概率論習(xí)題全部

本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率論習(xí)題全部習(xí)題一

1

習(xí)題一

1.用集合的形式寫出以下隨機試驗的樣本空間與隨機事件A：

（1）擲兩枚均勻骰子，觀測朝上面的點數(shù)，事件A表示“點數(shù)之和為7〞；

（2）記錄某電話總機一分鐘內(nèi)接到的召喚次數(shù)，事件A表示“一分鐘內(nèi)召喚次數(shù)不超過3次〞；

（3）從一批燈泡中隨機抽取一只，測試它的壽命，事件A表示“壽命在2000到2500小時之間〞.

2.投擲三枚大小一致的均勻硬幣，觀測它們出現(xiàn)的面.（1）試寫出該試驗的樣本空間；

（2）試寫出以下事件所包含的樣本點：A={至少出現(xiàn)一個正面}，B={出現(xiàn)一正、二反}，C={出現(xiàn)不多于一個正面}；

（3）如記Ai={第i枚硬幣出現(xiàn)正面}（i=1，2，3），試用A1,A2,A3表示事件A，B，C.3.袋中有10個球，分別編有號碼1～10，從中任取1球，設(shè)A＝{取得球的號碼是偶數(shù)}，B＝{取得球的號碼是奇數(shù)}，C={取得球的號碼小于5}，問以下運算表示什么事件：

（1）A?B；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）B?C；（7）A?C.3??1??14.在區(qū)間[0,2]上任取一數(shù)，記A??x?x?1?，B??x?x??，求以下事件的表

2??2??4達(dá)式：（1）A?B；（2）AB；（3）AB，（4）A?B.

5.用事件A，B，C的運算關(guān)系式表示以下事件：

（1）A出現(xiàn)，B，C都不出現(xiàn)；（2）A，B都出現(xiàn)，C不出現(xiàn)；（3）所有三個事件都出現(xiàn)；

（4）三個事件中至少有一個出現(xiàn)；（5）三個事件都不出現(xiàn)；（6）不多于一個事件出現(xiàn)；（7）不多于二個事件出現(xiàn)；

（8）三個事件中至少有二個出現(xiàn).

6.一批產(chǎn)品中有合格品和廢品，從中有放回地抽取三個產(chǎn)品，設(shè)Ai表示事件“第i次抽到廢品〞，試用Ai的運算表示以下各個事件：

（1）第一次、其次次中至少有一次抽到廢品；（2）只有第一次抽到廢品；（3）三次都抽到廢品；

（4）至少有一次抽到合格品；（5）只有兩次抽到廢品.

7.接連進(jìn)行三次射擊，設(shè)Ai={第i次射擊命中}（i＝1，2，3），試用A1,A2,A3表示下述事件：

（1）A={前兩次至少有一次擊中目標(biāo)}；

（2）B={三次射擊恰好命中兩次}；

2工程數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計簡明教程（其次版）

（3）C={三次射擊至少命中兩次}；（4）D={三次射擊都未命中}.

8.盒中放有a個白球b個黑球，從中有放回地抽取r次（每次抽一個，記錄其顏色，然后放回盒中，再進(jìn)行下一次抽?。?記Ai={第i次抽到白球}（i＝1，2，?，r），試用{Ai}表示下述事件：

（1）A={首個白球出現(xiàn)在第k次}；（2）B={抽到的r個球同色}，

其中1?k?r.

*9.試說明什么狀況下，以下事件的關(guān)系式成立：（1）ABC=A；（2）A?B?C?A.

習(xí)題二

3

習(xí)題二

1.從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求其中恰有1件次品的概率.

2.一口袋中有5個紅球及2個白球.從這袋中任取一球，看過它的顏色后放回袋中，然后，再從這袋中任取一球.設(shè)每次取球時口袋中各個球被取到的可能性一致.求：

（1）第一次、其次次都取到紅球的概率；

（2）第一次取到紅球、其次次取到白球的概率；（3）兩次取得的球為紅、白各一的概率；（4）其次次取到紅球的概率.

3.一個口袋中裝有6只球，分別編上號碼1～6，隨機地從這個口袋中取2只球，試求：（1）最小號碼是3的概率；（2）最大號碼是3的概率.

