機械振動拓展與提高人教版

第一章機械振動

第一節(jié)機械振動

一、知識體系

（一）簡諧運動

1、機械振動

物體在某一位置附近來回往復(fù)地運動，稱為“機械振動”。例如，彈簧

振子、擺輪、音叉、琴弦以及蒸汽機活塞的往復(fù)運動等等。凡有搖擺、晃

動、打擊、發(fā)聲的地方都存在機械振動。振動是自然界最常見的一種運動形

式，波動是振動的傳播過程。振動遠不止于機械運動范圍，熱運動、電磁運

動中相應(yīng)物理量的往復(fù)變化也是一種振動。產(chǎn)生振動的必要條件之一是物體

離開平衡位置就會受到回復(fù)力的作用；另一條件是阻力要足夠小。當然物體

只有慣性，而物體的慣性使物體經(jīng)過平衡位置時不會立即靜止下來。每經(jīng)過

一定時間后，振動體總是回復(fù)到原來的狀態(tài)（或位置）的振動稱為周期性振

動。不具有上述周期性規(guī)律的振動稱為非周期性振動。

2、回復(fù)力

能夠使振動物體回到平衡位置的力稱作‘'回復(fù)力"。每當振動物體離開

平衡位置就會受到回復(fù)力的作用。它跟向心力的情況類似，回復(fù)力是根據(jù)力

的效果而命名的，而不是根據(jù)力的性質(zhì)命名的。它可能是重力、強力等各種

性質(zhì)的力，也可能是它們的分力或合力。例如單擺中，回復(fù)力是重力的切向

分量；彈簧振子中，回復(fù)力是彈簧形變后產(chǎn)生的彈力。

圖1—1

3、彈簧振子

彈簧振子一種簡諧振子。它的典型結(jié)構(gòu)是由一個一端固定，質(zhì)量可以忽

略的輕彈簧和連在它另一端(自由端)的一個帶孔而不易變形的小球，并將

球穿在i根光滑的水平桿上組成，這樣的，以及與此類似的系統(tǒng)稱為彈簧振

子。如圖1-1所示，當小球處于0點時，所受外力的合力為零，彈簧沒有形

變，小球不受力，這點就是平衡位置。將小球從平衡位置0向右拉到B,然

后釋放，小球?qū)⒀貤U左右振動起來，當小球在振動過程中，它的重力和桿的

支持力始終平衡。桿又很光滑，對小球的運動又沒有阻力(些小阻力可略而

不計)，對振動起作用的只是彈簧作用在小球上的彈力。當小球受外力作用

被拉到0點的右側(cè)B點時，對平衡位置的位移方向向右，則彈力方向卻向

左；當小球運動到。點左側(cè)時，位移方向向左，而彈力方向卻向右，可見這

個彈力的方向總是跟小球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰品较蛳喾矗赶蚱胶馕恢?。顯然

這個彈力就是迫使小球振動的回復(fù)力。由胡克定律知彈簧提供的回復(fù)力F的

大小跟小球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰苮成正比，這一關(guān)系式為F=-Kx式中K是彈

簧的勁度系數(shù)，負號表示回復(fù)力與位移方向相反。彈簧振子的振動是簡諧運

動。它是一種理想化的模型。

背景資料］

(-)胡克與胡克定律

胡克(1635~1703)英國物理學(xué)家。1635年7月18日生于懷特島的一個鄉(xiāng)

村牧師家庭。從小喜好機械。他在威斯敏斯特中學(xué)畢業(yè)后，1653年作為工

讀生進入牛津大學(xué)學(xué)習(xí)，但任了R玻意耳的助手，1663年獲碩士學(xué)位。

1665年擔(dān)任倫敦格雷舍姆學(xué)院幾何教授。胡克在牛津大學(xué)學(xué)習(xí)期間就積極

參加了牛津和倫敦的科學(xué)小組的活動。當小組發(fā)展為倫敦的皇家學(xué)會后，

1662年起任學(xué)會的實驗主持人。1663年成為正式會員，1677?1683年任學(xué)

會秘書，并負責(zé)出版會刊。在這20多年的學(xué)會活動中，胡克擔(dān)負不少實驗

和事務(wù)性工作。1703年3月3日在倫敦逝世，享年68歲。

胡克早就注意到彈性體所受的力與其變形之的比例關(guān)系。1678年，他在講

演集《態(tài)勢的恢復(fù)》(dePotentiaRestitutive)中首次公布了他的固體

彈性定律：“有多大的伸長量，就有多大的力?！边@個定律經(jīng)過AT柯西

于1822年引入應(yīng)力和應(yīng)變這一對概念，以及G格林1837年的改進，成為

胡克定律的現(xiàn)代形式，從而打下了彈性理論和材料力學(xué)的基礎(chǔ)。

（二）關(guān)于胡克的趣聞軼事

1、胡克與惠更斯爭發(fā)條鐘的發(fā)明權(quán)

圖1—2圖1—3

關(guān)于彈簧擺輪和發(fā)明權(quán)爭論，暴露了胡克性格的多疑、乖戾和思想不夠

縝密。本來，胡克和惠更斯都是獨立發(fā)現(xiàn)這種機件的，在登載胡克定律的

《態(tài)勢的恢復(fù)》一文中確有這一例子并有演示說明（見上文圖），但胡克手

中卻沒有制成于1658年的確切證據(jù)。1660年左右，本來皇家學(xué)會的玻義

耳、RNforay,WBrouncker考慮支持胡克的發(fā)明，因為它會帶來巨大的好

處。在他們支持下起草的專利早請快要達成協(xié)議時，胡克要求支持者進一步

給以保證，由于這種過份的要求沒有得到滿意的回答，胡克竟主動撤回申

請。與此同時，惠更斯經(jīng)過多年的實踐與理論計算后，利用游絲擺輪在

1655-1658年間設(shè)計了新的擺鐘；惠更斯想將已獲得的專利轉(zhuǎn)讓皇家學(xué)會

秘書奧登堡（HenryOldenburg1615-167%。這時胡克妒火中燒，惱羞成

怒，懷疑他的發(fā)明權(quán)被奧登堡泄漏給了惠更斯，于是，挑趣了優(yōu)先權(quán)爭論。

他還請制表匠ThcmasTcnpion做了一個鐘表送給國王，上刻"Robert

Hooke1658年發(fā)明，工Tempion制造于167竽以示抗議，并罵奧登堡為“知

識據(jù)客”

2.胡克與牛頓的關(guān)系

1665年，21歲的牛頓還是一個無名小卒。他把自己關(guān)于光的色散問題

的第一篇論文送到皇家學(xué)會，30歲胡克這時已是皇家學(xué)會會員兼干事，幾

何學(xué)教授，并被授權(quán)作用常任專家牛頓的論文進行評審。傲慢的胡克，自認

為是顏色問題專家，他剛剛發(fā)表了名著《顯微圖集》轟動全歐，因此對牛頓

的論文不屑一顧，沒有看到牛頓論文的革命性意義，于是在私人回信中給予

嚴厲的批評。這使牛頓非常惱怒，也在盛怒之下起草了一個粗暴的回答，并

寄到皇家學(xué)會會刊《哲學(xué)學(xué)報》公開發(fā)表。胡克因此遭到公眾的恥笑。10

年后牛頓又將關(guān)于顏色問題的第二篇論文（關(guān)于薄膜顏色及與此有關(guān)的“關(guān)

