第26屆全國物理競賽真題分解

本文格式為Word版，下載可任意編輯——第26屆全國物理競賽真題分解

第26屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷

一、填空（問答）題（每題5分，共25分）

1．有人設(shè)想了一種靜電場：電場的方向都垂直于紙面并指向紙里，電場強(qiáng)度的大小自左向右逐漸增大，如下圖。這種分布的靜電場是否可能存在？試述理由。2．海爾-波普彗星軌道是長軸十分大的橢圓，近日點(diǎn)到太陽中心的距離為0.914天文單位（1天文單位等于地日間的平均距離），則其近日點(diǎn)速率的上限與地球公轉(zhuǎn)（軌道可視為圓周）速率之比約為（保存2位有效數(shù)字）。

3．用測電筆接觸市電相線，即使赤腳站在地上也不會觸電，原因是；另一方面，即使穿絕緣性能良好的電工鞋操作，測電筆仍會發(fā)亮，原因是。

4．在圖示的繁雜網(wǎng)絡(luò)中，所有電源的電動勢均為E0，所有電阻器的電阻值均為R0，所有電容器的電容均為C0，則圖示電容器A極板上的電荷量為。

5．如圖，給靜止在水平粗糙地面上的木塊一初速度，使之開始運(yùn)動。一學(xué)生利用角動量定理來考察

此木塊以后的運(yùn)動過程：“把參考點(diǎn)設(shè)于如下圖的地面上一點(diǎn)O，此時摩擦力f的力矩為0，從而地面木塊的角動量將守恒，這樣木塊將不減速而作勻速運(yùn)動。〞請指出

OfvA上述推理的錯誤，并給出正確的解釋：。

二、（20分）圖示正方形輕質(zhì)剛性水平桌面由四條完全一致的輕質(zhì)細(xì)桌腿1、2、3、4支撐于桌角A、B、C、D處，桌腿豎直立在水平粗糙剛性地面上。已知桌腿受力后將產(chǎn)生彈性微小形變?，F(xiàn)于桌面中心點(diǎn)O至角A的連線

C23BOFPD4A

OP?c，求桌面OA上某點(diǎn)P施加一豎直向下的力F，令OA對桌腿1的壓力F1。

三、（15分）

11．一質(zhì)量為m的小球與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動。試問在一沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運(yùn)動的參考系里觀測，此體系的機(jī)械能是否守恒，并說明理由。

。

2．若不考慮太陽和其他星體的作用，則地球-月球系統(tǒng)可看成孤立系統(tǒng)。若把地球和月球都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，它們的質(zhì)量分別為M和m，月心-地心間的距離為R，萬有引力恒量為G。學(xué)生甲以地心為參考系，利用牛頓其次定律和萬有引力定律，得到月球相對于地

M；學(xué)生乙以月心為參考系，同樣利用牛頓其次定律和萬有引2Rm力定律，得到地球相對于月心參考系的加速度為ae?G2。這二位學(xué)生求出的地-月間的相

R心參考系的加速度為am?G對加速度明顯矛盾，請指出其中的錯誤，并分別以地心參考系（以地心速度作平動的參考系）和月心參考系（以月心速度作平動的參考系）求出正確結(jié)果。

四、（20分）火箭通過高速噴射燃?xì)猱a(chǎn)生推力。設(shè)溫度T1、壓強(qiáng)p1的熾烈高壓氣體在燃燒室內(nèi)源源不斷生成，并通過管道由狹窄的噴氣口排入氣壓p2的環(huán)境。假設(shè)燃?xì)饪梢暈槔硐霘怏w，其摩爾質(zhì)量為μ，每摩爾燃?xì)獾膬?nèi)能為u=cVT（cV是常量，T為燃?xì)獾慕^對溫度）。在快速滾動過程中，對管道內(nèi)任意處的兩個十分靠近的橫截面間的氣體，可以認(rèn)為它與周邊沒有熱交換，但其內(nèi)部則達(dá)到平衡狀態(tài)，且有均勻的壓強(qiáng)p、溫度T和密度ρ，它們的數(shù)值隨著滾動而不斷變化，并滿足絕熱方程pVcV?RcV，式中R為普適氣體常量，求噴氣口處?C（恒量）

