求該平面上的等勢饑方程.【■24］已知真空中電嶠的能暈密度為we=扌和E知試求」.均勻帯電球面（電量為Q,半徑為R）的球面上的慮場強度值帶電球面上的表面張力系數(shù)s［fl25］有1998個半徑相同的導體球,各球均帶有相同的正電荷，彼此不接觸，試證囲，在靜電平衡時，至少有一個導體球的表面處處無負電荷?【■26】原子加速器使每個質(zhì)子得到的動能為E.很細的質(zhì)子束從加速器射向一個遠髙加速器的半徑為r的金屬球，并留在球上.球的中心并不姓在加速器發(fā)射出的質(zhì)子運動方向的直線上'而與該直繡的垂直距陽為d,且d<r.試冋加速群工作足夠長時間后，球能充電到多高的電勢？甘算時，可取E=2岫祁d=須又，若把質(zhì)于換成電子，將會發(fā)生懺么變化？【題2?］如電圖1-28-1所示,在其空中有四個半徑均為#的木帶電的相同導體球，球心分別位于邊長為r的正方形的四個頂點之上技》農(nóng).現(xiàn)讓球1帶Q的電荷（Q〉0）,然后取一細金屬絲，它的一鬭固定在球I上,另…端分別依次與球2、3、4接觸,設每次接觸| 的時間都足瞥長,使它們達到靜電平衝后,再斷開,設分布在細金屬絲t：的電荷可宛略不計.試求四小球最后所帶電fiQnQi.Qs.Qo【分斬】球1與殊2經(jīng)金劇廷接觸達到平衝后，因拉置對稱,義球3與球4'上雖有感應電荷分布，但因電量為零且因廈領>,財球1和球2的電量井無彤響威球1與球2帶電應相等，各為是.斷開后，球2帶電*不變, ■

IR34］半徑為R的導體璋帶有電量Q(Q>0).今在距球心為隊處(理，R)放置一個與Q同號的點電荷g.為使導體球在靜電平衝時受到q的作用力吸引，試躺定q的取值范圍?［C15］兩個半徑均為R的導體球相互接觸形成一孤立導體.試求此孤立導體的電容?［S44］在x<0的半空間中充滿了相對電容率為%的介履m>0的半空間為真空,其中在芯=加處有一電最為q的點電荷.用外力將此點電荷從下=隊處緩慢的移動到z-A2處.試求外力所作的功甲、【■46】兩個同心導體球殼拘成唐容器，外球殼的內(nèi)半徑是固定的，其大小為5em,內(nèi)球売的外半徑可以自由選擇,兩球殼之間充燃了各向同性的均勾弁度,已知也介質(zhì)的擊穿電場強度為2.0xlO7V/m*試求該電容器所能承受的最大包壓?、靜磁學I題1】如電圖2-1-1所示,電流強度為2F的直流電經(jīng)半尢限長導線到達半控為叱的金屬標面的南極點，由球面流到北極點后，再從另一半無限長宜導統(tǒng)流向遠姓-設想將上述電流分布切成左、右兩半.左半部分為半無限長直電流I到達半球面南極瘁后，經(jīng)左半球面｛注意，此半球面的電爾分布與原全球面左半的電流分布相同）旅向北極點，再經(jīng)半無限烷宜導線流向遠處*并設S。-卻2坐標,如^2-1-2所示.試求球心。處的最感應強度3’[?3】均句帶電的球面驍著它的某一直徑勻速旋轉.試證明在該直徑上的豪感應強度處處相同.【■訂如圖，仁和C_雄沿丁軸放賢的兩根互相絕緣的長直非磁性導體.其中的電流分馴沿雷軸的正方向和負方向流動,電流強度均為I.圖中畫斜線的都 ,|分是兩導陣的正截面’它們分別是tv平面中的部分圓，兩她的直徑均為D,兩圓心的間距為?，不難算出，兩導體正截面的面積均為（京十+占）口七毎根導體中的電流紬地飛侈獄乃分布在自身的iE就面內(nèi).畝求兩根導件之間空白區(qū)域內(nèi)的破場分布[tt7]無限長宜圓柱形導體夜沒有電流時，自由電子的體電荷密度為常量由，正腐子的體電荷密度為-何，導體內(nèi)處于電中性,當沿導體長度方向通以直流電時,體電流會在導體中產(chǎn)生軸對株的環(huán)狀分布密場，沿軸向運功的自由電于便急在禮場力的作用下向中軸移動,從而破邪了原來的何分布.當租聚的凈電荷產(chǎn)生的徑向電場與智動自由慮于所受的爵場力恰好抵消時,便形成只箱導體長度方向的穩(wěn)恒電流?貴此時自由電子的漂移速度為就一試求導體中凈電荷密度的分布.