于光的假說"）送到皇家學(xué)會，胡克宣稱，牛頓的全部文章都可以從他的

《顯微圖集》中找到，并且暗示奧登堡與牛頓串通一氣，散布假報告。胡克

的攻擊信引起牛頓以同樣夸張的詞句進行回答，從此二人結(jié)下怨仇，牛頓決

心當胡克在世時決不發(fā)表光學(xué)論文。胡克在這一爭論中幾乎喪失了科學(xué)家的

理智和合作精神。

1677年，胡克看到他的眼中釘奧登堡去世，他又繼任了皇家學(xué)會秘

書。就在1679年給牛頓的一封信中主動提出向牛頓請教自己關(guān)于行星動力

學(xué)的觀點，從此又開始了二人間的學(xué)術(shù)性交流。胡克對萬有引力的貢獻使哈

雷在1686年出版牛頓的《原理》時轉(zhuǎn)達了胡克的要求，哈雷在1686年5月

22日給牛頓的信中說：“還有一件事我應(yīng)當通知您，即胡克先生關(guān)于您的

引力減小法則也就是與中心距離的平方成反比的發(fā)現(xiàn)，有一些要求。他說您

從他那得知實情，包括上述觀點，雖然他承認做出曲線的證明完全是您自

己，在這種事情上您應(yīng)該做些什么，您最清楚，只是胡克先生似乎希望您應(yīng)

該在序言中把他提一下……”

牛頓5月27日回信加以反駁：他素來認為胡克“至少必須節(jié)制一下他

的虛偽”。他還說過由于這種發(fā)明權(quán)的爭論，使他感到“哲學(xué)是沒理攪三分

的貴婦”（見1675年12月7日牛頓致奧登堡的信）。后來由于哈雷等人的

調(diào)解，牛頓才在《原理》第一卷命題IV系IV后的注釋中加上了一段話：

“這第6個系是在天體中取得的（象克利斯多弗?雷恩爵士、胡克先生和哈

雷博士分別觀察到的）……”

3.死后連一張畫象也沒有留下

胡克在科學(xué)、技術(shù)上的成就是無可置疑的。但是他為了重大發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先

權(quán)問題，比如為了爭發(fā)條鐘的發(fā)明權(quán)以及光學(xué)原理和萬有引力定律等的發(fā)現(xiàn)

權(quán)，曾經(jīng)和惠更斯、牛頓發(fā)生過激烈的爭吵。1686年英國倫敦皇家學(xué)會同

意出版牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書，胡克卻利用皇家學(xué)會秘書長的

身分執(zhí)意阻撓，不給經(jīng)費。他給牛頓“穿小鞋”的做法，引起了當時英國學(xué)

術(shù)界的不滿，這在一定程度上損害上胡克自己的科學(xué)家形象。

胡克生理和心理上的健康受損幾乎無時無刻不使他處于痛苦之中。他是

一個被懷疑有多種疾病的人，他不會有一整天毫沒病痛地輕松生活。他的多

疑、多剌、不慣于與人合作共事，特別是優(yōu)柔寡斷、拖拉不決的作風(fēng)也影響

了他才能的充分發(fā)揮。

胡克的貢獻與多才多藝，在生前沒有帶他多少歡樂，死后連一張畫象也

沒有留下，歷史上對他的評價也因與牛頓同一時時代和領(lǐng)域幾乎相同而相形

失色。

4、簡諧運動

物體在受到大小跟位移成正比，而方向恒相反的合外力作用下的運動，

叫做“簡諧運動”。見彈簧振子條。彈簧振子所作的運動是簡諧振動。由于

彈簧振子的回復(fù)力F與位移x成正比而方向相反，它們之間的關(guān)系式用F=-

Kx表示。又彈簧振子的加速度a也與位移x成正比而方向相反。它們之間

的關(guān)系，根據(jù)牛頓第二定律公式F=ma,得ma=-Kx,則a='x,式中m是彈

m

簧振子的質(zhì)量式中負號表示加速度與位移方向相反。所以也可以說，凡是回

復(fù)力滿足F=Kx或加速度滿足a=--x的機械振動叫簡諧振動。

m

（二）描述振動的物理量

1、振幅

振幅是用來表示振動強弱的物理量，振動物體離開平衡位置的最大距

離，叫做振動的“振幅”，通常用符號A表示。簡諧運動的振幅是不變的。

強迫振動的穩(wěn)定階段振幅也是一個常數(shù)。阻尼振動的振幅逐漸減小，振幅是

可變化的。

有的書上說：“物體離開平衡位置的最大位移，稱作振幅”。應(yīng)明確振

幅與位移是有區(qū)別的。因為位移是矢量，在坐標系確定之后，位移是有正負

之分的。在中學(xué)物理教學(xué)中，振幅本身只表示“振動的幅度”。如振動的強

弱不變，振動的振幅就是一個不變的量。振幅的單位是米或厘米。

2、周期

對于任何往復(fù)循環(huán)的物理過程，都用周期表示振動的快慢。當物體作往

復(fù)運動時完成一次全振動所需要的時間稱為物體振動的“周期”，簡稱周

期，用T表示。周期的單位是秒。振動的顯著特點是重復(fù)性，即周期性。所

謂周期性，就是振動物體的位移、速度、加速度經(jīng)過一定時間之后又重復(fù)地

回到原來的數(shù)值，即開始的狀態(tài)。周期這個物理量是物體運動周期性的描

述。簡諧振動是嚴格的周期性運動，它的周期是一個常數(shù)。有些振動（如阻

尼振動）的周期是在不斷相對緩慢地變化。嚴格地說，這種往復(fù)運動已不再

是周期性的，但周期這個物理量仍然可以反映這種運動的往復(fù)情況。

3、頻率

在1秒鐘內(nèi)，物體完成全振動的次數(shù)叫“頻率”。通常用符號f表示頻

率。在國際單位制中，頻率的單位是赫茲（Hz）,簡稱赫。像周期一樣，頻

率既可以表示作振動或其他周期性運動的物體每秒鐘完成周期性運動的次

數(shù)，又可以表示某些物理量每秒鐘完成周期性變化的次數(shù)。頻率等于周期T

的倒數(shù)，即41/T

（三）簡諧運動的圖象

若從運動學(xué)角度，可定義為“質(zhì)點離開平衡位置的位移x隨時間t而變

化的規(guī)律，能遵從余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）的振動稱為簡諧振動。即

T5T/4

圖1-4

x=Acos（3t+a）。上述兩種說法是對簡諧振動最常用的兩種定義。其實質(zhì)

是一樣的。

通過上述公式x=Acos（3t+a）,明顯說明，作簡諧振動物體的位移x隨時

間t的變化規(guī)律是遵從余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）的，如將x隨t變化的關(guān)

系，用圖1-4所示的曲線形象地表示出來（橫坐標為t,縱坐標為位移x）,

就是用振動圖線法表示來描述簡諧振動。

（四）單擺

單擺又稱數(shù)學(xué)擺。它是由一根上端固定且不會伸長的細線（細線的質(zhì)量

略而不計）和在下端懸掛的一個小球（可看作質(zhì)點）所組成。線在豎直位置

時，小球處于平衡位置0點，將小球從平衡位置略為移動后，小球在重力作

用下，將返回到原來的平衡位置0,但在返回平衡位置0后，又因具有動能

而繼續(xù)向另一側(cè)運動，小球就這樣在豎直平面內(nèi)作來回重復(fù)的運動，這種振

動系統(tǒng)稱為“單擺”。

在單擺定義中應(yīng)注意兒段話：1.“……不會伸長的細線……小球……”這

是說擺球可以當作質(zhì)點看待，細繩質(zhì)量略而不計，擺長可看作是由懸點到小

球球心間長度不變的距離。2.“……小球……”擺球由于體積小，在運動中空

氣阻力可略而不計，小球的振動可看作只是由重力和繩子彈力的合力引起

的。3.“……略為移動……”單擺振動只有在振幅很小的時候才能看作是簡諧

振動，所以只能施以很小的外力使擺球略為移動，滿足振幅很小的條件。一

般說擺角<5。。4.“……重復(fù)……”就是說，第二次全振動與第一次全振動所

經(jīng)過的過程是一樣的，這是因為空氣的阻力忽略不計。如果說“往復(fù)”，在

阻厄振動的情況下，就不能算簡諧振動了。5”……在豎直平面內(nèi)……”如果

擺球運動不在豎直平面內(nèi)，那么它就不是簡諧振動了。因此對單擺必須嚴格

定義。

單擺的周期T與擺長1以及擺所在地的重力加速度g值的大小有關(guān)，也與擺

角（擺線和垂線所成的最大夾角0）有關(guān)，而與重錘的質(zhì)量m無關(guān)。數(shù)學(xué)