氣體的溫度與相對火箭的噴射速率。

五、（20分）內(nèi)半徑為R的直立圓柱器皿內(nèi)盛水銀，繞圓柱軸線勻速旋轉(zhuǎn)（水銀不溢，皿底不露），穩(wěn)定后的液面為旋轉(zhuǎn)拋物面。若取坐標(biāo)原點(diǎn)在拋物面的最低點(diǎn)，縱坐標(biāo)軸z與圓柱器皿的軸線重合，橫坐標(biāo)軸r與z軸垂直，則液面的方程為z??22g式中ω為旋轉(zhuǎn)角速度，r2，

g為重力加速度（當(dāng)代已使用大面積的此類旋轉(zhuǎn)水銀液面作反射式天文望遠(yuǎn)鏡）。

觀測者的眼睛位于拋物面最低點(diǎn)正上方某處，保持位置不變，然后使容器停轉(zhuǎn)，待液面靜止后，發(fā)現(xiàn)與穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都無變化。求人眼位置至穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)水銀面最低點(diǎn)的距離。

六、（20分）兩慣性系S′與S初始時刻完全重合，前者相對后者沿z軸正向以速度v高速運(yùn)動。作為光源的自由質(zhì)點(diǎn)靜止于S′系中，以恒定功率P向四周輻射（各向同性）光子。在S系中觀測，輻射偏向于光源前部（即所謂的前燈效應(yīng)）。

1．在S系中觀測，S′系中向前的那一半輻射將集中于光源前部以x軸為軸線的圓錐內(nèi)。求該圓錐的半頂角α。已知相對論速度變換關(guān)系為ux?u?x?v21?u?v/cx式中ux與ux′分別為S與S′系中測得的速度x分量，c為光速。

2．求S系中測得的單位時間內(nèi)光源輻射的全部光子的總動量與總能量。七、（20分）

1．設(shè)想光子能量為E的單色光垂直入射到質(zhì)量為M、以速度V沿光入射方向運(yùn)動的理想

反射鏡（無吸收）上，試用光子與鏡子碰撞的觀點(diǎn)確定反射光的光子能量E′。可取以下近似：

EV????1，其中c為光速。2cMc2.若在上述問題中單色光的強(qiáng)度為Φ，試求反射光的強(qiáng)度Φ′（可以近似認(rèn)為光子撞擊鏡子后，鏡子的速度仍為V）。光的強(qiáng)度定義為單位時間內(nèi)通過垂直于光傳播方向單位面積的光子的能量。

八、（20分）惰性氣體分子為單原子分子，在自由原子情形下，其電子電荷分布是球?qū)ΨQ的。負(fù)電荷中心與原子核重合。但如兩個原子接近，則彼此能因靜電作用產(chǎn)生極化（正負(fù)電荷中心不重合），從而導(dǎo)致有相互作用力，這稱為范德瓦爾斯相互作用。下面我們采用一種簡化模型來研究此問題。

當(dāng)負(fù)電中心與原子核不重合時，若以x表示負(fù)電中心相對正電荷（原子核）的位移，當(dāng)x為正時，負(fù)電中心在正電荷的右側(cè)，當(dāng)x為負(fù)時，負(fù)電中心在正電荷的左側(cè)，如圖1所示。這時，原子核的正電荷對荷外負(fù)電荷的電荷的質(zhì)量全部集中在負(fù)電中心，此原子可用一彈簧振子來模擬。

今有兩個一致的惰性氣體原子，它們的原子核固定，相距為R，原子核正電荷的電荷量為q，核外負(fù)電荷的質(zhì)量為m。因原子間的靜電相互作用，負(fù)電中心相對各自原子核

的位移分別為x1和x2，且|x1|和|x2|都遠(yuǎn)小于R，如圖2所示。此時每個原子的負(fù)電荷除受到自己核的正電荷作用外，還受到另一原子的正、負(fù)電荷的作用。