[fl31]如電BH2-22-1所示，無限悅直導線中載有電流匕，在它旁邊的半徑為K的圓形銭留中載有電流長直導線與圓線圈在同一平面內(nèi)，圖心到長直導統(tǒng)的距離為L.兩電流的方向加電圖2-22-1所示，試求圓線圈對長直導線的作用打.電圖2電圖2-24-1【圈24】在外磁場中的超導體，平衝后超導體內(nèi)部的砥感應強度處處為零.超導體表面外例的蠹感龐強度與表面平行?在如扈圖2-24-1所示的0-位直角坐転中，中平面基水平面「其中有一超等平板g軸怪宜向上，超辱平板在zO處,H姓有一質(zhì)量為地、舉徑為r、環(huán)心在m軸上■庫平閒為水平團的勻質(zhì)金儲圓環(huán)，且r^h.在圖環(huán)內(nèi)通以穩(wěn)怛電藏，剛好使圓萍漂樣在h處.I,忒求圓環(huán)中的電流強度?X若使圓環(huán)保持水平，從平街位置禪稽偏上或偏下，則圓環(huán)將上、卜'振動.試求振動周期「，3.當圓邪處在平衡位置時,其中與工軸平行的直徑標為凸尸上，與7軸平冇的直徑標為Qg若保持Pj0不劫，使圖環(huán)鋭PtP2箱有傾制.即使與丿精有很小的夾角，則圓環(huán)將以PjP2為軸擺動?試琪摟薊周期T2.

三、電磁感應【題1】如電圏3-1-1所示，在邊長為□的等邊三角形區(qū)域內(nèi)有勾掘礎場其方向垂直紙面向外.一個邊長也為廈的等J&三佰形導體框架ABC,在￡=0時恰好與上述磴場區(qū)域的邊界里色爾后以周期T統(tǒng)其中心在觥面內(nèi)熾時付方向勾速轉珈于是在框架AK屮產(chǎn)生感應電流規(guī)定電流按ABCA方向流動時電流強度股正值，反向流劫時牌攵值?設據(jù)桀ABC的電陽為火、試求M=0到「產(chǎn)§時冋內(nèi)的平均電流卷度玉卻從「=0到村二￥時間內(nèi)的平均電赧強度石.【題3】如圖3-3T所示,銅制圓拜的函個半徑分別為門=】em和r2=lmm.圓環(huán)登放在地面上，年底部有固定的光滑栓限制.使其不能滑動.蘭環(huán)周圍有軽直向上的均勻的強磁場B=L0T.如電圖一3-3-2所示，開始時岡環(huán)偏離豎直方向一個小?角度扁=LOrad,爾后圓環(huán)倒向地面.已知勘的電導率＜7=625M10〃n?m)T,質(zhì)量密度p=8.93X1/蛔/*?試通過數(shù)覺級的牯算，判斷圖環(huán)倒下時其重力勢能主要是轉換成圓環(huán)的動能還是轉換為鴦耳熱能?設圖環(huán)倒下過程中所受的臟力炳始終等于車力知，試求圓環(huán)倒地所需時間T.【贈5】如電圖3-5-1所示為一“FT字形矩形閉臺導韻框.巳知泌=境=?/=&=寸=加=0.1m,已知湧、寸、位段電阻均為3口,&,龍段電阻均為1.50,虹寸段電阻均為零.勻強磯場B的方向與框面垂直向里，大小為U-lT,磁場的邊界與&平朽,如電圖3-5-1中虛線所示,今以圖中向右的方向，以口=24m/s的速度，將埃據(jù)勻速地拉出確場區(qū)域.試求在此過程中拉力所做的功.|A?］如電圖3-6-1所示，在勻強磴柄區(qū)域與8垂直的平面（水平面）中有兩根足夠長的固定的平行金屬導貌，在它們上面橫放著兩根平冇導體棒，構成螳形回路,導體棒的長度均為'質(zhì)量均為推，電阻均為R,同路中導軌均分的電阻可以翹略.設導體棒在導軌上可以無犀療地滑行,設重力及電磴18射南可不計，設開始時左導體棒靜止，右導體棒具有向右的初速度旳.【題⑴如電圖3-1—1所示，轉輪1和轉輪2的邊緣都是很薄的佳導體，每一個轉輪都有四根輪輻，毎報輪輻的長度為L電阻為r-兩輪都可繞各自的輪軸轉動（在圖中輪軸與紙面垂直）,兩輪的邊緣通過電刷用導統(tǒng)連接，兩輪軸亦通過電刷用導線連接?整個裝置放在磁感應強度為B的勾強磁場中，月的方向堂宜紙面向里，轉輪2的邊緣與一阻力佩A接觸，開始時轉輪1以角速度糾旋轉'轉輪2不動，爾后使轉輪1保持其旋轉角速度叫，遠轄使轉輪2被帶動并最后達到穩(wěn)定的轉動.設電刷與導線的電阻均可忽略不計，電刷的阻力也可忽略.設阻力閘A與轉輪2之間的阻力恒為F,試求,轉輪2穩(wěn)定轉動時的侖速度^.2.保持轉輪1以恒定角速度史轉動所需的外加功率P.［S12］如泡圖3-12-1所示，由勾質(zhì)細號線彎成的半徑為'的圓城圈和一內(nèi)接等邊三角形電阻匯構成的電路，電路中各段電阻值已在電^3-12-1中標明.在圓線圈所在平面內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁舫B,B隨時間r均勻地減小，其變化率的大小為已知常量如設2門=3門,試求電圖3-12-1中A、8兩點之冋的電勢差U心