4.一個盒子中裝有6只晶體管，其中有2只是不合格品，現(xiàn)在作不放回抽樣.接連取2次，每次隨機地取1只，試求以下事件的概率：

（1）2只都是合格品；

（2）1只是合格品，一只是不合格品；（3）至少有1只是合格品.

5.從某一裝配線上生產(chǎn)的產(chǎn)品中選擇10件產(chǎn)品來檢查.假定選到有缺陷的和無缺陷的產(chǎn)品是等可能發(fā)生的，求至少觀測到一件有缺陷的產(chǎn)品的概率，結(jié)合“實際推斷原理〞解釋得到的上述概率結(jié)果.

6.某人去銀行取錢，可是他忘掉密碼的最終一位是哪個數(shù)字，他嘗試從0～9這10個數(shù)字中隨機地選一個，求他能在3次嘗試之中解開密碼的概率.

7.擲兩顆骰子，求以下事件的概率：（1）點數(shù)之和為7；（2）點數(shù)之和不超過5；（3）點數(shù)之和為偶數(shù).

8.把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機地分派到5間空置的宿舍中去，假設(shè)每間宿舍最多可住8人，試求這三名學(xué)生住在不同宿舍的概率.

9.總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語，今偶遇其中的三位秘書，求以下事件的概率：（1）事件A={其中恰有一位精通英語}；（2）事件B={其中恰有兩位精通英語}；（3）事件C={其中有人精通英語}.

10.甲袋中有3只白球，7只紅球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只紅球，9只黑球，現(xiàn)從兩個袋中各取一球，求兩球顏色一致的概率.

11.有一輪盤游戲，是在一個劃分為10等份弧長的圓輪上旋轉(zhuǎn)一個球，這些弧上依次標(biāo)著0～9十個數(shù)字.球中止在那段弧對應(yīng)的數(shù)字就是一輪游戲的結(jié)果.數(shù)字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂為綠色，奇數(shù)涂為紅色，偶數(shù)涂為黑色.事件A={結(jié)果為奇數(shù)}，事件B={結(jié)果為涂黑色的數(shù)}.求以下事件的概率：

（1）P(A)；（2）P(B)；（3）P(A?B)；（4）P(AB).

12.設(shè)一質(zhì)點一定落在xOy平面內(nèi)由x軸，y軸及直線x+y=1所圍成的三角形內(nèi)，而落在這三角形內(nèi)各點處的可能性相等，即落在這三角形內(nèi)任何區(qū)域上的可能性與這區(qū)域的面積成正比，計算這質(zhì)點落在直線x=

1的左邊的概率.313.甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位?？?h，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地到達(dá)，試求這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必需等待的概率.

4工程數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計簡明教程（其次版）

14.已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求：

（1）P(A),P(B)；（2）P(A?B)；（3）P(AB)；（4）P(BA),P(AB)；（5）P(AB).15.設(shè)A，B是兩個事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，P(A?B)=0.8，試求：P（A-B）與P（B-A）.

*16.盒中裝有標(biāo)號為1~r的r個球，今隨機地抽取n個，記錄其標(biāo)號后放回盒中；然后再進(jìn)行其次次抽取，但此時抽取m個，同樣記錄其標(biāo)號，這樣得到球的標(biāo)號記錄的兩個樣本，求這兩個樣本中恰有k個標(biāo)號一致的概率.

習(xí)題三

5

習(xí)題三

1.已知隨機事件A的概率P(A)?0.5，隨機事件B的概率P(B)?0.6及條件概率

P(BA)?0.8，試求P(AB)及P(AB).

2.一批零件共100個，次品率為10％，每次從中任取一個零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.

3.某人有一筆資金，他投入基金的概率為0.58，購買股票的概率為0.28，兩項投資都做的概率為0.19.

（1）已知他已投入基金，再購買股票的概率是多少？（2）已知他已購買股票，再投入基金的概率是多少？

4.罐中有m個白球，n個黑球，從中隨機抽取一個，若不是白球則放回盒中，再隨機抽取下一個；若是白球，則不放回，直接進(jìn)行其次次抽取，求其次次取得黑球的概率.