表達式為（在擺角?<5。時，周期可用下式）

1=2嗜

踐景資料］

（一）伽利略發(fā)現(xiàn)的“搖擺的等時性”

伽利略是中世紀意大利杰出的物理學(xué)

家、天文學(xué)家，他在科學(xué)史上許多偉大的發(fā)明

和發(fā)現(xiàn)，都是他長期刻苦鉆研細心觀察的結(jié)

果。

伽利略在幼年時，就很愛動腦筋，善于留心觀

察事物。在學(xué)校里，伽利略勤奮刻苦，他很快學(xué)會了拉丁文、希臘文、哲

學(xué)，就連圖畫和音樂，他也學(xué)得很好。父親看到這種情況，就放棄了要他做

布商的念頭，將他送進比薩大學(xué)。

在大學(xué)里，伽利略非但勤學(xué)，而且仍然保持善于觀察事物的好習(xí)慣，

別人司空見慣、習(xí)以為常的現(xiàn)像，他卻要問一個為什么，并能從中領(lǐng)悟出新

奇的東西。

有一天晚上，他靜坐在比薩教堂里，看到懸掛在教堂中央上空的吊

燈，被教堂一邊敞開的窗子吹進的風(fēng)刮得左右搖擺。他趕緊把窗關(guān)上，心

想，這樣，燈馬上就不會動了，可是燈仍然有規(guī)律地搖擺著。這時他突然感

覺到：“這燈在搖動時的距離雖然不相等，可是它所需要的時間或許是相等

的?！庇谑撬R上按著自己的脈搏，口中默默數(shù)著數(shù)兒，經(jīng)過多次驗證，得

知燈左右搖擺一次所需要的時間是相等的。后來，伽利略把這種搖擺特性稱

為：“搖擺的等時性”定律。

這個燈在教堂里不知搖擺了多少年，而看見的人也不知有幾千幾萬，誰

也沒有發(fā)現(xiàn)什么秘密，然而，伽利略卻因此開發(fā)思路。他利用他發(fā)現(xiàn)的定

律，造了一個適當長度的擺錘，用來測量脈搏的速度和均一性。后來，又制

造了鐘表，發(fā)明了天文鐘。在他雙目失明、遭受教會迫害幽禁，已經(jīng)風(fēng)燭殘

年的最后日子里，還在利用他50年前發(fā)現(xiàn)的定律，研究利用擺錘測量時

間。

（二）惠更斯與擺鐘

圖1—5

我們知道，單擺的周期公式是由惠更斯首先推導(dǎo)出來的（詳見拓寬延

伸2）,1656年開始，惠更斯首先將擺引入時鐘，發(fā)明了擺鐘（圖1-

5）,并發(fā)表了《擺鐘》（165演及《擺式

時鐘或用于時鐘上的擺的運動的幾何證

明》（1637）。他又研究了簡諧運動及彈

簧振動，并用游絲代替掛擺，設(shè)計出許多

種鐘表等時結(jié)構(gòu)（例如海上用以測量地理

經(jīng)度的懷表等）。

（三）惠更斯生平簡介

惠更斯，CChristiaanHuygens

162A1695荷蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)

學(xué)家。1629年4月14日出生于海牙。父親是大臣和詩人，與R笛卡兒等學(xué)

