東華理工大學第四章 隨機變量的數(shù)字特征

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一、選擇題

1．答案：（D）

解：由于D(X)?E(X2)?[E(X)]2，所以E(X2)?D(X)?[E(X)]2?3?1?4，故

E[3(X2)?20]?E[3(X2)]?E(20)?E3[(X2?)]20??3?420?.32?2.答案：（D）解：E(XY)?????????xyf(x,y)dxdy???0??0xye?(x?y)dxdy?[?xe?xdx]2?1

03.答案：（D）

解：Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)，故Cov(X,Y)?0?E(XY)?EX?EY；

D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)，故Cov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY；D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)，故Cov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY；

Cov(X,Y)?0??XY?0，但不能說明X與Y獨立.

4.答案：（C）解：由于X,Y

獨立，所以2X與3Y也獨立，故

D(2X?3Y)?D(2X)?D(3Y)?4D(X)?9D(Y).

5.答案：（C）

解：當X,Y獨立時，D(X?3Y)?D(X)?D(3Y)?D(X)?9D(Y)；

E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?E[XY?XE(Y)?YE(X)?E(X)E(Y)]?E(XY)?E(X)E(Y),而當X,Y獨立時，E(XY)?E(X)E(Y)，故E{[X?EX][Y?EY]}?0；

P{Y?aX?b}?1?|?XY|?1.

6.答案：（C）

解：Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)，當X,Y獨立時，可以得到Cov(X,Y)?0而Cov(X,Y)?0??XY?0，即X,Y不相關，但不能得出X,Y獨立；

D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)，故Cov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY；D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)，故Cov(X,Y)?0?D(X?Y)?DX?DY.

7.答案：（D）

解：E[(X?EX)(Y?EY)]?0?Cov(X,Y)?0??XY?0，即X,Y不相關.

8.答案：（A）

解：D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?DX?DY?Cov(X,Y)?0??XY?0，即X,Y不相關.9.答案：（C）

解：E(XY)?EX?EY成立的前提條件是X,Y相互獨立；

當X,Y相互獨立時，有D(X?Y)?DX?DY，即D(X?Y)?DX?DY成立的充分條件是X,Y相互獨立；

而D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?DX?DY?Cov(X,Y)?0??XY?0即X,Y不相關，所以D(X?Y)?DX?DY成立的充要條件是X,Y不相關；

Cov(X,aX?b)?Cov(X,aX)?Cov(X,b)?aCov(X,X)?aD(X)；D(X?1)?D(X)?D(1)?2Cov(X,1)?D(X).

10.答案：（D）

1解：由D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?Cov(X,Y)?[D(X?Y)?DX?DY]；

2D(2X?3Y)?D(2X)?D(3Y)?2Cov(2X,3Y)?4D(X)?9D(Y)?12Cov(X,Y).

11.答案：（B）

解：由D(X)?E(X2)?[E(X)]2?E(X2)?DX?[E(X)2]；

D(2X?3)?D(2X)?D(3)?2Cov(2X,3)?4D(X)；E(3Y?b)?E(3Y)?E(b)?3E(Y)?b；E(X)是一個確定的常數(shù)，所以D(E(X))?0.

12.答案：（D）

解：E[(X?c)2]?E(X2?2cX?c2)?E(X2)?2cE(X)?c2

?E(X2)?[E(X)]2?{[E(X)]2?2cE(X)?c2}?E(X2)?[E(X)]2?[E(X)?c]2?D(X)?[E(X)?c]2?D(X)??2

13.答案：（B）

11n1n(n?1)(n?1)解：E(X)??k??k?，?nnn22k?1k?111n21n(n?1)(2n?1)(n?1)(2n?1)，E(X)??k??k??nnk?1n66k?122nn故D(X)?E(X2)?[E(X)]2?14.答案：（C）

(n?1)(2n?1)(n?1)212?[]?(n?1).

6212??xxxx???1?10x1010?10解：E(X)??xf(x)dx??xedx???xde??xe|0?10?ed(?)?10

1010??000???E(2X?1)?E(2X)?E(1)?2E(X)?1?21.