5.一個食品處理機制造商分析了好多消費者的投訴，發(fā)現(xiàn)他們屬于以以下出的6種類型:

保質(zhì)期內(nèi)保質(zhì)期后擦傷18％12％投訴原因凹痕13％22％外觀32％3％假使收到一個消費者的投訴，已知投訴發(fā)生在保質(zhì)期內(nèi)，求投訴的原因是產(chǎn)品外觀的概率.

6.給定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，驗證下面四個等式：

P(AB)?P(A)；P(AB)?P(A)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(B).

7.已知甲袋中裝有6只紅球，4只白球，乙袋中裝有8只紅球，6只白球.求以下事件的概率：（1）隨機地取一只袋，再從該袋中隨機地取一只球，該球是紅球；（2）合并兩只口袋，從中隨機地取1只球，該球是紅球.

8.設(shè)某一工廠有A，B，C三間車間，它們生產(chǎn)同一種螺釘，每個車間的產(chǎn)量，分別占該廠生產(chǎn)螺釘總產(chǎn)量的25％、35％、40％，每個車間成品中次貨的螺釘占該車間出產(chǎn)量的百分比分別為5％、4％、2％.假使從全廠總產(chǎn)品中抽取一件產(chǎn)品，（1）求抽取的產(chǎn)品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是車間A，B，C生產(chǎn)的概率.

9.某次大型體育運動會有1000名運動員參與，其中有100人服用了違禁藥品.在使用者中，假定有90人的藥物檢查呈陽性，而在未使用者中也有5人檢驗結(jié)果顯示陽性.假使一個運動員的藥物檢查結(jié)果是陽性，求這名運動員確實使用違禁藥品的概率.

10.發(fā)報臺分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號“*〞和“—〞.由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號“*〞時，收報臺未必收到信號“*〞，而是分別以概率0.8和0.2收到信號“*〞和“—〞.同樣，當(dāng)發(fā)出信號“—〞時，收報臺分別以概率0.9和0.1收到信號“—〞和“*〞.求：（1）收報臺收到信號“*〞的概率；（2）當(dāng)收報臺收到信號“*〞時，發(fā)報臺確是發(fā)出信號“*〞的概率.

*11.甲袋中有4個白球6個黑球，乙袋中有4個白球2個黑球.先從甲袋中任取2球投入乙袋，然后再從乙袋中任取2球，求從乙袋中取到的2個都是黑球的概率.

12.設(shè)事件A,B相互獨立.證明：A,B相互獨立，A,B相互獨立.

16

工程數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計簡明教程（其次版）

獨立使用，則求有效壽命U?max(X,Y)的密度函數(shù).

18.設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且都聽從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，記Z是以X，Y為邊長的矩形的面積，求Z的密度函數(shù).

*19.設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且都聽從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，求Z?密度函數(shù).

（提醒：使用FZ(z)?P(Z?z)?P(Z?zY?y)fY(y)dy?X與Y的獨立性.）

X的Y??P(X?yz)dy，其中用到

01習(xí)題七

17

習(xí)題七

1.設(shè)隨機變量X的分布律為

X-101216212概率131611214求：（1）E(X);（2）E(?X?1);（3）E(X);（4）D(X).

2.設(shè)隨機變量X聽從參數(shù)為?的泊松分布（??0），且已知E((X?2)(X?3))?2，求?的值.

3.設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，試求X2的數(shù)學(xué)期望E(X2).

4.國際市場每年對我國某種出口商品的需求量X是一個隨機變量.它在[2000，4000]（單位：噸）上聽從均勻分布.若每售出一噸，可得外匯3萬美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費1萬美元.問應(yīng)組織多少貨源，才能使平均收益最大？

5.一臺設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2，0.3.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X).

6.設(shè)隨機變量X有分布律:

pk?P(X?k)?pqk?1(k?1,2,?),

其中0?p?1,q?1?p，稱X聽從具有參數(shù)p的幾何分布，求E(X)和D(X).（提醒：

??1?2???由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)的性質(zhì)可知?kqk?1???qk????,

1?qk?1?k?0????3?????1??k??q?q?2??)????1?q??k?0????1?q???k(k?1)qk?1?k?2?

