《試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理》lecture6

本文格式為Word版，下載可任意編輯——《試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理》lecture6Lecture6——方差分析

一、方差分析概述

.方差分析的概念

–在科學(xué)試驗中往往要探討不同試驗條件或處理方法對試驗結(jié)果的影響。尋常是比較不同試驗條件下樣本均值間的差異。

–方差分析是檢驗多組樣本均值間的差異是否具有統(tǒng)計意義的一種方法。

例如：.研究幾種藥物對某種疾病的療效；.農(nóng)業(yè)研究土壤、肥料、日照時間等因素對某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響；.不同飼料對牲畜體重增長的效果等。.方差分析的基本思想

–若被考察的因素對試驗結(jié)果沒有顯著的影響，即所探討的各正態(tài)總體的均值相等，則試驗數(shù)據(jù)的波動完全由隨機誤差引起；

–假使各正態(tài)總體均值不全相等，則說明試驗數(shù)據(jù)的波動除了隨機誤差的影響外，還包含被考察因素效應(yīng)的影響。

–為此，需要構(gòu)造一個適當?shù)慕y(tǒng)計量，來描述數(shù)據(jù)的波動程度。將這個統(tǒng)計量分解為兩部分：

一部分是純隨機誤差造成的影響，另一部分是除隨機誤差的影響外來自于因素效應(yīng)的影響。然后將這兩部分進行比較，假使后者明顯比前者大，就說明因素的效應(yīng)是顯著的。.若方差分析只針對一個因素進行，稱為單因素方差分析。.假使同時針對多個因素進行，稱為多因素分析。在多因素方差分析中，雙因素方差分析里最常見的。.方差分析中進行檢驗假設(shè)的三個假定：–1、各個水平的觀測數(shù)據(jù)必需聽從正態(tài)分布：在水平Ａi下的數(shù)據(jù)是來自正態(tài)總體的一個樣本，i=1,2…,r。

–2、方差一致或者叫方差齊性：r個正態(tài)總體的方差相等。–3、隨機性：所有數(shù)據(jù)都相互獨立。

–在上述三個假定條件下，判斷不同正態(tài)總體是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的正態(tài)總體的均值是否相等。–假使總體的均值相等，可以期望樣本的均值也會很接近：.樣本的均值越接近，推斷總體均值相等的證據(jù)也就越充分；.樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分。

.方差分析的假設(shè)檢驗–零假設(shè)H0：m組樣本均值都一致，即μ1=μ2==μm；

–若備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，……，m)不全相等。.至少有一個總體的均值是不同的；.樣本分別來自均值不同的正態(tài)總體。

.方差分析的目的是要檢驗各個水平的均值μ1，μ2……μm是否相等，實現(xiàn)這個目的的手段是通過方差的比較。

.假使n個總體的均值相等，然希望n個樣本的均值比較接近，事實上，n個樣本的均值愈接近，就愈有證據(jù)得出結(jié)論：總體均值相等，反之，若n個樣本均值的差異愈大，就得出結(jié)論，總體均值不相等。.樣本均值變動性小→支持H0，樣本均值變動性大→支持H1。.方差分析基本原理

–方差分析的關(guān)鍵是對全部數(shù)據(jù)的變異程度進行分解。

–總平均：–試驗總差異:.總平方和

–組內(nèi)平均值：.

（sumofsquaresfortotal）

.表示了各試驗值與總平均值的偏差的平方和；.反映了試驗結(jié)果之間存在的總差異。–認為不同處理組的均值間的區(qū)別基本來源有兩個:

.（1）隨機誤差，如測量誤差造成的差異或個體間的差異，稱為組內(nèi)差異，用變量在各組的均值與該組內(nèi)變量值之偏差平方和的總和表示，記作SSe（sumofsquareforerror）。

.反映了在各水平內(nèi)，各試驗值之間的差異程度.由于隨機

誤差的作用產(chǎn)生

.（2）試驗條件，即不同的處理造成的差異，稱為組間差異。用變量在各組的均值與總均值之偏差平方和表示，記作SSA，（sumofsquareforfactorA）

.反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度；

.由于因素A不同水平的不同作用造成的。–三種離差平方和之間關(guān)系：

計算自由度（degreeoffreedom）–總自由度：dfT＝n－1–組間自由度：dfA＝r－1–組內(nèi)自由度：dfe＝n－r

–三者關(guān)系：dfT＝dfA＋dfe

–組內(nèi)SSe、組間SSa除以各自的自由度(組內(nèi)n-m，組間m-1，其中n為樣本總數(shù)，m為組數(shù))，得到其均方MSe和MSa。

–一種狀況是處理沒有作用，即各組樣本均來自同一總體，MSa/MSe≈1。另一種狀況是處理確實有作用，那么，MSa>>MSe。–MSa/MSe比值構(gòu)成F分布，用F值與其臨界值比較，推斷各樣本是否來自一致的總體。

–假使經(jīng)過計算結(jié)果組間均方遠遠大于組內(nèi)均方（MSa>>MSe），F(xiàn)>F0.05(dfa,dfe),p0.05不能拒絕零假設(shè)，說明樣本來自一致的正態(tài)總體，處理間無差異。

二、單因素方差分析

.一、建立假設(shè)–方差分析的第一步是建立假設(shè)。針對我們關(guān)心的問題提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。

–H0：μ1=μ2=……=μm各正態(tài)總體均數(shù)相等；–H1：μ1，μ2，……，μm各正態(tài)總體不全相等。

–注意：拒絕原假設(shè)，只說明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等。

.二、計算水平均值

–令表示第j種水平的樣本均值，則：，式中：xij為第j種水平下

的第i個觀測值，nj第j種水平的觀測值個數(shù)。

–計算總均值（總均值：是所有觀測值的總和除以觀測值的總數(shù)）

（注：各個樣本容量相等）

.三、計算離差平方和

–1、總離差平方和SST（SumofSquaresforTotal）

.