TOC\o"1-5"\h\z[filti]如圖所示，在一個半程為「，質(zhì)量為所，可以無摩擦地自由轉動的勾質(zhì)絶緣圓查中部裝有一細恢煤城管，其半徑為A,沿軸線方向單位長度上焼有?匝號圈，皴圖中 <通以穩(wěn)恒電流I.在囲盤的迎緣空均為地嚴著N個帶等量正電荷g的小球.阡設開始時，螺線管中的電流為I,圓盤靜止，然后將電流切斷,試求圓盤轉動—的角速度， :％”【分樹】電流切斷后，在蘊暫的攻右時間內(nèi).療緩管線國中的電流由I降為零，同時破場相應喊小，產(chǎn)生感應的亦狀調(diào)旋電場（又稱有旋電場）展旋電新対N個帶電小球的切向作用力形成力矩，推動圓盤轉動.利用刖體的角動量定理， =[fl22]加電圖3-22-1所示,兩根無限長直載流導線互相平行，相距X,兩導銭中的電滝彼此反向，電施強度相同?在網(wǎng)平行倫直導線所在的平面內(nèi)有一半徑為口的圓環(huán)，圓環(huán)刖好在兩平行長直導線之間并且彼此絕緣.試求劇環(huán)與兩平行長直導綬之間的互感系數(shù).四、電流和直流電路[fl71將阻值分別為in.Znid4f),5①6口的6個電阻連接成如幽所示的電路.若已誌得&y=7老江知=捎土口,蚤=6名n.試求圖中"電阻占點璀*/各自的阻值.【分析】本題只錚及電阻的串、并聯(lián)，從晾則上說求解應不困推.但制量的三個數(shù)據(jù)只靖出了6個未知數(shù)之間的三個關系，促由此基無從求解的?必須充分利用上述關系及有關數(shù)據(jù)的其余酎加信息,再姑出一些關系，才能求解?本題提裏讀者，在有些同劇中，注意數(shù)據(jù)的特點是很敏耍的.[H8]有昨外觀完全相同的電阻,其中7個阻值稲同，另1個阻値與它們不同所為,特殊的”電阻,試設計一艸測量方案，要求只使用歐舅表三次■便可將設'特殊的”電阻檢岀.[fi9]正四面體框架形電阻網(wǎng)駱如電圖4-9-1所示，其中每一小段的電阻均為M試求:1.A.E兩端點之間的等放電阻Rm.2.C,D兩端點之間的尊敖電阻R?(ft10]三個相同的均勻金扈原成兩兩相交地連樣成據(jù)電圖4-10-1所示的網(wǎng)齡.已知每個金屬囲圈的鬼阻都是試求電004-10-1中兩點之間的等效電阻#朋.B

B[fl1Z]如電圖4-12-1所元是由電阻絲連接成的無限眉阻網(wǎng)絡，已知昌一段電阻絲的電酸均為r.試求兩點之間的等敕電阻R&.TOC\o"1-5"\h\z[9M]用同種均勾金屬莖連援成的無限內(nèi)接等邊三角奉機阻網(wǎng)搖如電囲4-14-1所示出個外三角奉的三邊中點為內(nèi)援三角形的三個預點,設最外面的等邊三衛(wèi)形的邊長為?金屬窪單位長度的電阻為r,試求之間的等效電阻R". a【分折與解】如電圖4-14-2.網(wǎng)塔相対圖中的虛直線WN具有左， /\右對郡性,若電癰從A點価人■從B點流出，那么從左惻施向MOW的 <左*電流分布必定與從MON向右側漏