界名流交往甚密?；莞棺杂茁敾郏?3歲時曾自制一臺車床，表現(xiàn)出很強

的動手能力。1645年16歲時進入萊頓大學(xué)學(xué)習(xí)法律與數(shù)學(xué)，1647?1649年

轉(zhuǎn)入布雷達學(xué)院深造。在阿基米德等人著作及笛卡兒等人直接影響下，致力

于力學(xué)、光學(xué)、天文學(xué)及數(shù)學(xué)的研究。他善于把科學(xué)和理論研究結(jié)合起來，

透徹地解決問題，因此在擺鐘的發(fā)明、天文儀器的設(shè)計、彈性體碰和光的波

動理論等方面都有突出成就。1651年惠更斯發(fā)表了平生第一篇科學(xué)論文，

論述各種曲線所圍面積的求值。1663年當選為英國倫敦皇家學(xué)會的第一位

外國會員。1666年當選為荷蘭科學(xué)院院士。同年，應(yīng)法國皇帝路易十四的

邀請，到巴黎從事學(xué)術(shù)活動，被選為新成立不久的巴黎科學(xué)院院士。1672

年他結(jié)識了正在巴黎訪問的年輕學(xué)者萊布尼茲（164—1710o惠更斯很賞

識萊布尼茲的才能，熱忱指導(dǎo)他研究數(shù)學(xué)名著，并于1674年向荷蘭科學(xué)院

推薦了他的關(guān)于微積分的第一篇論文。1681年由于健康上的原因，惠更斯

離開法國，返回荷蘭。1687年惠更斯赴英訪問，結(jié)識了大物理學(xué)家牛頓。

惠更斯衣冠楚楚，舉止文雅，頗具學(xué)者風(fēng)度。他喜歡音樂和詩歌，終身

未娶。晚年長期患病，于1695年7月8日在海牙逝世，享年66歲。

（五）簡諧運動的能量

1、簡諧運動的能量

簡諧運動的能量是指在任意時刻動能和勢能的總和。

單擺與彈簧振子在振動過程中動能與勢能不斷發(fā)生轉(zhuǎn)化，在任意時刻動

能和勢能的總和，即簡諧運動的總機械能將保持不變。

2、阻尼振動

由于振動系統(tǒng)受到阻力作用造成能量損失而使振幅減小的振動叫“阻尼振

動”。又稱減幅振動。振動系統(tǒng)由于受到阻力（這種作用為阻尼），消耗系

統(tǒng)能量做功，而使振動的能量不斷地減少，由于振動系統(tǒng)的能量與振幅的平

方成正比，即￡=』乂2,所以在能量隨時間減少的同時，振動物體的振幅也

2

逐漸減小，這是一種非簡諧振動。這里所謂受到阻力、系統(tǒng)的能量減少，一

般指兩種情況：--種是由于摩擦阻力存在，使振動系統(tǒng)的機械能量逐漸轉(zhuǎn)變

為熱運動的能量；另一種是由于振動系統(tǒng)引起鄰近質(zhì)點的振動而做功，并使

它們振動起來，使系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌拥哪芰?。?/p>

如，簧片振動時，不僅由于摩擦而消耗能量，同時也因輻射聲波而減少能

量；電磁振蕩回路中因電阻和電磁輻射而使振幅逐漸減小的振動；天平臂的

擺動；電流計線圈的擺動都屬于阻尼振動。在使用天平和電流計時，總希望

它們能很快地達到平衡位置，為使振動的衰減加快，而增大對振動的阻尼。

增大阻尼常用機械或電磁的方法，如天平中的空氣盒，電流計中的阻尼線圈

等。

任何一個振動系統(tǒng)，當阻尼增加到一定程度時，物體的運動是非周期

性的，物體振動連一次都不能完成，只是慢慢地回到平衡位置就停止了。當

阻力使振動物體剛能不作周期性振動而又能最快地回到平衡位置的情況，稱

為“臨界阻尼”，或中肯阻尼狀態(tài)。如果阻尼再增大，系統(tǒng)則需要很長時間

才能達到平衡位置，這樣的運動叫過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)如果所受的阻尼力較

小，則要振動很多次，而振幅則在逐漸減小，最后才能達到平衡位置，這叫

做“欠阻尼”狀態(tài)。

3、無阻尼振動

機械振動按振幅的變化來區(qū)分，可分為無阻尼振動和阻尼振動。物體作

無阻尼振動，并不一定指它不受阻力，而是指它在振動過程中保持振幅不

變。無阻尼振動又可分為兩種：一種是無阻尼自由振動，即振動物體只受回

復(fù)力作用，不受任何阻力作用，不對外做功，系統(tǒng)無能量損失，這就是一種

理想情況，是“簡諧運動”。另一種實際上是“受迫等幅振動”，即振動時

系統(tǒng)從外界取得的能量，剛好補償在振動過程中所損耗的能量，系統(tǒng)的能

量、振動物體的振幅都保持不變。

（六）受迫振動共振

1、受迫振動

系統(tǒng)在外部策動力作用下發(fā)生的振動叫“受迫振動”。受迫振動是物體

在策動力的強迫下所產(chǎn)生的振動，它和自由振動不同。例如，揚聲器中紙盒

的振動、蒸汽機活塞的振動以及縫紉機上縫針的振動，都是受迫振動的例

子。受迫振動開始的情況非常復(fù)雜，但經(jīng)過一段時間后可以達到一種穩(wěn)定狀

態(tài)。在穩(wěn)定狀態(tài)下，振動的頻率即為策動力的頻率，跟它固有的頻率無關(guān)。

振動的振幅保持恒定不變，振幅的大小不僅與策動力的大小有關(guān)，而且還跟

策動力的頻率以及系統(tǒng)本身的固有頻率有關(guān)。實際上在這種受迫振動中，一

方面系統(tǒng)因策動力做功而獲得能量，另一方面又因有阻尼而使機械能損耗。

開始時，策動力對系統(tǒng)作的功往往大于系統(tǒng)克服阻尼損耗的能量，總的趨勢

是振幅逐漸增大。由于阻力一般是隨速度而增加的，所以當振動加強時，因

阻力而損耗的能量也要增多。當策動力對系統(tǒng)作功而傳遞給系統(tǒng)的能量，恰

好補償系統(tǒng)因阻力而損耗的能量時，系統(tǒng)的機械能保持不變，振幅保持穩(wěn)

定，成為無阻尼等幅振動。受迫振動的基本特點就是：物體做受迫振動的頻

率等于策動力的頻率，而跟物體的固有頻率無關(guān)。

2、共振

一個振動系統(tǒng)，當外加的策動力的頻率與系統(tǒng)本身的固有頻率很接近或

相同時，系統(tǒng)受迫振動的振幅將趨于最大值，這種現(xiàn)象叫共振。

共振是受迫振動的一種特殊情況。從力的角度看，要求周期性變化的策

動力的方向跟振動物體的運動方向相同，凡是跟振動物體運動方向相反的力

都會促使振動物體的振幅減小。策動力頻率變化跟系統(tǒng)的固有頻率越接近，

使物體振幅增加的力作用次數(shù)就越多。當策動力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率相

等時，并且策動力的位相跟物體運動的位相同相時，策動力的每一次作用都

將使物體的振幅增加而達到最大值。若從功能關(guān)系來說，就要求在任何時

刻，周期性變化的策動力對振動系統(tǒng)做正功。在一個振動周期中，由于策動

力的頻率和系統(tǒng)的固有頻率不同，因此策動力的方向和物體運動的方向有時

一致，有時相反。當方向一致時，供給系統(tǒng)振動能量，對物體做正功；當方

向相反時，使系統(tǒng)振動能量減少，而對物體做負功。只有在策動力頻率跟振

動系統(tǒng)的固有頻率相同，且位相相同時，才有可能使其方向在整個周期中跟

物體運動方向一致，從而達到在任何時刻做正功的效果。系統(tǒng)能量不斷增

加，振幅不斷增大，直到策動力做功供給系統(tǒng)的能量等于克服摩擦阻力消耗

的能量，振幅不再增大，即達到了最大的振幅。因為在物體作無阻尼自由振

動時，外力的頻率等于振動體的固有頻率就會發(fā)生共振，由于實際的振動多

少存在一些阻尼作用，策動力在頻率要稍稍偏移振動體的固有頻率才能發(fā)生

共振，在這種情況下，只能說“接近固有頻率”，而不說“等于固有頻率。

背景資料］

塔科馬狹橋的倒塌

從前在美國塔科馬有一座著名的狹橋。這座橋在施工時發(fā)生過擺動。不時

的振動使修橋工人感到暈眩。橋竣工通車后，搖擺得更加厲害。它吸引了不

少遠方的客人駕車到此一游，為的是尋求刺激，嘗嘗汽車駛過搖搖晃晃的狹

橋時的滋味。在某些日子里，橋身上下振動的幅度竟達1.5米，使得駕駛員

看不見在它前面行駛的汽車。

這座橋的倒塌非常突然。有一天早上，橋突然停止振動，不一會它瘋狂

地扭轉(zhuǎn)振動起來。30分鐘后第一塊路面開始墜入水中，接著有200米長的

路面斷開，然后振動停止了幾分鐘，最后又發(fā)生新的振動，將殘留的橋面全

部掀到水里。事后，人們對狹橋的設(shè)計老是找不出可以指責(zé)的地方，因為那

時人們對于吊橋的空氣動力學(xué)特性知道得很少。這場災(zāi)難在當時說來是屬于

不可預(yù)測的（或稱不可抗拒的），但它對以后的大橋設(shè)計影響頗大。

出事那天的風(fēng)并不特別大，但因為橋在風(fēng)的作用下產(chǎn)生了共振，振幅

不斷增大，直至使狹橋破壞。風(fēng)是怎樣作用在橋上的呢？為什么相當均勻的

風(fēng)，會使橋產(chǎn)生脈沖式的振動，然后變?yōu)榕まD(zhuǎn)振動呢？

研究的結(jié)果表明，是橋上豎直方向的結(jié)構(gòu)板引起了橋的振動。它對風(fēng)的

阻力很大，風(fēng)被擋之后，大量的氣流便從結(jié)構(gòu)板的上方經(jīng)過然后壓向橋面。

由于吹過的氣流因不斷地被屈折而使速度增加，所以在豎直結(jié)構(gòu)板的上方和

下方壓力降低（伯努利定律）。如果風(fēng)總是從板的正前方吹來，那倒不要

緊，因為上下方的壓力降低會互相抵消。但是，如果風(fēng)的方向不停地變換的

話，壓力就會不斷地變化。這一壓力差作用在整個橋面上，并因擋風(fēng)的豎直

結(jié)構(gòu)板后所產(chǎn)生的渦流而得到加強，結(jié)果橋就開始振動。與這類似的情況是

電話線在壓力差和渦流的作用下會產(chǎn)生嘯聲。

（七）本章實驗研究與提高

本章有兩個分組實驗.實驗八：探索彈力和彈簧伸長的關(guān)系；實驗九：

用單擺測定重力加速度.另外課本上在“課題研究”中還提出一個實驗：研

究彈簧振子的周期和小球質(zhì)量的關(guān)系.本章的實驗具有探索性和研究性，體

現(xiàn)了物理學(xué)科的特點和發(fā)展方向.