眾所周知，孤立諧振子的能量E=mv2/2+kx2/2是守恒的，式中v為質(zhì)量m的振子運(yùn)動的速度，x為振子相對平衡位置的位移。量子力學(xué)證明，在絕對零度時，諧振子的能量為hω/2，稱為零點(diǎn)振動能，??h/2?，h為普朗克常量，??x1

x2

－R

圖2

＋圖1x－作用力f相當(dāng)于一個勁度系數(shù)為k的彈簧的彈性力，即f=－kx，力的方向指向原子核，核外負(fù)

＋＋－k/m為振子的固有角頻率。試計算在絕

對零度時上述兩個有范德瓦爾斯相互作用的惰性氣體原子構(gòu)成的體系的能量，與兩個相距足夠遠(yuǎn)的（可視為孤立的、沒有范德瓦爾斯相互作用的）惰性氣體原子的能量差，并從結(jié)果判定范德瓦爾斯相互作用是吸引還是排斥?？衫卯?dāng)|x|

am?GM?mR2，加速度的方向指向地球．

以月心為參考系來求地球的加速度.月心系也是非慣性系，設(shè)月球相對慣性系的加速度的

大小為a?m，則由萬有引力定律和牛頓其次定律有

GMmR2?ma?m，加速度的方向指向地球．相對月心參考系，地球受到慣性力作用，慣性力的大小

f??M?Mam，方向指向月球，與地球受到的萬有引力的方向一致．若地球相對月心系的加速度為ae，則有

GMmR2?f?e?Mae．由(5)、(6)、(7)三式得

ae?GM?mR2，加速度的方向指向月球．(4)式與(8)式說明，地球相對月心系的加速度ae與月球相對地心系的加速度am大小相等(方向相反)，與運(yùn)動的相對性一致．

評分標(biāo)準(zhǔn)：此題15分.第1小問5分.

第2小問10分.指出不正確并說明理由，占2分；(1)至(8)式，每式1分．四、?V1參考解答：

?V2于火箭燃燒室出口處與噴氣口各取截面Ap1p21A與AA2B21B12，它們的面積分別為S1和S2，由題意，

S1??S2，以其間管道內(nèi)的氣體為研究對象，如下圖．設(shè)經(jīng)過很短時間?t，這部分氣體流

至截面B1與B2之間，A1B1間、A2B2間的微小體積分別為?V1、?V2，兩處氣體密度為?1、

?2，流速為v1、v2．氣流達(dá)到穩(wěn)恒時，內(nèi)部一切物理量分布只依靠于位置，與時間無關(guān)．由

此可知，盡管B1A2間氣體更換，但總的質(zhì)量與能量不變．

先按絕熱近似求噴氣口的氣體溫度T2．質(zhì)量守恒給出

?1?V1??2?V2，

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(1)

即A2B2氣體可視為由A1B1氣體絕熱移動所得．事實(shí)上，因氣流穩(wěn)恒，A1B1氣體流出噴口時將再現(xiàn)A2B2氣體狀態(tài)．對質(zhì)量?m??1?V1??2?V2的氣體，利用理想氣體的狀態(tài)方程

p?V??m?RT

和絕熱過程方程cp1??VV?R1?ccV?pV?R2??V2?cV，可得R

T?p?cV?R2??2?T．

?p1?1再通過能量守恒求氣體的噴射速率v2．由(1)式及?V?Sv?t，可得

?1S1v1??2S2v2，

cVc再利用(1)、(3)式，知v?2S2SV?R1??v?p2?2?2???v2，因S2??S1，p2??p1，故

1S1S1?p1??

v1??v2．

整個體系經(jīng)?t時間的總能量（包括宏觀滾動機(jī)械能與微觀熱運(yùn)動內(nèi)能）增量?E為A2B2部分與A1B1部分的能量差．由于重力勢能變化可忽略，在理想氣體近似下并考慮到(6)式，有

?E?12?m2?mv2??cV?T2?T1?．體系移動過程中，外界做的總功為

W?p1?V1?p2?V2．

根據(jù)能量守恒定律，絕熱過程滿足?E?W，

得

R

v2?c?V?R?T12???p2?cV?R????1????，???p1?????其中利用了(2)、(4)兩式．

評分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分.

