等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題等比數(shù)列

1、等比數(shù)列的定義：2、通項(xiàng)公式：

an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首項(xiàng)：a1；公比：qqana?q?n?mnamaman?q?q?0??n?2,且n?N*?，q稱為公比an?1推廣：an?amqn?m?qn?m?3、等比中項(xiàng)：

（1）假使a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即：A2?ab或

A??ab注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（（2）數(shù)列?an?是等比數(shù)列?an2?an?1?an?14、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式：

（1）當(dāng)q?1時(shí)，Sn?na1（2）當(dāng)q?1時(shí)，Sn??a1?1?qn?1?q?a1?anq1?qa1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'為1?q1?q常數(shù)）

5、等比數(shù)列的判定方法：

（1）用定義：對(duì)任意的n，都有an?1?qan或?yàn)榈缺葦?shù)列

（2）等比中項(xiàng)：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}為等比數(shù)列（3）通項(xiàng)公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：

an?1?q(q為常數(shù)，an?0)?{an}an依據(jù)定義：若

an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}為等比數(shù)列an?17、等比數(shù)列的性質(zhì)：

（2）對(duì)任何m,n?N*，在等比數(shù)列{an}中，有an?amqn?m。

（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，則an?am?as?at。特別的，當(dāng)m?n?2k時(shí)，得an?am?ak2注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

ak（4）數(shù)列{an}，{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列{}，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，{n}bnan（k為非零常數(shù)）均為等比數(shù)列。

（5）數(shù)列{an}為等比數(shù)列，每隔k(k?N*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍為等比數(shù)列

（6）假使{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列（7）若{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比數(shù)列（8）若{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比數(shù)列

a1?0，則{an}為遞增數(shù)列{（9）①當(dāng)q?1時(shí)，a1?0，則{an}為遞減數(shù)列a1?0，則{an}為遞減數(shù)列②當(dāng)0一、等差和等比數(shù)列比較：

定義遞推公式通項(xiàng)公式中項(xiàng)A?等差數(shù)列an?1?an?d等比數(shù)列an?1?q(q?0)anan?an?1q；an?amqn?man?an?1?d；an?am?n?mdan?a1?(n?1)dan?a1qn?1（a1,q?0）an?k?an?k（n,k?N*,n?k?0）2Sn?n(a1?an)2G??an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?k?0）前n項(xiàng)和n(n?1)Sn?na1?d2?na1(q?1)?Sn??a11?qna1?anq?(q?2)?1?q?1?q??重要性質(zhì)

am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q)am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q)二、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an?1?an?d（d為常數(shù)），通項(xiàng)：an?a1??n?1?d等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列?2A?x?y前n項(xiàng)和：Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d2性質(zhì)：?an?是等差數(shù)列

（1）若m?n?p?q，則am?an?ap?aq；

（2）數(shù)列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍為等差數(shù)列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍為等差數(shù)列，公差為nd；

（3）若an，bn是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則

amS2m?1?bmT2m?1（4）?an?為等差數(shù)列?Sn?an2?bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，可能有最大值或最小值）（5）項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列?an?，有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1為中間兩項(xiàng))

S偶?SS奇n奇?nd，

S?a偶a.n?1(6)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1的等差數(shù)列?an?，有

S2n?1?(2n?1)an(aS奇n為中間項(xiàng))，S奇?S偶?an，

S?n偶n?1.三、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：

an?1a?q（q為常數(shù)，q?0）

，通項(xiàng)：a?1n?a1qn.n等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列?G2?xy，或G??xy.

?na1前n項(xiàng)和：S?(q?1)n???a1?1?qn?（要注意q?1?q(q?1)?。?/p>

性質(zhì)：?an?是等比數(shù)列

（1）若m?n?p?q，則am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍為等比數(shù)列,公比為qn.

四、數(shù)列求和的常用方法：

1、裂項(xiàng)分組法：

1111?2?2?3?3?4??1（nn?1）?(1111?2)?(2?13)?(13?14)??(1n?1n?1)?11n1?n?1?n?1、

11111,2,3,4,的前n和是：392781

1111（+12+3+4+）+（+++?）3927812、錯(cuò)位相減法：凡等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí)用此方法，例

：

求

：

Sn=x?3x2?5x3?解：

Sn=x?3x2?5x3?xSn=x2?3x3?5x4?(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn(x?1)

?(2n-5)xn-2?(2n-3)xn-1?(2n-1)xn(x?1)①?(2n-5)xn-1?(2n-3)xn?(2n-1)xn+1(x?1)②

①減②得：

(1?x)Sn=x??2x2?2x3?

?2xn-1?2xn???2n?1?xn+1n+1?x?2x2?1?xn-1?1?x??2n?1?x

從而求出Sn。

錯(cuò)位相減法的步驟：(1)將要求和的雜數(shù)列前后各寫出三項(xiàng)，列出①式；(2)將①式左右兩邊都乘以公比q，得到②式；(3)用①?②，錯(cuò)位相減；(4)化簡計(jì)算。3、倒序相加法：前兩種方法不行時(shí)考慮倒序相加法例：等差數(shù)列求和：

Sn=a1?a2?a3?兩式相加可得：

?an?2?