127.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)?e?x，求:（1）E(X);（2）E(X)的值.

2?2(1?x),0?x?1,8.某商店經(jīng)銷商品的利潤率X的密度函數(shù)為f(x)??求E(X)，

0,其他,?D(X).

9.設(shè)隨機變量X聽從參數(shù)為?的泊松分布，求E(X?1).

?118

工程數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計簡明教程（其次版）

10.設(shè)隨機變量X聽從參數(shù)為p的幾何分布，求E(Y).M?0為整數(shù)，Y?max(X,M)，*11.設(shè)隨機變量X有分布律：

?M??N?M?????k??n?k??pk?P(X?k)?,k?0,1,2,?,n?M，其中n?M?min(n,M).?N????n???n?n?n?1?n(n?1)?n?2???提醒:使用????????.?

mm?1m?2mm(m?1)????????*12.將已寫好n封信的信紙隨機地裝入已寫好的n個收信人的對應(yīng)地址的信封，若有

一封信的信紙的收信人與信封一致時，稱之為有一個配對.今X為n封已隨機裝好的信的配對數(shù)，求E(X),D(X).

n??1,第i封信配對,(i?1,2,?,n),有X??Xi,先求E(Xi),E(XiXj)??提醒:記Xi??0,其他i?1??及cov(Xi,Xj),使用公式D(X)=?D(Xi)?2?i=1i?1nn?1?cov(X,X).?1j?j?j?1?n

?e1?x,x?0,13.設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)??求E(X)，E(2X)，E(X?e?2X)，

?0,x?0,D(X).

14.設(shè)隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布律為:

YX0100.30.410.20.1求E(X),E(Y),E(X?2Y),E(3XY),D(X),D(Y),cov(X,Y),?X,Y.

15.盒中有3個白球和2個黑球，從中隨機抽取2個，X，Y分別是抽到的2個球中的白球數(shù)和黑球數(shù)，求X與Y之間的相關(guān)系數(shù)?X,Y.

16.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，它們的密度函數(shù)分別為?2e?2x,x?0,?4e?4y,y?0,fX(x)??fY(y)??求D(X?Y).

,x?0,,y?0,00??*17.設(shè)隨機變量X1,?,Xn獨立，具有公共的（0，1）上的均勻分布，令Y?minXi,1?i?n求E(Y),D(Y).

習(xí)題七

19

?????1??xxe,?*18.設(shè)隨機變量X有密度函數(shù)f(x)???(?)?0,?x?0,，（??0，??0為常數(shù)）其他則稱X聽從具有參數(shù)的伽瑪分布，記為X~?（?，?），其中?(?)=（?，?）??0y??1e?ydy.

有性質(zhì)：對任意實數(shù)x，有?(x?1)?x?(x)，特別對正整數(shù)n有?(n?1)?n!.今設(shè)

Y~?(?1,?)，Z~?(?2,?)，且Y與Z相互獨立，W???Z??1??提醒:使用獨立性,有E(W)?E?E(Z)E????.???Y??Y???Z，求E(W)Y*19.設(shè)隨機變量X聽從參數(shù)為（a，b）的貝搭分布，即有密度

??(a?b)a?1x(1?x)b?1,0?x?1,?f(x)???(a)?(b)求E(X),D(X).[提醒：已知貝搭函數(shù)

?0,其他,?1??(?)?(?)???1??1提醒:已知貝搭函數(shù)?(?,?)?t(1?t)dt,有關(guān)系式?(?,?)=.???0?(?+?)??????20.驗證：當(dāng)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量時，按公式E(X)??公式E(X)??布密度，即

證明：E(X)??????????xf(x,y)dydx及按

xf(x)dx算得的E(X)值相等.這里，f(x,y),f(x)依次表示(X,Y),X的分

??????????xf(x,y)dydx??xf(x)dx

????21.設(shè)二維隨機變量(X,Y)聽從在A上的均勻分布，其中A為x軸，y軸及直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域，求：（1）E(X);（2）E(?3X?2Y);（3）E(XY)的值.

?12y2,0?y?x?1,22.設(shè)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y)??求E(X)，E(Y)，0,其他.?E(XY)，E(X2?Y2)，D(X)，D(Y).

