概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章

例1袋中有a只黑球，b只白球．每次從中取出一球，取后放回．令：

A={第一次取出白球}，

B={第二次取出白球}，求第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄四、事件的獨(dú)立性例1（續(xù)）第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄說明由例1，可知這表明，事件A是否發(fā)生對(duì)事件B是否發(fā)生在概率上是沒有影響的，即事件A與B呈現(xiàn)出某種獨(dú)立性．事實(shí)上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球時(shí)，袋中球的總數(shù)未變，并且袋中的黑球與白球的比例也未變，這樣，在第二次摸出白球的概率自然也未改變．由此，我們引出事件獨(dú)立性的概念第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄()()ABPBP=1.兩事件獨(dú)立的定義設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，如果

則稱A與B是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件．兩事件獨(dú)立性的性質(zhì)：則事件A與B相互獨(dú)立的第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄充分必要條件為：1）如果證明：（必要性）由于事件A與B相互獨(dú)立，第一章概率與隨機(jī)事件2）必然事件Ω與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立；不可能事件Φ與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立．可知必然事件Ω

與任意事件A相互獨(dú)立；

可知不可能事件Φ與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立.由證明：由故()AP×=0()()F=FPAP()()APPF=3)若隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立.解：為方便起見，只證相互獨(dú)立.．由于第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄注意1：兩事件相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別：“A與B互不相容”，指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即P（AB）=0?！癆與B相互獨(dú)立”，指A是否發(fā)生不影響B(tài)發(fā)生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或注意2：設(shè)事件A與B滿足：即：若事件A與B相互獨(dú)立，則AB≠Φ；若AB=Φ，則事件A與B不相互獨(dú)立。．證明：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄則互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立。由于AB=Φ，所以但是，由題設(shè)這表明，事件A與B不相互獨(dú)立．第一章概率與隨機(jī)事件因此，互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立。返回主目錄注意3：在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于事件的獨(dú)立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實(shí)際意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨(dú)立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義中的公式進(jìn)行計(jì)算。例1`（不獨(dú)立事件的例子）袋中有a只黑球，b只白球．每次從中取出一球，取后不放回．令：

A={第一次取出白球}，

B={第二次取出白球}，則所以，第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄因此這表明，事件A與事件B不相互獨(dú)立．事實(shí)上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球時(shí)，袋中球的總數(shù)變化了，并且袋中的黑球與白球的比例也發(fā)生變化了，這樣，在第二次摸出白球的概率自然也應(yīng)發(fā)生變化．或者說，第一次的摸球結(jié)果對(duì)第二次摸球肯定是有影響的．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄2、三個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)A、B、C是三個(gè)隨機(jī)事件，如果則稱A、B、C是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄注意4：在三個(gè)事件獨(dú)立性的定義中，四個(gè)等式是缺一不可的．即：前三個(gè)等式的成立不能推出第四等式的成立；反之，最后一個(gè)等式的成立也推不出前三個(gè)等式的成立．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄注意5三個(gè)事件相互獨(dú)立的性質(zhì)：若A，B，C是相互獨(dú)立的三個(gè)事件，則例2袋中裝有4個(gè)外形相同的球，其中三個(gè)球分別涂有紅、白、黑色，另一個(gè)球涂有紅、白、黑三種顏色．現(xiàn)從袋中任意取出一球，令：

A={取出的球涂有紅色}B={取出的球涂有白色}C={取出的球涂有黑色}

則：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄由此可見但是這表明，A、B、C這三個(gè)事件是兩兩獨(dú)立的，但不是相互獨(dú)立的．第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄例2`記A={1，2，3，4}，B={4，5，6}，

C={3，4，5}第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。則：但3、n個(gè)事件的相互獨(dú)立性第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄說明在上面的公式中，第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄注意6獨(dú)立隨機(jī)事件的性質(zhì)：第一章概率與隨機(jī)事件注意6獨(dú)立隨機(jī)事件的性質(zhì)：返回主目錄若是相互獨(dú)立的事件，則相互獨(dú)立事件至少發(fā)生其一的概率的計(jì)算第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄注意7特別地，如果則有()()()pnAPAPAP====L21第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄,時(shí)當(dāng)￥?n1?2）1）n

如果系統(tǒng)由n個(gè)元件組成，且各元件能否正常工作相互獨(dú)立，試求下列系統(tǒng)的可靠性：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄例3獨(dú)立性在系統(tǒng)可靠性中的應(yīng)用：系統(tǒng)的可靠性-----系統(tǒng)能正常工作的概率。則由已知得，事件A1,A2,-----,An相互獨(dú)立，第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄設(shè){第i個(gè)元件可靠}故1）串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為：結(jié)論：串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性=各元件可靠性的乘積第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄2）并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為：結(jié)論：并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性=1--各元件不可靠的乘積第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄2）并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為：結(jié)論：并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性>串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性1)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為：3）2）1）n例3

如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為r，0<r<1.且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，試求下列系統(tǒng)的可靠性：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄解：1）每條通路要能正常工作，當(dāng)且僅當(dāng)該通路上的各元件都正常工作，故可靠性為

2）通路發(fā)生故障的概率為，兩條通路同時(shí)發(fā)生故障的概率為故系統(tǒng)的可靠性為即附加通路可使系統(tǒng)可靠性增加。

3）每對(duì)并聯(lián)元件的可靠性為系統(tǒng)由每對(duì)并聯(lián)的元件串聯(lián)組成，故可靠性為由數(shù)學(xué)歸納法可證明當(dāng)?shù)谝徽赂怕逝c隨機(jī)事件

例4

設(shè)有電路如圖，其中1,2,3,4

為繼電器接點(diǎn)。設(shè)各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，且每一個(gè)繼電器接點(diǎn)閉合的概率均為p。求L至R為通路的概率。LR2134

解：設(shè)事件

Ai(i=1,2,3,4)為“第i個(gè)繼電器接點(diǎn)閉合”,L至

R為通路這一事件可表示為：

第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄由和事件的概率公式及A1,A2,A3,A4的相互獨(dú)立性，得到

第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄

例5

要驗(yàn)收一批(100件)樂器。驗(yàn)收方案如下：自該批樂器中隨機(jī)地抽取3件測試(設(shè)3件樂器的測試是相互獨(dú)立的），如果至少有一件被測試為音色不純，則拒絕接受這批樂器。設(shè)一件音色不純的樂器被測試出來的概率為0.95，而一件音色純的樂器被誤測為不純的概率為0.01。如果這件樂器中恰有4件是音色不純的，問這批樂器被接受的概率是多少？純、純、純純、純、純接受ppp不純、純、純q純、純、純接受ppH1：H0：第一章概率與隨機(jī)事件H2：p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05解：以Hi

(i=0,1,2,3)表示事件“隨機(jī)取出的3

件樂器中恰有

i件音色不純”，以A

表示事件“這批樂器被接受”，即3

件都被測試為音色純的樂器。由全概率公式得：不純、純、不純q純、純、純接受pq不純、不純、不純q純、純、純接受qqH3：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄p=1-0.01=0.99,q=1-0.95=0.05純、純、純純、純、純接受不純、純、純純、純、純接受不純、純、不純純、純、純接受

都不純純、純、純接受H0H1H2H3pppqqqqqqppp第一章概率與隨機(jī)事件由測試的相互獨(dú)立性得：另外，按照超幾何分布的概率計(jì)算公式得：第一章概率與隨機(jī)事件返回主目錄例

6三門火炮向