［實驗八］探索彈力和彈簧伸長的關(guān)系

（一）實驗?zāi)康?/p>

探索彈力與彈簧伸長的定量關(guān)系，并學(xué)習(xí)所用的科學(xué)方法.

（二）實驗原理

彈簧受到拉力會伸長，平衡時彈簧產(chǎn)生的彈力和外力大小相等.這樣彈

力的大小可以通過測定外力而得出（可以用懸掛祛碼的方法給彈簧施加拉

力）；彈簧的伸長可用直尺測出.多測兒組數(shù)據(jù)，用列表或作圖的方法探索

出彈力和彈簧伸長的定量關(guān)系.

（三）實驗記錄及數(shù)據(jù)的處理

彈簧的彈力用F來表示，彈簧原長（自然長度）用1。來表示，彈簧現(xiàn)長用1

來表示，彈簧的伸長用x來表示，則x=l—1（）.

⑴數(shù)據(jù)記錄：（彈簧原長lo=cm）

1234567

F/N

//cm

x/cm

（2）根據(jù)測量數(shù)據(jù)畫出F-x圖象（以F為縱軸，以x為橫軸）.

（3）探索結(jié)論：

按照F—x圖中各點的分布與走向，嘗試做出一條平滑的曲線（包括直

線）.所畫的點不一定正好在這條曲線上，但要注意使曲線兩側(cè)的點數(shù)大致

相同.嘗試寫出曲線所代表的函數(shù)，首先嘗試F—x是否為一次函數(shù)，如果

不行則考慮二次函數(shù)……

在實驗誤差范圍內(nèi)，應(yīng)得出彈力的大小與彈簧的伸長量成正比，即

F=kx,其中k的單位由F和x的單位決定.為了加深對k的理解，可以讓學(xué)

生用另外一個不同的彈簧重做這個實驗，對比兩個彈簧的結(jié)果會更好地認識

k,即在伸長一定時，k越大，彈力也就越大，它反映了彈簧的“勁度”.本

實驗是探索性實驗，實驗前并不知道上述規(guī)律，上述結(jié)論應(yīng)由實驗數(shù)據(jù)探索

出來.

［實驗九］用單擺測定重力加速度

（一）實驗?zāi)康?/p>

用單擺測定當?shù)氐闹亓铀俣?

（二）實驗原理

當單擺擺角很小（不超過10。）時，單擺在豎直平面內(nèi)的擺動可看成簡諧運

動，其固有周期為T=2%即。由周期公式可得g=4///T2,故只要測定

擺長1和單擺的周期T,即可算出重力加速度g.

（三）注意事項

（1）力求使支架處于穩(wěn)定狀態(tài)，擺線的懸掛端不應(yīng)隨意亂繞，應(yīng)呈“點”懸狀

態(tài).

（2）測量單擺的擺長時，應(yīng)使擺球處于自由下垂狀態(tài)，用米尺測出擺線的長

度，再用游標卡尺測出擺球的直徑，然后算出擺長（準確到毫米位）.

（3）單擺釋放的角度應(yīng)當很小，例如不超過10。.擺球釋放后，應(yīng)力求使擺球

在同一個豎直平面內(nèi)擺動，然后再測量單擺的周期.

⑷在測量單擺的周期時，計時的起、終時刻，擺球都應(yīng)恰通過平衡位置（可

提前畫出單擺的平衡位置，作為計時參考點），以減小計時誤差.用秒表測

出單擺做30?50次全振動所用的時間，計算出平均擺動一次的時間，這個

時間就是單擺的振動周期.

（5）從單擺的周期公式知道，周期跟偏角的大小、擺球的質(zhì)量沒有關(guān)系.如果

時間允許的話，用實驗驗證這個結(jié)論.在重力加速度一定時，周期跟擺長的

二次方根成正比.如果時間允許的話.算出不同擺長下周期跟相應(yīng)擺長的二

次方根之比，看看這些比值是否相等.

二、拓展延伸

（-）擺球振動的回復(fù)力是由什么力提供的？

如圖所示，重力的一個分力Gi的方向始終與圓弧相切，它的方向不是

準確地指向平衡位置，但當擺角9較小I-I

時，分力Gi的方向就近似地指向平衡位置（即擺1\

球的最低位置），因此，分力Gi的方向具備了回/；

復(fù)力方向的特點，即始終指向平衡位置。當擺角舄一

0<5°時，以擺示的平衡位置O為原點，沿水平G/I*1

方向建立x軸，WG|=mgsin0^mg9—x.1'

圖1—6

故力G的大小隨0（或x）的減小而減小，

當。=0°或x=0時，即擺球在平衡位置所受的力的大小為：G|=mgsin0°=0.

因此，力Gi也具備了回復(fù)力大小的特點，所以重力的分力Gi是回復(fù)

（-）擺球所受的合力不是擺球振動的回復(fù)力。

擺球在振動過程中所受的合力大小為：

尸合=JG「+%

yjm2g2+T~-2mgTcos?

盡管合力F合也隨。的減小而減小，但當。=0。時，有：

2

F合=T-mg=m；-H0.

可見F令在擺球處于平衡位置時不為零，不具備回復(fù)力大小的特征。

在任一位置時，擺球所受合力F介與通過該位置的圓弧的切線間的夾角9的

正切值為

v2

tan^=I向二/二y

G]mgsin6glsin0

當。減小時，sin。減小，而v增大，g,1不變，則tan。增大，。也隨之增

大，因此F價的方向隨。的減小而逐漸指向懸點，而不是指向平衡位置或逼

近平衡位置，且當0=0°時，F(xiàn)今指向懸點，可見F介的方向也不具備回復(fù)力

方向的特點，因此，我們可以說，擺球所受的合力不是單擺振動時的回復(fù)

力。

通過上述分析，我們可以得出正確結(jié)論：當單擺的擺角。很小時，重

力沿圓弧的切向分力具有回復(fù)力的特征，合力不具備回復(fù)力的特征，此時單

擺的振動可以認為是簡諧運動。

（三）關(guān)于單擺周期的推導(dǎo)方法

單擺的周期T=2”上.是荷蘭物理學(xué)家惠更斯首先發(fā)現(xiàn)的，實際

上.利用勻速圓周運動與簡諧運動的關(guān)系，能方便地推導(dǎo)出這一結(jié)果.

當一個物體（質(zhì)點）在一平面上做勻速圓周運動

時，它在直角坐標系的某一坐標軸上的投影是簡

諧運動.（°Ty

設(shè)有一質(zhì)量為m的物體，以角速度3做半徑為

A的勻速圓周運動，我們以O(shè)為圓心，建立直角

坐標系，如圖所示。假設(shè)物體從P點開始運動，圖1—7

經(jīng)過時間t運動到Q點，設(shè)Q點在x軸上的投影為

M,則M偏離圓心O的位置為x=Acos3t,這表明

M點在做以O(shè)為中心的機械振動.

物體的勻速圓周運動可看作是物體在X軸方向和y軸方向上運動的合

成.物體在x軸方向上的運動形式表現(xiàn)為投影點M的運動形式，我們可以

通過對物體運動到Q點時在x方向上所受力的分析，進一步研究點M的振

動.

物體做勻速圓周運動所需的向心力為F=mA32,方向指向圓心，則在Q

22

點物體受到x軸方向上的力為F=Fncoswt=-mAwcoswtcoswt=mwx,負

號表示F。與位移x的方向相反是一個常數(shù)，表明物體在勻速圓周運動中在

x軸方向上所受力為線性回復(fù)力，由此可知.物體在x軸方向上的運動為以

0為平衡位置的簡諧運動.所以，物體投影點M的振動也為以0為平衡位

置的簡諧運動.

