投入產(chǎn)出模型

投入產(chǎn)出模型第1頁/共39頁2投入產(chǎn)出數(shù)學模型第2頁/共39頁3

在經(jīng)濟活動中分析投入多少財力、物力、人力，產(chǎn)出多少社會財富是衡量經(jīng)濟效益高低的主要標志。投入產(chǎn)出技術正是研究一個經(jīng)濟系統(tǒng)各部門間的“投入”與“產(chǎn)出”關系的數(shù)學模型，該方法最早由美國著名的經(jīng)濟學家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前比較成熟的經(jīng)濟分析方法。第3頁/共39頁4一、投入產(chǎn)出數(shù)學模型的概念投入～從事一項經(jīng)濟活動的消耗；產(chǎn)出～從事經(jīng)濟活動的結果；投入產(chǎn)出數(shù)學模型～通過編制投入產(chǎn)出表，運用線性代數(shù)工具建立數(shù)學模型，從而揭示國民經(jīng)濟各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并據(jù)此進行經(jīng)濟分析、預測和安排預算計劃。按計量單位不同，該模型可分為價值型和實物型。第4頁/共39頁5

流量產(chǎn)出投入消耗部門最終需求總產(chǎn)出消費累計出口合計生產(chǎn)部門新創(chuàng)價值工資純收入合計總投入表7.1：投入產(chǎn)出表第5頁/共39頁6

投入產(chǎn)出表描述了各經(jīng)濟部門在某個時期的投入產(chǎn)出情況。它的行表示某部門的產(chǎn)出；列表示某部門的投入。如表7.1中第一行x1表示部門1的總產(chǎn)出水平，x11為本部門的使用量，(j=1,2,…,n)為部門1提供給部門j的使用量，各部門的供給最終需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社會儲備等）為(j=1,2,…,n)。這幾個方面投入的總和代表了這個時期的總產(chǎn)出水平。第6頁/共39頁7投入產(chǎn)出的基本平衡關系從左到右：中間需求＋最終需求＝總產(chǎn)出(7-9)從上到下：

中間消耗＋凈產(chǎn)值＝總投入(7-10)由此得產(chǎn)出平衡方程組(也稱分配平衡方程組)：(7-11)(7-12)第7頁/共39頁8需求平衡方程組：(7-13)投入平衡方程組(也稱消耗平衡方程組)：(7-15)(7-14)第8頁/共39頁9由(7-11)和(7-14)，可得(7-16)

這表明就整個國民經(jīng)濟來講，用于非生產(chǎn)的消費、積累、儲備和出口等方面產(chǎn)品的總價值與整個國民經(jīng)濟凈產(chǎn)值的總和相等。第9頁/共39頁10

二、直接消耗系數(shù)定義7.2.1

第j部門生產(chǎn)單位價值所消耗第i部門的價值稱為第j部門對第i部門的直接消耗系數(shù)，記作。由定義得(7-17)把投入產(chǎn)出表中的各個中間需求換成相應的后得到的數(shù)表稱為直接消耗系數(shù)表，并稱n階矩陣為直接消耗系數(shù)矩陣。第10頁/共39頁11例1

已知某經(jīng)濟系統(tǒng)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)投入產(chǎn)出情況如表7.2，試求直接消耗系數(shù)矩陣。表7.2產(chǎn)出投入中間消耗最終需求總產(chǎn)出123中間投入1231002530805030402560400250300凈產(chǎn)值總投入400250300第11頁/共39頁12解由直接消耗系數(shù)的定義，得直接消耗系數(shù)矩陣直接消耗系數(shù)具有下面重要性質(zhì)：性質(zhì)7.2.1

性質(zhì)7.2.2

第12頁/共39頁13由直接消耗系數(shù)的定義，代入(7-17)，得(7-18)令，(7-18)式可表示為，或(7-19)稱矩陣E-A為列昂捷夫矩陣。第13頁/共39頁14類似地把代入平衡方程(7-14)得到(7-20)寫成矩陣形式為(7-21)其中第14頁/共39頁15定理7.2.1

列昂捷夫矩陣E-A是可逆的。如果各部門的最終需求已知，則由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一解。例2

設某工廠有三個車間，在某一個生產(chǎn)周期內(nèi)各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求如表7.3，求各車間的總產(chǎn)值。第15頁/共39頁16表7.3

車間直耗系數(shù)車間ⅠⅡⅢ最終需求ⅠⅡⅢ0.250.10.10.20.20.10.10.10.2235125210解第16頁/共39頁17即三個車間的總產(chǎn)值分別為400，300，350。第17頁/共39頁18三、完全消耗系數(shù)

