人教A版高中數學選修4-4 第一講 坐標系復習小結 導學案

第一章坐標系考情分析本節(jié)內容在高考中主要考查對極坐標概念的理解，點的極坐標和直角坐標的區(qū)別和相互轉化，考查直線和圓極坐標方程的理解和應用，并且熟練進行轉化?；A知識1.平面直角坐標系下的伸縮變換設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換．2．極坐標系在平面內取一個定點O，由O點引一條射線Ox，一個單位長度及計算角度的正方向(通常取逆時針方)，合稱為一個極坐標系．O點稱為極點，Ox稱為極軸．平面上任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫(如圖所示)．這兩個數組成的有序數對（稱為點M的極坐標，ρ稱為極徑，θ稱為極角．3．極坐標與直角坐標的轉化設M為平面上的一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為(ρ，θ)．由圖可知下面的關系式成立：順便指出，上式對ρ<0也成立．這就是極坐標與直角坐標的互化公式．4、空間直角坐標與柱坐標的變換公式是空間直角坐標與球坐標的變換公式是題型一極坐標和直角坐標的互化【例1】設點A的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，直線l過點A且與極軸所成的角為eq\f(π,3)，則直線l的極坐標方程為________________．【變式1】在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－eq\r(3))．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是________．題型二圓的極坐標方程的應用【例2】在極坐標系中，若過點(1,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cosθ于A、B兩點，則|AB|＝________.【變式2】在極坐標系中，P，Q是曲線C：ρ＝4sinθ上任意兩點，則線段PQ長度的最大值為________．題型三極坐標方程的綜合應用【例3】如圖，在圓心的極坐標為A(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點O的弦的中點的軌跡．【變式3】從極點O作直線與另一直線ρcosθ＝4相交于點M，在OM上取一點P，使|OM|·|OP|＝12，求點P的軌跡方程．重難點突破【例4】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝sinφ，))(φ為參數)，曲線C2的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ，))(a＞b＞0，φ為參數)．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ＝α與C1，C2各有一個交點．當α＝0時，這兩個交點間的距離為2，當α＝eq\f(π,2)時，這兩個交點重合．(Ⅰ)分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值；(Ⅱ)設當α＝eq\f(π,4)時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1，當α＝－eq\f(π,4)時，l與C1，C2的交點分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積．鞏固提高1．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝sinα))(α為參數)．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ－eq\f(π,4))＝2eq\r(2).點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．2．在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinα，,y＝2cos2α－2))(α為參數)，曲線D為極坐標方程為ρsin(θ－eq\f(π,4))＝－eq\f(3\r(2),2).(1)將曲線C的參數方程化為普通方程；(2)判斷曲線C與曲線D的交點個數，并說明理由．3．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝t))(t為參數)，橢圓C的方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數，θ∈R.)試在橢圓C上求一點P，使得P到直線l的距離最?。?．經過點M(eq\r(10)，0)作直線l，交曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數)于A，B兩點，若|MA|，|AB|，|MB|成等比數列，求直線l的方程．5．在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα,y＝sinα))(α為參數)．(1)已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點