物體運動一周，投影點M往復(fù)振動一次。表明它們的周期是相同的，即

投影點M的振動周期也為丁=生，這樣我們得到一個結(jié)論，回復(fù)力為F=-m

co

<02x的簡諧振動周期為T=^，我們知道：單擺振動的回復(fù)力F口蟹x,與

31

F=-m32x比較容易得出3=即單擺的圓頻率為上，把3=卜代入

T=蔣，便得到了單擺的周期公式T=2「―飛，（/沙

（四）對單擺周期公式丁=2%任的理解6

1、等效擺長：擺長L是指擺動圓弧的圓心到擺球71

Om

重心的距離，在有些情況下，擺長不一定等于懸繩的

圖1—8

長度。例如，在圖中，三根等長的繩h、12、b共同系住一密￡求

m,球直徑為d,b、b與天花板

的夾角a<30°。①若擺球在紙面內(nèi)作小角度的左右擺，擺長L］為多少？②

若擺球作垂直紙面的小角度擺動，擺長L2又為多少？

［分析與解答］①擺動圓弧的圓心在Oi處，故等效擺長I4I

為h+d/2!\.

②擺動圓弧的圓心在。處，故等效擺長為/

h+bsinQ+gI

2、等效重力加速度：公式中的g由單擺所在的

空間位置決定。由G==g知，g隨地球表面不同位置、圖1一9

不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值

g'代入公式，即g'不一定等于9.8m/s2。g還由單擺所處的物理條件決

定，具體求法是擺球在平衡位置未受擾動時繩子張力所產(chǎn)生的加速度，即擺

線的張力與

擺球質(zhì)量的比值為等效重力加速度

g',則T=2乃/。例如所示，單擺處在向上加速發(fā)射的人造衛(wèi)星艙內(nèi)，設(shè)

加速度為a,則其等效重力加速度為多少？如果單擺處在運行的衛(wèi)星內(nèi)，等

效重力加速度為多少？

［分析與解答］①取擺球在平衡位置時為研究對象，

當擺球不擺動時受到重力mg、繩拉力T作用，在豎直方向上，由牛頓第二

定律知：T—mg=maT=m(g+a),可見擺球處于超重狀態(tài)，其等效重力加速度

g'=T/m=g+ao

②若單擺處于運行的衛(wèi)星內(nèi)，擺球完全失重，則T=0,即

g'=0,所以周期為無窮大，單擺就不再擺動了。

3、等效單擺：當質(zhì)點在豎直放置的光滑圓弧面內(nèi)側(cè)做往復(fù)運動時，若

空間范圍遠小于圓弧半徑，則質(zhì)點的運動具有等時性，這種運動稱之為等效

單擺。如圖所示，其周公式7=2乃產(chǎn)。

(五)關(guān)于阻尼振動的幾個問題

教材中對于阻尼振動是這樣定義的：由于外界的摩擦和介質(zhì)阻力總是存

在，不論是彈簧振子還是單擺，在振動過程中要不斷克服阻力做功，消耗

能量，振幅就會逐漸減小。經(jīng)過一段時間，振動就會完全停下來，這種振幅

越來越小的振動叫阻尼振動，但是學(xué)生對以下幾個問題模糊不清：

①什么是阻尼？

②等幅振動是無阻尼振動嗎？

針對上邊兩個問題，我們應(yīng)從以下幾個方面來理解說明：

1、阻尼與阻力相聯(lián)系，有阻力作用的振動不一定就是阻尼振動.

阻力是按力的作用效果命名的.如果物體運動時，某個力對物體做負功，

或者說力與物體運動方向相反，那么我們就把這個力叫阻力.其實，物體振

動時，起關(guān)鍵作用的是回復(fù)力.回復(fù)力有時是動力。有時也是阻力.例如彈

簧振子在遠離平衡位置時，其回復(fù)力即彈力就是阻力.這時候的彈力作為阻

力不會影響到振幅的變化.

而阻尼振動中的阻尼是源于振動物體運動過程受到的摩擦和其他介質(zhì)阻

力，就是典型的無阻尼自由振動.也只能說是無阻尼振動。因為阻尼是指振

動過程中摩擦阻力，介質(zhì)阻力消耗振動能量的現(xiàn)象，而不是阻力出現(xiàn)的現(xiàn)

象，因此我們要分清“阻力”和“阻尼”的內(nèi)涵。

2、阻尼振動是指振動能量不斷消耗的振動.

在實際問題中，如彈簧振子。由于空氣或臺面及彈簧內(nèi)部的摩擦力存在。

振動的機械能會逐漸減小，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.這樣所得出的振動曲線不再是等幅

的正弦曲線，而是振幅逐漸衰減的曲線，物體做振幅不斷減小的振動。其振

動頻率也不再是固有頻率。而是小于固有頻率，這才是真正意義上的阻尼振

動.如果從能量消耗的意義上來說：除了上述由于摩擦和介質(zhì)阻力的作用消

耗振動能量.出現(xiàn)減幅振動外，另外還有一種阻尼振動，由于振動能量向外

傳播，相當于振源把能量以波動的形式向司囤輻射出去，這種幅射消耗振源

的能量，因而也可以等效為一種陽尼振動.因此阻尼振動是指振動能量不斷

消耗的振動，不單指因摩擦力、介質(zhì)阻力的存在而消耗能量的振動.

3、等幅振動一定是無阻尼振動嗎？

教材中指出.如果我們能夠根據(jù)物體在振動過程中消耗能量的情況下不斷

補充能量，那么雖然有摩擦和其他阻力，物體也可以繼續(xù)做等幅振動，等幅

振動也叫無阻尼振動，從能量的觀點來說：就是一方面介質(zhì)阻力、摩擦阻力

做負功消耗振動能量，另一方面驅(qū)動力做正功，不斷補充能量，一個周期中

消耗振動能量與補充能量恰好相等，因而振幅保持不變，所以從這個意義上

講，等幅振動不一定就是無阻尼振動。

（六）對公式T=2nA的詮釋

從所周知，構(gòu)成單擺必須滿足的三個條件是：

①擺球線度比擺線長度短得多；

②擺線質(zhì)量可以忽略；

③擺線的伸縮可以忽略；

單擺做簡諧運動必須滿足的三個條件是：

①空氣阻力可以忽略；

②擺動角度小于5°；

③單擺在同一豎直面內(nèi)擺動；

設(shè)懸點到球心相距1，重力加速度為g，擺球質(zhì)量為m,擺角為0,則單擺

在各種情況下的周期。

1、擺球線度不能忽略，其他條件都滿足7=2/匡三更（R為擺球半徑）

當時,2/?2?5I2,T=2^~.

2、擺線質(zhì)量不能忽略，其他條件都滿足

【2萬焉黑為擺線質(zhì)量）

當團’《，九時,4m+〃?'=2(m'+2m),

上式T=2巴匹

3、擺線的伸縮不能忽略，其他條件滿足上二幺絲+“=o

dt2rdtdtr

只有r=/=常量時，①②變?yōu)?

