南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題含解析2019—2020學(xué)年下學(xué)期階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知隨機(jī)變量，,則（）A.0。16 B.0。32 C.0.34 D.0.68【答案】C【解析】【分析】先由對(duì)稱性求出,再利用即得解.【詳解】解：關(guān)于對(duì)稱，故,故選：C【點(diǎn)睛】考查正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，基礎(chǔ)題.2。復(fù)數(shù)（，是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（).A。第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D。第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部和虛部不同時(shí)大于0說(shuō)明在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．【詳解】解：，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，則，．在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．故選:．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題．3.某班有6名班干部，其中4名男生,2名女生。從中選出3人參加學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目可知,分別求出男生甲被選中的概率和男生甲女生乙同時(shí)被選中的概率，根據(jù)條件概率的公式，即可求解出結(jié)果．【詳解】由題意知，設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中"為事件B，則，,所以，故答案選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求條件概率方法：利用定義計(jì)算，特別要注意的求法．4.已知等比數(shù)列中，,則“”是“”的(）A。充分不必要條件 B.必要不充分條件C。充要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得的范圍，可驗(yàn)證充分性和必要性是否成立，由此得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得：，又，，解得：，，充分性成立；由得：，又，，解得：或，當(dāng)時(shí)，,，必要性不成立。“”是“”的充分不必要條件。故選：.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判定，涉及到等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知X為隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（)A. B。C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】利用概率、數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)或取特殊值求解【詳解】解：對(duì)于A，，，故A正確對(duì)于B,取特殊值，則，，故，B錯(cuò)誤對(duì)于C，，C正確對(duì)于D，，D正確故選：B【點(diǎn)睛】考查概率、數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)，基礎(chǔ)題。6.為支援邊遠(yuǎn)地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，現(xiàn)有5名師范大學(xué)畢業(yè)生主動(dòng)要求赴西部某地區(qū)三所不同的學(xué)校去支教，每個(gè)學(xué)校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有（）A.180種 B。150種 C。90種 D。114種【答案】D【解析】【分析】先安排甲,再安排乙，最后三人分成四種情況：（1）三個(gè)人一塊到第三所學(xué)校，(2）兩個(gè)人到第三所學(xué)校,另一人到前兩所學(xué)校中任意一所，（3）一人到第三所學(xué)校，另兩個(gè)人一起到前兩所學(xué)校中任意一所，(4）一人到第三所學(xué)校，兩個(gè)人分別到前兩所學(xué)校中任意一所；【詳解】解：分四種情況:（1)安排甲到一所學(xué)校有種方法，安排乙到第二所學(xué)校有種方法，余下三人一起到第三所學(xué)校有1種方法，共有種方法；（2）安排甲到第一所學(xué)校有種方法，安排乙到第二所學(xué)校有種方法，余下三人中兩人一起到第三所學(xué)校有種方法，另一人到前兩所學(xué)校中任意一所有，共有種方法；（3)安排甲到第一所學(xué)校有種方法,安排乙到第二所學(xué)校有種方法，余下三人中一人到第三所學(xué)校有，另兩人一起到前兩所學(xué)校中任意一所有,共有種方法；（4）安排甲到第一所學(xué)校有種方法，安排乙到第二所學(xué)校有種方法,余下三人中一人到第三所學(xué)校有，另兩個(gè)人分別到前兩所學(xué)校有種方法共有種方法，種方法；綜合以上有：故選：D【點(diǎn)睛】考查分類計(jì)數(shù)原理和分布計(jì)數(shù)原理，基礎(chǔ)題.7.已知復(fù)數(shù)z滿足，i為虛數(shù)單位，則的最大值是(）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的距離的最大值就是圓外這點(diǎn)到圓心的距離加上圓的的半徑【詳解】解：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，表示以為圓心，1為半徑的圓，表示點(diǎn)和的距離，其最大值就是和的距離加上半徑，故為:故選：B【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)和含有絕對(duì)值號(hào)式子的幾何意義，需要搞清楚和的幾何意義，是基礎(chǔ)題.8。下列命題錯(cuò)誤的是（)A。兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1B。設(shè)，且，則C。在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬帶越狹窄，其模型擬合的精度越高D.已知變量x和y滿足關(guān)系，變量y與z正相關(guān)，則x與z負(fù)相關(guān)【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義;對(duì)于B，概率密度函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱可判斷；對(duì)于C,根據(jù)殘差圖的意義判斷;對(duì)于D，和負(fù)相關(guān)，因?yàn)閥與z正相關(guān)，所以x與z負(fù)相關(guān);【詳解】解：對(duì)于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義知，A正確對(duì)于B，由，知，概率密度函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱故，所以,故B錯(cuò)誤對(duì)于C，根據(jù)殘差圖的意義，C正確對(duì)于D，變量x和y滿足關(guān)系，所以和負(fù)相關(guān)，因?yàn)閥與z正相關(guān)，所以x與z負(fù)相關(guān)，故D正確故選：B【點(diǎn)睛】考查相關(guān)系數(shù)的意義、正態(tài)曲線的對(duì)稱性、殘差圖的意義以及三個(gè)變量之間的正負(fù)相關(guān)性，基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)得得3分，有選錯(cuò)得得0分。