23.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且E(X)?E(Y?)，1D(X)?2，D(Y)?3.求：（1）E(X),E(Y)；（2）D(XY).

24.袋中有2個外形完全一致的球，其中??個標(biāo)有數(shù)字k（k=0，1，?，n），從中不放回抽取m次（每次取1個），以X表示取到的m個球上的數(shù)字之和，求E（X）.

n22?n??k?20

工程數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計簡明教程（其次版）

（提醒：記Xi=第i次抽到的球上的數(shù)字，則X??X,E(X)??E(X).）

iii?1i?1mm25.設(shè)D(X)?25，D(Y)?36，?(X,Y)?0.4，求：（1）D(X?Y);（2）D(X?Y).26.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且X~N(1,1)，Y~N(?2,1)，求

E(2X?Y),D(2X?Y).

27.設(shè)隨機變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計P(X?E(X)?7.5)的值.28.設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，根據(jù)切比雪夫不等式估計P(X?Y?6)的值.

29.在次品率為

1的一大批產(chǎn)品中，任意抽取300件產(chǎn)品，利用中心極限定理計算抽取6的產(chǎn)品中次品件數(shù)在40與60之間的概率.

30.有一批鋼材，其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從鋼材中隨機取出100根，試用中心極限定理求小于3m的鋼材不超過30根的概率.

31.有3000個同齡的人參與某保險公司的人壽保險，保險期限為1年.假設(shè)在1年內(nèi)每人的死亡率為0.1％，參與保險的人在投保日須交付保費10元，被保險人在保險期間死亡時家屬可以從保險公司領(lǐng)取2000元.試用中心極限定理求保險公司蝕本的概率.

32.某種電器有100個獨立的電源可供使用.每個電源的壽命聽從均值為10h的指數(shù)分布，求這個電器的使用總壽命大于1200h的概率.

1?x?,0?x?1,?33.設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)??求X的中位數(shù).2其他,??0,

習(xí)題十二

31

（2）給出火災(zāi)損失y關(guān)于距消防站距離x的最小二乘回歸直線；

?；（3）求回歸模型隨機誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差估計?*（4）作出平方和分解并列出方差分析表；

（5）作回歸系數(shù)b的顯著性T檢驗，取顯著性水平為5%.

4.一家保險公司十分關(guān)心其總公司營業(yè)部加班的狀況，決定認(rèn)真調(diào)查一下現(xiàn)狀.經(jīng)過10周時間，收集了每周加班工作時間的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周簽發(fā)的新保單數(shù)目，y為每周加班工作時間（h）（假定每周加班時間聽從正態(tài)分布）

序號12345新保單數(shù)x8252151070550480每周加班時間y3.51421序號678910新保單數(shù)x92013503256701215每周加班時間y34.51.535（1）構(gòu)造每周加班工作時間y關(guān)于每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x的散點圖，該散點圖是否提醒兩者之間存在線性關(guān)系？

（2）給出每周加班工作時間y關(guān)于每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x的最小二乘回歸直線；*

（3）作回歸系數(shù)b的顯著性F檢驗，并列出方差分析表；（4）給出b的置信水平為90%的置信區(qū)間；

（5）該公司預(yù)計下一周簽發(fā)新保單x0?1000張，給出需要的加班時間的置信水平為95%的預(yù)計區(qū)間.

5.為研究某一大都市報開設(shè)周日版的可行性，獲得了35種報紙的平日和周日的發(fā)行量信息（以千為單位）.數(shù)據(jù)如下表所示:

序號123456789101112131415161718平日發(fā)行量x391.952516.981355.628238.555391.952537.78733.775198.832252.624206.204231.177449.755288.571185.7361164.388444.581412.871272.28周日發(fā)行量y488.506798.198235.084299.451488.506559.0931133.249348.744417.779344.522323.084620.752423.305202.6141531.527553.479685.975324.241序號1920212223242526272829303132333435平日發(fā)行量x781.7961209.225825.512223.748354.843515.523220.465337.672197.12133.239374.009273.844570.364391.286201.86321.626838.902周日發(fā)行量y983.241762.015960.308284.611407.76982.663557440.923268.06262.048432.052