4、空氣阻力不能忽略，其他條件都滿足T=1-

當空氣阻力忽略，萬=」一=0,7=2巴,

2ml\g

5、擺角e較大，其他條件都滿足

T=2乃J—（1+—sin*"―—+?,,）

n42

上式為一無窮級數(shù)，當。0較大時，周期并不等于27收；只有當睚很小

時，上式中第二項及以后電呸的高次毒項完全可以忽略，這時才有

2

『出

6、單擺不在同一豎直平面內(nèi)振動，其他條件都滿足

X?y2

2T+—'~^=17橢圓

x0（v0/處廣

如：t=0,y=Offt,x=x0cosd）0t,y=0,周期為7=2乃產(chǎn)

綜上所述，單擺且做簡諧運動要滿足上述幾個條件方可。

（七）簡諧運動的表達式——位相觀點

在振動的研究中，位相的概念很重要，質(zhì)點的振動狀態(tài)當然可以以位置

和速度來表征，但常用的卻是一種更方便的方法，即用位相來表征振動狀

態(tài)，質(zhì)點在振動一周期之內(nèi)所經(jīng)歷的狀態(tài)沒有一個是相同的，這相當于位相

經(jīng)歷著從0到2n的變化，這從簡諧運動的x-t圖可以看出這一點，在一個

周期內(nèi)沒有兩個時刻的質(zhì)點各個物理量都相同，所以，各個時刻的位相也不

同，要尋求與某一時刻完全相同的狀態(tài)，需要到另一個周期中去找。

位相差夕'-夕可正可負，正的話說超前，負的話說落后，當夕'=夕時，我

們稱這兩振動為同相或同步。當=乃時，兩個振動相差半周期，稱為反

相的簡諧運動。

以x=4sin（"+夕）表示質(zhì)點簡諧運動的三角函數(shù)表達式，則：

簡諧運動的速度為

dx、

v=—=（a\cos（<yr+<p）

dt

上式也可寫成

v=vmcos(6Jf+8)=-vmsin(⑨+(p+~)

式中5=,稱為速度振幅。

簡諧運動的加速度為：

dvd2x2.■,、./,、

a=—=——=-a)Asin(<?t+<p)=a?,sin("+夕士))

dtdt2

式中a,“=a)2A,稱為加速度振幅。

綜上所述，還可得速度的位相比位移的位相多一項三，加速度的位相

2

比位移的位相多一項門。我們稱速度的位相比位移的位相超前g;加速度的

位相則比位移的位相超前口(或落后”)，也就是說加速度與位移反相。

(A)簡諧運動的合成

1、同方向同頻率的兩個簡諧運動的合成(以余弦為例)

設(shè)：X]=A|cos(or+/)

x2=A2COS(6ZJT+夕2)

合成X=x{+x2=A]COS⑷/+夕])+42C0S(6X+(p2)

=Acos(fWf+(p)

式中A=JAJ+422+24]42cos(@2_仍)

Asin(p、+4)sin(p->

tan(p=}

cos(p{+A2COS(p2

2、同方向不同頻率的兩個簡諧運動的合成。(和跟你接近)

設(shè)：X]=A]cos(幼f+(p)

x2=A2cos（gi+0）

合成X=X]+x2=4]COS（如+夕）+42COS（G27+9）

為方便，設(shè)A=A2=a,則上式可寫成

a)一例、,g+Oi

x=2acos（2f）cos（，2工t+6

2

-Acos(色t+(p)

其中：A=2acos("j"r)它是緩慢地作周期性變化的。

3、相互垂直的同頻率的簡諧運動的合成

設(shè)：x=A}cos（twt+夕]）

y=A2cos（④+夕2）

消去3得到直角坐標方程

，y2盯.2/、

-7+-r-2~T~7~COS（92一夕i）=sin（（p2-（p\）

A」A24A2

一般的說，上述方程是橢圓方程

（1）敕-附=0,上式變?yōu)?/p>

CT：。

AA2

亦即二二上

A】A2

因此，質(zhì)點的軌道是一條宜線

（2）（p「$\=g上式變?yōu)?/p>

工一上=1

4/^22

因此，質(zhì)點的軌跡是以坐標軸為主軸的橢圓。

（九）拍和拍頻

1、拍：它是一種重要的振動合成的現(xiàn)象。兩個振動方向相同的簡諧振動，

若它們的頻率之和遠大于它們的頻率之差時，合振動的振幅發(fā)生周期性的、

明顯的變化，這種現(xiàn)象稱為“拍”。設(shè)有兩個頻率相近，振幅相等，初位相

相同和振動方向相同的諧振動，如下式

xl=A0cos（3lt+6）

x2=A0cos（32t+。）

它們疊加的結(jié)果是

x=X]+町=2A0cos-——-tcost+Q

合振動不是簡諧的，因為合振幅

A=2A0cos21m■膈或能量的周期性變化稱為拍。因振幅（正值）的周

期為五，故拍的頻率

3I-儲

為兩振動之差。若兩個頻率相差不多，拍的頻率便較小。當兩個頻率相差很

小的音叉同時振動時，聲音強度有節(jié)奏的時強時弱現(xiàn)象就是聲拍，利用這個

現(xiàn)象可以校準樂器的頻率或進行聲頻的測量。在聲學(xué)中，拍曾稱為拍音、升

沉和念。

2、拍頻：同向進行之波列頻率接近時，其干涉作用形成定時強弱的規(guī)律。

它每秒間的拍數(shù)稱為“拍頻”，即為二波頻率之差。若使一發(fā)聲體每秒之振

動數(shù)為m,另一發(fā)聲體每秒之振動數(shù)為n,而m較n大，此兩聲波相合時，

一秒間所聞之音數(shù)x,則聞一次音所需之時間為工秒，在此時間內(nèi)二發(fā)音體

X

各振動巴：次，且此時間內(nèi)振動數(shù)大的發(fā)音體多振動一次，故得

XX

mn

—=—+1

xx

/.x=m-n

例如兩個音叉的頻率，一為251,一為250,當同時敲兩音叉時所合成

之聲波，其拍頻為lo

（十）關(guān)于月相變化的討論

在本章第五節(jié)“相位”之后，通過一幅圖片提出了一個問題：你能不能

根據(jù)月相判斷：這張照片是在黃昏拍攝的還是在黎明拍攝的?

要回答這一問題，必須明確日、地、月三球

的相對運動規(guī)律，以及月相變化規(guī)規(guī)律：

1、日、地、月球的相對運動

日、地、月球的運動如圖所示，地球繞太

陽運動的公轉(zhuǎn)軌道平面（黃道面）和月球繞地球

運動的公轉(zhuǎn)軌道平面（白道面）的傾角0在

4°51'?5°19'之間，平均值為5°

19',這個角很小，因此，在討論

圖1一11

月球和地球相對太陽運動對月相變化的影

響時，可以忽略這個夾角。

月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為27.3天，在此時相同的時間內(nèi)地球繞太陽公轉(zhuǎn)約

30°,分析一個月內(nèi)月相變化，可以考慮地球自轉(zhuǎn)而忽

略地球公轉(zhuǎn)，一個月內(nèi)，月球相對地球的位置不斷變化，月球本身不發(fā)光，

只是反射太陽光，因此地球上的觀測者聽見的月球被照亮部分也不斷變化，

從而產(chǎn)生月亮的圓缺變化，即形成周期性變化月相，如圖1一11所示：

2、月相的形成

月球被太陽照亮的部分始終是半個球，但是，從地球上看到的月相為什

么是不斷變化的？

下面結(jié)合圖1—11分析一個月內(nèi)月相的變化規(guī)律.圖1一11中的中心

天體是地球，中間一圈表示月球在公轉(zhuǎn)軌道上的不同位置。無論月球在哪一

個位置，迎著太陽的半個球總是亮的，背著大陽的半個球總是暗的，另外一

圈是人們從地球上（沿圖1一11中的虛線）看到的相.