(2)式1分，(3)式2分，(4)式3分，(6)式1分，(7)式6分，(8)式4分，(9)式1分，(10)式

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2分．

五、參考解答：

旋轉(zhuǎn)拋物面對平行于對稱軸的光線嚴(yán)格聚焦，此拋物凹面鏡的焦距為

f?g2?2．由(1)式，旋轉(zhuǎn)拋物面方程可表示為

r2z?4f．停轉(zhuǎn)后液面水恬靜止．由液體不可壓縮性，知液面上升．以下求拋物液面最低點(diǎn)上升的高度．

拋物液面最低點(diǎn)以上的水銀，在半徑R、高

R24f的圓柱形中占據(jù)體積為M的部分，即附圖中

VM?左圖陰影部分繞軸線旋轉(zhuǎn)所得的回轉(zhuǎn)體；其余體積

為V的部分無水銀．體M在高度z處的水平截面為圓環(huán)，利用拋物面方程，得z處圓環(huán)面積

SM?z??π?R2?r2??π?R2?4fz?．

將體V倒置，得附圖中右圖陰影部分繞軸線旋轉(zhuǎn)所得的回轉(zhuǎn)體?，相應(yīng)拋物面方程變?yōu)?/p>

z?R2?r24f，其高度z處的水平截面為圓面，面積為S2??z??πr2?π?R?4fz??SM?z?．

由此可知

M???V?12R22πR4f，即停轉(zhuǎn)后拋物液面最低點(diǎn)上升

h?MR2πR2?8f．因拋物鏡在其軸線附近的一塊小面積可視為凹球面鏡，拋物鏡的焦點(diǎn)就是球面鏡的焦點(diǎn)，

故可用球面鏡的公式來處理問題.兩次觀測所見到的眼睛的像分別經(jīng)凹面鏡與平面鏡反射而成，而先后看到的像的大小、正倒無變化，這就要求兩像對眼睛所張的視角一致．設(shè)眼長為

y0．凹面鏡成像時，物距u即所求距離，像距v與像長y分別為

v?fuu-f，

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

y??vuyf0?f?uy0．平面鏡成像時，由于拋物液面最低點(diǎn)上升，物距為

u??u?h?u?R28f，像距v?與像長y?分別為v??-u?，

y???v?u?y0?y0．

兩像視角一致要求yu?v?y?u?-v?，即

112u?u2f?2u?R24f，此處利用了(8)—(12)諸式．由(14)式可解得所求距離

u?R2．評分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分.

(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10)、(11)、(12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分．

六、參考解答：

1．先求兩慣性系中光子速度方向的變換關(guān)系．根據(jù)光速不變原理，兩系中光速的大小都是c．以?和??分別表示光子速度方向在S和S?系中與x和x?軸的夾角，則光速的x分量為ux?ccos?，

u?x?ccos??．

再利用相對論速度變換關(guān)系，得

cos??cos???vc1?vcos??c．

S?系中光源各向同性輻射，說明有一半輻射分布于0????π2的方向角范圍內(nèi)，S系中，此范圍對應(yīng)0????．由上式求得

(9)

(10)

(11)(12)

(13)

(14)

(15)

(1)(2)

(3)

cos??v

??arccos1?v2c??arccosvc．ccos2可以看出，光源的速度v越大，圓錐的頂角越?。?/p>

2．S?系中，質(zhì)點(diǎn)靜止，在?t?時間內(nèi)輻射光子的能量來自質(zhì)點(diǎn)靜能的減少，即

P?t???m0c2，

式中?m0為?t?時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)減少的質(zhì)量．S系中，質(zhì)點(diǎn)以速度v勻速運(yùn)動，由于輻射，其動質(zhì)量減少?m，故動量與能量亦減少．轉(zhuǎn)化為光子的總動量為?p??mv，即

?p??m0v1-v2c2；轉(zhuǎn)化為光子的總能量為?E??mc2，即

?E??m0c21?v2c2．S?系中光源靜止，測得的輻射時間?t?為本征時，在S系中膨脹為

?t??t?1?v2c2，由以上各式可得在S系中單位時間內(nèi)輻射的全部光子的總動量與總能量分別為?p?t?vPc2，

?E?t?P．評分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分.