–2、誤差項離差平方和（組內(nèi)）SSE（SumofSquaresForError）

–3、水平項離差平方和（組間）SSA或SSb（SumofSquaresforfactorA）

–總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和(SSA)之間的關(guān)系:即：

SST=SSA+SSE–三個平方和的作用

.SST反映全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反映隨機誤差的大?。籗SA反映隨機誤差和系統(tǒng)誤差的大小

.假使原假設(shè)成立，則說明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會太大；假使組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機誤差，還有系統(tǒng)誤差。

.判斷因素的水平是否對其觀測值有影響，實際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小

.四、計算平均平方

–用離差平方和除以自由度即可得到平均平方

–SST、SSA、SSE之間的自由度存在著如下的關(guān)系：n-r=(r-1)+(n-r)

.五、方差分析表

–F分布與拒絕域

.六、統(tǒng)計結(jié)果分析

–把F值與Fa值比較：

.若FA＞F0.01(dfA，dfe)，稱因素A對試驗結(jié)果有十分顯著的影響，用“**〞號表示；

.若F0.05(dfA，dfe)＜FA＜F0.01(dfA，dfe)，則因素A對試驗結(jié)果有顯著的影響，用“*〞號表示；.若FA＜F0.05(dfA，dfe)，則因素A對試驗結(jié)果的影響不顯著。.單因素方差分析應(yīng)用實例

–為考察溫度對某種化工產(chǎn)品得率的影響，選取了五種不同的溫度，在同一溫度下各作三次試驗，試驗數(shù)據(jù)如表。試問溫度對得率有無明顯影響？

–yielddata.正態(tài)性檢驗

–shapiro.test(yield[temperature==\.方差齊性檢驗

–bartlett.test(yield~temperature,data=yielddata)

三、雙因素方差分析

.在大量實際問題中，需要考慮影響試驗數(shù)據(jù)的因素多于一個的情形。例如在化學(xué)合成反應(yīng)中，幾種原料的用量、反應(yīng)時間、溫度的控制等等都可能影響試驗結(jié)果，這就構(gòu)成多因素試驗問題。

.雙因素試驗的方差分析

–探討兩個因素對試驗結(jié)果影響的顯著性，又稱為二元方差分析。根據(jù)每種組合水平上的試驗次數(shù)，可以將其分為無重復(fù)試驗和重復(fù)試驗的方差分析。.雙因素方差分析的基本假定

–每個總體都聽從正態(tài)分布.對于因素的每一個水平，其觀測值是來自正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本

–各個總體的方差必需一致.對于各組觀測數(shù)據(jù)，是從具有一致方差的總體中抽取的–觀測值是獨立的。

雙因素無重復(fù)試驗的方差分析–數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

–分析步驟–1）提出假設(shè)

.對行因素提出的假設(shè)為：.H0:u1=u2=…=ui=…=uk(ui為第i個水平的均值)；.H1:ui(i=1,2,…,k)不全相等

.對列因素提出的假設(shè)為：.H0:m1=m2=…=mj=…=mr(mj為第j個水平的均值).H1:mj(j=1,2,…,r)不全相等–2）構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量.總誤差平方和

.因素A引起離差的平方和：

.因素B引起離差的平方和：

.誤差平方和：

.計算自由度

–SSA的自由度：dfA＝r－1–SSB的自由度：dfB＝s－1–SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）–SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1–dfT＝dfA＋dfB＋dfe.計算均方

.F檢驗

–3）統(tǒng)計決策.FA聽從自由度為（dfA,dfe)的F分布；.對于給定的顯著性水平a，查F分布表：Fa（dfA,dfe)，F(xiàn)a（dfB,dfe).若FA＞Fa（dfA,dfe)，則因素A對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；.若FB＞Fa（dfB,dfe)，則因素B對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；–（1）雙因素重復(fù)試驗方差分析試驗表

–（2）雙因素重復(fù)試驗方差分析的基本步驟.①計算平均值

.總平均：

.任一組合水平（Ai，Bj）上：

.Ai水平日：

.Bj水平日：.②計算離差平方和–總離差平方和：

–因素A引起離差的平方和：

–因素B引起離差的平方和：

–交互作用A×B引起離差的平方和：

.③計算自由度

–SSA的自由度：dfA＝r－1–SSB的自由度：dfB＝s－1–SSA×B的自由度：dfA×B＝(r－1)(s－1)–SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)

–SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1–dfT＝dfA＋dfB＋dfA×B＋dfe.④計算均方

.⑤F檢驗

–若FA＞Fa（dfA,dfe)，則認為因素A對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；–若FB＞Fa（dfB,dfe)，則認為因素B對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；–若FA×B＞Fa（dfA×B,dfe)，則認為交互作用A×B對試驗結(jié)果有顯著影響，否則無