9.如圖，梯形中,,，，,將沿對(duì)角線折起。設(shè)折起后點(diǎn)的位置為,并且平面平面。給出下面四個(gè)命題正確的：(）A。 B。三棱錐的體積為C。平面 D.平面平面【答案】CD【解析】【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤得到答案。【詳解】如圖所示：為中點(diǎn)，連接,,得到又故為等腰直角三角形平面平面,,所以平面，所以C正確為中點(diǎn)，則平面所以如果，則可得到平面，故與已知矛盾.故A錯(cuò)誤三棱錐的體積為.故B錯(cuò)誤在直角三角形中，在三角形中，滿足又所以平面，所以平面平面,故D正確綜上所述：答案為CD【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何線線垂直，線面垂直，體積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.10.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是()A. B. C。 D.【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，依題意可確定的外心為，可得出一個(gè)關(guān)系式，求出重心坐標(biāo)，代入歐拉直線方程，又可得出另一個(gè)關(guān)系式，解方程組，即可得出結(jié)論?！驹斀狻吭O(shè)的垂直平分線為，的外心為歐拉線方程為與直線的交點(diǎn)為，，①由，，重心為，代入歐拉線方程,得，②由①②可得或。故選：AD【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查圓的性質(zhì)和三角形重心,屬于較難題.11。對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是(）A.在處取得極大值 B。有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C。 D.若在上恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A、C，只需研究的單調(diào)性即可；對(duì)于選項(xiàng)B,令解方程即可；對(duì)于選項(xiàng)D,采用分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值即可?！驹斀狻坑梢阎?，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為，A正確;又令得，即，當(dāng)只有1個(gè)零點(diǎn)，B不正確；，所以，故C正確；若在上恒成立,即在上恒成立，設(shè),，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，故D正確。故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的極值、零點(diǎn)、不等式恒成立等問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道中檔題.12。對(duì)于二項(xiàng)式，以下判斷正確的有（）A。存在，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)；B.對(duì)任意，展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；C.對(duì)任意,展開(kāi)式中沒(méi)有的一次項(xiàng)；D.存在,展開(kāi)式中有的一次項(xiàng)?！敬鸢浮緼D【解析】【分析】利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，得到答案．【詳解】設(shè)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,則，不妨令，則時(shí)，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確,答案B錯(cuò)誤；令，則時(shí),展開(kāi)式中有的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確．故答案選AD【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，關(guān)鍵在于合理利用通項(xiàng)公式進(jìn)行綜合分析,考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分。13。設(shè)n為正整數(shù)，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)最大值為x，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為y，若,則n=__________.【答案】6【解析】分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出x和y，代入，計(jì)算即可.【詳解】解：由題意知，，，，即，故答案為：6【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)的運(yùn)算，基礎(chǔ)題.14。將3個(gè)1,11個(gè)0排成一列,使得每?jī)蓚€(gè)1之間至少隔著兩個(gè)0，則共有__________種不同的排法.【答案】120【解析】分析】符合條件的排列中，3個(gè)1將11個(gè)0分成四段，設(shè)每一段分別有個(gè)0，令，，則，將7個(gè)1與3塊隔板進(jìn)行排列即可．【詳解】解：符合條件的排列中，3個(gè)1將11個(gè)0分成四段，設(shè)每一段分別有個(gè)0，則，，，且,令，，則．因此原問(wèn)題等價(jià)于求方程的自然數(shù)解的組數(shù)，將7個(gè)1與3塊隔板進(jìn)行排列，其排列數(shù)即對(duì)應(yīng)方程自然數(shù)解的組數(shù)，所以方程共有組自然數(shù)解，故共有120種不同的排法．故答案為:120【點(diǎn)睛】考查排列組合的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.15.將編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，則每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不同的概率為_(kāi)__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥恳竺總€(gè)盒子都不空，則三個(gè)盒子中放入小球的個(gè)數(shù)可以分別為3、1、1或2、2、1，若要求每個(gè)盒子中小球的編號(hào)的奇偶性均不相同，則只能是2、2、1，且放入同一盒子中的兩個(gè)小球必須是一奇一偶，【詳解】解:由題意知,要求每個(gè)盒子都不空,則三個(gè)盒子中放入小球個(gè)數(shù)可以分別為3、1、1或2、2、1，若要求每個(gè)盒子中小球的編號(hào)的奇偶性均不相同，則只能是2、2、1，且放入同一盒子中的兩個(gè)小球必須是一奇一偶，則每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不同的概率為：故答案為：【點(diǎn)睛】考查排列組合的綜合應(yīng)用,基礎(chǔ)題.16.一個(gè)電路如圖所示，a,b，c，d，e，f為六個(gè)開(kāi)關(guān),其閉合的概率是,且是相互獨(dú)立的,則燈亮的概率是________.【答案】【解析】P=1—=。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17。