在新月位置A（農(nóng)歷每月初一），月球位于太陽和地球之間，月球上黑暗的

一面剛好向著地球上的觀察者，因此看不見月亮，離開新月后，以地球和太

陽的質(zhì)心連線為參照標準，由于月球繞地球公轉(zhuǎn)向東運行，觀察者將會看到

蛾眉月在太陽的東邊，凸面向著太陽；若蛾眉月和太陽同在天空.則月光將

淹沒在日光中，我們看不到蛾眉月。只有當太陽落山（此時觀看在圖1一11

中E處）后一段時間長能在西方天空看到月亮.隨著地球自轉(zhuǎn)，它落入地平

線以下，再過幾大，大約農(nóng)歷每月初七、八左右，隨著地球繼續(xù)運行，日、

地、月的相對位置成直角，如圖1一11中的位置B,地球上的觀察者恰好

看到月球的西半邊亮，成半圓形，這叫做上弦月，上弦月出現(xiàn)太陽東邊

90°,因此太陽落山時，它出現(xiàn)在正南天空，離地面較高，子夜時（觀察者

位于圖1—11中位置B）落人地平線以下，月相變成凸月，地球上觀察者看

到月亮的部分大于一半，農(nóng)歷每月十五、十六日，月球運行到與地球、太剛

同在一條直線上，且地球位于日、月之間時，如圖1—11中位置C,觀察

者可以看到一輪明月，稱為滿月，因此，傍晚太陽落山時，它剛好從東方地

平線上升起，子夜時在正南天空，第二天日出時（觀察者位于圖中位置G）月

球下落，整夜都可以看到月亮，再過兒天，月相變成凸月，不過，突出的方

向相反，半圓面指向地平面東邊，到了農(nóng)歷每月二十二、二十三日左右，

日、地、月球相再次變成直角，如圖1—11中位置D所示，月球在日、地

連線的西邊90°,觀察者看到的月相是下弦月，恰好是月球的東半邊亮，

呈半圓形，在子夜時它升起在東方地平線上，第二天日出時月亮恰好懸在南

方天空，過后幾天，在日出時會看到月亮逐漸變成凸面朝東的蛾眉月，而且

越來越偏東。直到下一個農(nóng)歷初一恢復(fù)新月。

3、月相變化.

每一個月內(nèi)，月亮同太陽一樣?xùn)|升西落，升落先后周期性變化，由于受

太陽光的影響，當日，月同在天空時，一般看不到月亮，但在太陽光較弱

時，如黎明、傍晚和薄云天氣，人們可以在白天看到月亮，一個月內(nèi)，月亮

升落的時間和它在天空中的位置，以及月亮升落的時間先后關(guān)系：如下表和

下圖所示

月相同太陽升落比較月升月落夜晚見月情形

新月同升同落清晨黃昏徹夜不見

滿月此起彼落黃昏清晨通宵可見

上弦月遲升后落正午半夜上牛夜西天

下弦月早升先落半夜正午下牛夜東天

圖1—12

上弦q

圖1—13

上圖1-12表示農(nóng)歷上半月傍晚所見月亮，上圖1—13表示農(nóng)歷下半

月黎明所見月亮.

由以上分析，可以確定課本上的照片拍攝時間是冬季農(nóng)

歷下旬黎明，拍攝地為北半球。

（H^一）三個小實驗

1、用砂擺觀察運動過程中的速度變化

如圖9一25,用硬紙板卷一個漏斗，用雙線將其懸掛起來，

內(nèi)裝細砂.可以看到在砂擺擺動過程中，漏砂在桌面上堆圖1—14

積的情況是兩側(cè)多中間少.這說明擺在平衡位置上的速度最大.

2、吊球的實驗

用一根橡皮筋吊住一個重物（如小球或小塑料瓶），將橡皮筋的另lilt

一端拴在手的中指根部，把重物吊起來.然后像拍球一樣上下擺3

|U

動手掌，如圖9—26所示.開始以很小的頻率拍球（如0.5Hz左

圖1一15

右），再逐步提高頻率，在每次改變頻率后，保持穩(wěn)定一段時間，

并盡力維持驅(qū)動的振幅大致相等.觀察球作受迫振動的情

況，是否驅(qū)動的頻率越高，球（振子）的振幅越大?

3、耦合擺

【實驗原理】

擺動的物體具有一定的能量，這種能量可以通過一定的方式傳遞給其它的物

體。

【實驗?zāi)康摹?/p>

觀察單擺的能量傳遞現(xiàn)象。耦合的方式不同，能量傳遞的方式也就不同。

【實驗器材】

兩個完全相同的瓶子；細繩；一根棍；兩把椅子。

【實驗步驟】

（1）將兩個瓶子灌滿水，并用蓋子蓋緊，使水不能在瓶中晃動。如果沒有

合適的蓋子，也可以在瓶子中放一些沙子代替水。

（2）將兩把椅子的椅背相對，將棍橫架在椅背上，不要將棍與椅背固緊，

如圖15.1.2所示。

mm

（3）剪兩根長度相等的細繩，系在瓶口，并將瓶子懸吊在棍上。注

意：一定要使懸吊瓶子的繩等長。

（4）當兩個瓶子都靜止后，一只手輕輕扶住一個瓶子，而另一只手將

第二個瓶子拉起后放手，使它在垂直于棍的平面內(nèi)擺動。

（5）將扶瓶的手也放開。然后，觀察兩個瓶子的運動情況。

注意觀察：第二個瓶子的擺動幅度將逐漸減??；而第一個瓶子將由靜止

慢慢擺動起來，其擺動幅度逐漸加大；最終，兩個瓶子的擺動情況（擺動的

幅度與擺動的速度等）將完全相同，根本分不出它們擺動的先后次序。

（6）剪第三根繩，系在前兩根繩的中間，與棍平行。

注意：第三根繩不要松弛，但也不要拉得太緊，應(yīng)使兩根豎直的繩仍能

保持相互平行。

（7）重復(fù)第4步的實驗，并觀察兩個瓶子的運動情況。

（8）調(diào)節(jié)第三根繩的上下位置，再重復(fù)第4步的實驗，并觀察兩個瓶

子的運動情況。

注意觀察：起初，第二個瓶子的擺動幅度逐漸減小，并接近停止擺動；

與此同時，第一個瓶子由靜止慢慢擺動起來，其擺動幅度逐漸加大到與第二

個瓶子的初始擺動幅度幾乎相同。然后，二者的情況完全對調(diào)，即第一個瓶

子的擺動幅度逐漸減小，并接近靜止；與此同時，第二個瓶子的擺動幅度逐

漸加大，最后兒乎達到與第一個瓶子的初始擺動幅度相同。兩個瓶子就這樣

交替擺動，周而復(fù)始。

三、網(wǎng)頁導(dǎo)航

1.http:〃/Profbssoi7Vibration/iodex.htm

動力機械振動

2.http:〃www./yyh/ziliao/kj/wuli/ixbjxyd038.swf

機械振動課件

3.http:〃/channel/study/sciencepaper/newpagel.htm

有趣的共振現(xiàn)象

4./0804/hlml/a04/a04.html

聲學(xué)

四、例題解析

［經(jīng)典試題］

例1：一彈簧振子做簡諧運動，周期為T,下述正確的是：（）

A.若t時刻和（t+at）時刻振子運動位移的大小相等、

方向相同，則at一定等于T的整數(shù)倍

B.若t時刻和（t+at）時刻振子運動位移的大小相等、

方向相反，則At一定等于工的整數(shù)倍

2

C.At=T,則在t時刻和（t+^t）時刻振子運動的加速度

一定相等

D.若入=二,則在t時刻和（t+Z\t）時刻彈簧的長度一定

2

相等

解析：圖所