直接消耗系數(shù)只反映各部門間的直接消耗，不能反映各部門間的間接消耗，為此我們給出如下定義。定義7.2.2

第j部門生產(chǎn)單位價值量直接和間接消耗的第i部門的價值量總和，稱為第j部門對第i部門的完全消耗系數(shù)，記作。第18頁/共39頁19由構成的n階方陣稱為各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。定理7.2.3第j部門對第i部門的完全消耗系數(shù)滿足方程定理7.2.4設n個部門的直接消耗系數(shù)矩陣為

A，完全消耗系數(shù)矩陣為B，則有第19頁/共39頁20證明由定理7.2.3知，將個等式用矩陣表示為由定理7.2.1知(E-A)可逆，故第20頁/共39頁21例3

假設某公司三個生產(chǎn)部門間的報告價值型投入產(chǎn)出表如表7.4，產(chǎn)出投入中間消耗最終需求總產(chǎn)出123中間投入123150006000610600250152536004001840625250030506000表7.4求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。第21頁/共39頁22解依次用各部門的總產(chǎn)值去除中間消耗欄中各列，得到直接消耗系數(shù)矩陣為第22頁/共39頁23故所求完全消耗系數(shù)矩陣為由此例可知，完全消耗系數(shù)矩陣的值比直接消耗系數(shù)矩陣的值要大的多。第23頁/共39頁24例4

利用例1中的數(shù)據(jù)，求完全消耗系數(shù)矩陣B。解由例1知直接消耗系數(shù)矩陣于是有第24頁/共39頁25最后得完全消耗系數(shù)矩陣第25頁/共39頁26四、投入產(chǎn)出實現(xiàn)模型的簡單應用

投入產(chǎn)出法來源于一個經(jīng)濟系統(tǒng)各部門生產(chǎn)和消耗的實際統(tǒng)計資料。它同時描述了當時各部門之間的投入與產(chǎn)出協(xié)調(diào)關系，反映了產(chǎn)品供應與需求的平衡關系，因而在實際中有廣泛應用。在經(jīng)濟分析方面可以用于結構分析，還可以用于編制經(jīng)濟計劃和進行經(jīng)濟調(diào)整等。第26頁/共39頁27

編制計劃的一種作法是先規(guī)定各部門計劃期的總產(chǎn)量，然后計算出各部門的最終需求；另一種作法是確定計劃期各部門的最終需求，然后再計算出各部門的總產(chǎn)出。后一種作法符合以社會需求決定社會產(chǎn)品的原則，同時也有利于調(diào)整各部門產(chǎn)品的結構比例，是一種較合理的作法。第27頁/共39頁28例5

給定價值型投入產(chǎn)出表7.5，預先確定計劃期各部門最終需求如表7.6。根據(jù)投入產(chǎn)出表中的數(shù)據(jù)，算出報告期的直接消耗系數(shù)矩陣A。假定計劃期同報告期的直接消耗系數(shù)是相同的，因此把A作為計劃期的直接消耗系數(shù)矩陣。再按公式算出總產(chǎn)出向量X。第28頁/共39頁29

表7.5

（單位：萬元）中間需求消費積累合計總產(chǎn)出123456中間投入123456201035515500650010302090101510101025555101525555520155551104015060258522580305155201782510515240160480809070

表7.6

（單位：萬元）部門123456消費積累1156224015181150281007106合計16590340222817第29頁/共39頁30解通過數(shù)值計算得到第30頁/共39頁31由得出總產(chǎn)出向量第31頁/共39頁32這樣得到各部門在計劃期的總產(chǎn)出依次是(萬元)：如果各部都能完成計劃期的上述總產(chǎn)出值，那么就能保證完成各部門最終需求的計劃任務。

在求出了各部門總產(chǎn)出之后，根據(jù)公式可計算各部門間應提多少中間需求。具體數(shù)值表如表7.7。第32頁/共39頁33部門123456合計123456合計表7.7第33頁/共39頁34

例6

某地有三個產(chǎn)業(yè)，一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費;生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費;創(chuàng)收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.55元的煤費和0.10元的電費，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對地方鐵路沒有需求。第34頁/共39頁35解這是一個投入產(chǎn)出分析問題。設x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值,x3為鐵路總產(chǎn)值,則問三個企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界需求？三個企業(yè)間相互支付多少金額？三個企業(yè)各創(chuàng)造多少新價值?