已知復(fù)數(shù)，其中a是實(shí)數(shù).（1）若在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第二象限,求a的取值范圍；（2）若是純虛數(shù),a是正實(shí)數(shù)。①求a；②求?！敬鸢浮浚?）;（2）①2；②0?！窘馕觥俊痉治觥浚?），根據(jù)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第二象限，解不等式即可（2）①若是純虛數(shù)，a是正實(shí)數(shù),求出，②化簡(jiǎn)，最后求和、化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：（1）由題可得：，因?yàn)閺?fù)數(shù)的點(diǎn)位于第二象限,所以，解得a的取值范圍為：.(2）①依題意得：因?yàn)槭羌兲摂?shù),則：，即，又因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，則.②當(dāng)時(shí),，.【點(diǎn)睛】考查純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，中檔題。18。已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明:.【答案】(1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1）把兩邊同時(shí)加1，構(gòu)造新等比數(shù)列即可。(2）先裂項(xiàng),再求和。【詳解】解:（1）由得又,所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，因此的通項(xiàng)公式為.(2）由（1）知于是.【點(diǎn)睛】考查構(gòu)造新的等比數(shù)列以及裂項(xiàng)求和證明不等式，中檔題.19。已知對(duì)某校的100名學(xué)生進(jìn)行不記名問(wèn)卷調(diào)查，內(nèi)容為一周的課外閱讀時(shí)長(zhǎng)和性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表：(1）課外閱讀時(shí)長(zhǎng)在20以下的女生按分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人,求這2人課外閱讀時(shí)長(zhǎng)不低于15的概率;（2）將課外閱讀時(shí)長(zhǎng)為25以上的學(xué)生視為“閱讀愛(ài)好”者,25以下的學(xué)生視為“非閱讀愛(ài)好"者,根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表:非閱讀愛(ài)好者閱讀愛(ài)好者總計(jì)女生男生總計(jì)能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為學(xué)生的“閱讀愛(ài)好”與性別有關(guān)系？附:,0.1000.0500。0250。0100。0012.7063。8415。0246。63510.828【答案】（1）；（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，能.【解析】【分析】(1）課外閱讀時(shí)長(zhǎng)在20以下的女生共有2+4+8=14人,按分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，時(shí)長(zhǎng)在，的女生分別有1人(設(shè)為a）、2人(設(shè)為）、4人（設(shè)為）,列出基本事件空間，再找出這2人課外閱讀時(shí)長(zhǎng)不低于15的事件數(shù)即可(2）女生中有16人是非閱讀愛(ài)好者，24人是閱讀愛(ài)好者；男生中有40人是非閱讀愛(ài)好者，20人是閱讀愛(ài)好者；完成列聯(lián)表，計(jì)算的值，用獨(dú)立行檢驗(yàn)的臨界值判斷即可?！驹斀狻拷猓?1)課外閱讀時(shí)長(zhǎng)在20以下的女生共有2+4+8=14人,按分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，時(shí)長(zhǎng)在，的女生分別有1人（設(shè)為a)、2人（設(shè)為）、4人（設(shè)為）,從7人中隨機(jī)抽取2人包含的基本事件為：共21件,這2人課外閱讀時(shí)長(zhǎng)不低于15所包含的事件有:共6件,這2人課外閱讀時(shí)長(zhǎng)不低于15的概率(2）非閱讀愛(ài)好者閱讀愛(ài)好者總計(jì)女生162440男生402060總計(jì)5644100則在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為學(xué)生的“閱讀愛(ài)好”與性別有關(guān)系.【點(diǎn)睛】考查古典概率的求法以及完成列聯(lián)表、計(jì)算卡方判斷是否相關(guān)，中檔題。20。手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持,在我國(guó)有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外。近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí)。已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立。（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A，B，C級(jí)均可外銷,且利潤(rùn)分別為900元，600元，300元,質(zhì)量為D級(jí)不能外銷，利潤(rùn)記為100元。①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元,求X的分布列與期望.【答案】(1）;（2)①可能是2件；②詳見(jiàn)解析【解析】【分析】(1）由一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的情形，并結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式,列式計(jì)算即可；（2）①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、,可求出使得最大的整數(shù),進(jìn)而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù)；②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級(jí)的概率，進(jìn)而可列出X的分布列，求出期望即可?！驹斀狻浚?）一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為.(2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則,則，其中,。由得,整數(shù)不存在，由得，所以當(dāng)時(shí)，,即，由得,所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件。②由題意可知，一件手工藝品質(zhì)量為A級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)概率為,所以X的分布列為:X900600300100P則期望為.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.21.如圖,四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為菱形,∠BAD的余弦值為，AC與BD相交于點(diǎn)O，OP⊥底面ABCD,M為PC中點(diǎn)，OP=4。(1）求證：AM⊥BD；(2）求直線PA與平面ABM所成角的正弦值?！敬鸢浮?1）證明見(jiàn)解析;（