15.答案：（B）

(b?a)2(2?0)21解：由于當X?U[a,b]時，D(X)?，故這里D(X)??.

1212316.答案：（A）

解：由于Xi~N(0,1),i?1,2，所以E(X1)?E(X2)?0，D(X1)?D(X2)?1

又由于Y?X1?X2，所以E(Y)?E(X1)?E(X2)?0，

D(Y)?D(X1)?D(X2)?2Cov(X1,X2)?2?2[E(X1X2)?E(X1)E(X2)]?2?2E(X1X2),而X1與X2的獨立性未知，所以E(X1X2)的值無法計算，故D(Y)的值未知.17.答案：（C）

解：由于(X,Y)聽從區(qū)域D?{(x,y)|0?x,y?a}上的均勻分布，所以(X,Y)的概

?1?,(x,y)?D率密度為f(x,y)??a2，則

??0,(x,y)?D1E|X?Y|???|x?y|f(x,y)dxdy?2[?dx?(x?y)dy??dy?(y?x)dx]a00D00?12?2?dx(x?y)dy???a2a200axaxayx2aadx???2a2630a23.

18.答案：（D）解：令X*?X?EX，則有EX*?0，DX*?1，但不一定有DXX*?X?EX~N(0,1).DX19.答案：（A）

1112解：由題意知P{X?}??2xdx?，故Y聽從參數(shù)為3和1/4的二項分布，

0241139即Y?b(3,)，因此D(Y)?npq?3???.

4441620.答案：（D）

解：E(XY)???????????xy(f,x)y，d只xd有y當X與Y獨立時，才有

E(XY)??

二、填空題

?????????xyfx(x)fy(y)dxdy.

1.解：由題設?=D(X)?2，故p?X?1??2e1?21!2.解：假設P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,則a+b+c=1,-a+0+c=E(X)?0.1,a+c=E(X2)?0.9,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即X的概率分布是P（X=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5.

13.f(x)?e2???(x??)22?2?2e?2.

,EX??,DX??2;f(y)?1?x2e,EY?0,DY?1.2?24.解：由題設E(X2)?D(X)?[E(X)]2?4??2?5???1，故X的概率密度函數(shù)

(x?1)?1為f(x)?e8.

22?25.解：由題設

p(2?X?4)?p(2?3??X?3??4?3?)?p(?1??X?3??1?11)??()??(?)??11?2?()?1?0.3??()?0.65??.

?p(X?2)?p(X?3??2?3?11)??(?)?1??()?0.35??6.解：E(X)=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；

E(X2)=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=67/12-49/16=121/48；E(?2X?1)=-2E(X)+E（1）=-7/2+1=-5/2.

7.解：

DX?4,DY?9,?XY?0.5,D(2X?3Y)?D(2X)?D(3Y)?2Cov(2X,3Y)?4D(X)?9D(Y)?12Cov(X,Y).?4D(X)?9D(Y)?12?XYDXDY?16?81?36?618.解：由于X聽從n=10，p=0.4的二項分布，根據(jù)二項分布的性質，EX=np=4，

DX=np（1-p）=2.4，故E（X2）=DX+（EX）2=18.4.三、設隨機變量X的分布為

XPk

－20.4

00.3

20.3

求E(X)，E(3X2+5)

解：E(X)=(－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2

E(X2)=(－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+E(5)=8.4+5=13.4

四、設隨機變量X的概率密度為

?e?x,x?0f(x)??

0,x?0?求（1）Y=2X

????（2）Y=e－2x的數(shù)學期望。

??解：（1）E(y)??2xf(x)dx??2xe?xdx

0??2xe?x?2e?x?????0??2

??0（2）E(Y)??e?2xf(x)dx??e?2xe?xex

????1e?3x3?0?13五、設隨機變量X1，X2的概率密度分別為

?2e?2x,f1(x)???0x?0x?0?4e?4x,x?0f2(x)??

0,x?0?2求（1）E(X1+X2)，E(2X1－3X2)；（2）又設X1，X2相互獨立，求E(X1X2)

解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?