第1小問7分.(3)式4分，(4)式3分.

第2小問13分.(5)、(6)、(7)式各2分，(8)式3分，(9)、(10)式各2分．七、參考解答：

1．光子與反射鏡碰撞過程中的動量和能量守恒定律表現(xiàn)為Ec?MV??E?c?MV?，

E?MV22?E??MV?22．

其中V?為碰撞后反射鏡的速度．從上兩式消去V?，得

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)(10)

(1)(2)

E?E??4E2E1?Vc??1?Vc?2??4EMc21?Vc．

E??E1?Vc1?Vc(4)

當(dāng)

Vc??1時，11?Vc?1?Vc，可得

E??E?1?2Vc?．

2.考察時刻t位于垂直于光傳播方向的截面A左側(cè)的長為光

在1s時間內(nèi)所傳播的距離c?1s、底面積為單位面積柱體內(nèi)的光子，A

如圖1所示．經(jīng)過1s時間，它們?nèi)客ㄟ^所考察的截面．若單位體積中的光子數(shù)為n，根據(jù)光強(qiáng)的定義，入射光的強(qiáng)度

S1

S2

Φ?ncE（6）圖1

若A處固定一反射鏡，則柱體的底面S2處的光子在時刻t到達(dá)位于A處的反射鏡便馬上被反射，以光速ANN’c向左移動；當(dāng)柱體的底面S1在t+1s到達(dá)A處被反射V鏡反射時，這柱體的底面SS1S22已到達(dá)A左邊距離A為c?1s處，所有反射光的光子仍分布在長為c?1s、截面積為單位面積的柱體內(nèi)，所以反射光的強(qiáng)度與入射光的強(qiáng)度c?t?S2S1a相等．

S2S1假使反射鏡不固定，而是以恒定的速度V向右移圖2動，則在時刻t+1s柱體的底面S1到達(dá)A處時，反射鏡

已移到A右邊距離為V?1s的N處，這時底面S

2移到A左側(cè)離A的距離為c?1s處，如圖2中a所示.設(shè)再經(jīng)過時間?t，S1與鏡面相遇，但這時鏡面己來到N?處，由于在?t時間內(nèi)，鏡面又移過了一段距離V?t，即在時刻t?1s??t，底面S1才到達(dá)反射鏡被反射．亦即原在S1處的光子須多行進(jìn)cΔt的距離才能被反射．因此

c?t??1s??t?V得

?t?Vc?V(7)而這時，底面S2又向左移了一段距離c?t．這樣反射光的光子將分布在長為c?1s?2c?t的柱體內(nèi)．因反射不改變光子總數(shù)，設(shè)n?為反射光單位體積中的光子數(shù)，有

nc?n????c?2cV?c?V???n?cc?Vc?V故有

n??nc?Vc?V．(8)

(3)

(5)

根據(jù)光強(qiáng)度的定義，反射光的強(qiáng)度

???n?cE?．(9)由(4)、(8)、(9)各式得

??????c?V?2?c?V??．(10)

注意到V??c有

??????1?4V??c??．(11)評分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分.

第1小問9分.(1)、(2)式各2分，(4)或(5)式5分.

第2小問11分.(8)式5分，(9)式3分，(10)或(11)式3分．八、參考解答：

兩個相距R的惰性氣體原子組成體系的能量包括以下幾部分：每個原子的負(fù)電中心振動的動能，每個原子的負(fù)電中心因受各自原子核“彈性力〞作用的彈性勢能，一個原子的正、負(fù)電荷與另一原子的正、負(fù)電荷的靜電相互作用能.以v1和v2分別表示兩個原子的負(fù)電中心振動速度，x1和x2分別表示兩個原子的負(fù)電中心相對各自原子核的位移，則體系的能量E?12mv21212121?2mv2?2kx1?2kx2?U，(1)式中U為靜電相互作用能

U?kq2??1?111?CR?x?x?，?R1?x2R?1R?x?2?k力常量．因R?x?x?x1?x2??x?C為靜電12?R??1?R??，R?x1?R??1?1R??，

R?x??x??1?2R??，利用?1?x??12?R?1