總體均數(shù)的區(qū)間估計和假設檢驗

總體均數(shù)的區(qū)間估計和假設檢驗第1頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四目錄第五節(jié)均數(shù)的u檢驗第二節(jié)t分布第三節(jié)總體均數(shù)的區(qū)間估計第四節(jié)假設檢驗的意義和基本步驟第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標準誤第六節(jié)均數(shù)的t檢驗第八節(jié)Ⅰ型錯誤和Ⅱ型錯誤第九節(jié)應用假設檢驗應注意的問題第七節(jié)兩總體方差的齊性檢驗和t＇檢驗第2頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四學習要求掌握：抽樣誤差的概念和計算方法掌握：總體均數(shù)區(qū)間的概念，意義和計算方法掌握：假設檢驗的基本步驟及思路掌握：u檢驗和t檢驗的概念，意義，應用條件和計算方法熟悉：第一類錯誤和第二類錯誤的概念和意義熟悉：假設檢驗的注意問題第3頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四統(tǒng)計推斷(statisticalinference)

：根據(jù)樣本信息來推論總體特征。均數(shù)的抽樣誤差：由抽樣引起的樣本均數(shù)與總體均數(shù)的差異稱為均數(shù)的抽樣誤差。標準誤(standarderror)：反映均數(shù)抽樣誤差大小的指標。

第一節(jié)均數(shù)的抽樣誤差與標準誤一、標準誤的意義及其計算第4頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四Populationμsample2sample1sample3sample4sample5第5頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四σ已知：標準誤計算公式σ未知：第6頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

實例：如某年某市120名12歲健康男孩，已求得均數(shù)為143.07cm，標準差為5.70cm，按公式計算，則標準誤為：第7頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四1.表示抽樣誤差的大?。?.進行總體均數(shù)的區(qū)間估計；3.進行均數(shù)的假設檢驗等。二、標準誤的應用

第8頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)

t分布

一、t分布的概念

t分布于1908年由英國統(tǒng)計學家W.S.Gosset以“Student”筆名發(fā)表，故又稱“Studentt”分布第9頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四正態(tài)變量X采用u＝(X－μ)/σ變換，則一般的正態(tài)分布N(μ,σ)即變換為標準正態(tài)分布N(0,1)。又因從正態(tài)總體抽取的樣本均數(shù)服從正態(tài)分布N(μ,),同樣可作正態(tài)變量的u變換,即第10頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

實際工作中由于理論的標準誤往往未知，而用樣本的標準誤作為的估計值，此時就不是u變換而是t變換了，即下式：

第11頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、t分布曲線的特征t分布曲線是單峰分布，以0為中心，左右兩側(cè)對稱，曲線的中間比標準正態(tài)曲線（u分布曲線）低，兩側(cè)翹得比標準正態(tài)曲線略高。t分布曲線隨自由度υ而變化，當樣本含量越?。▏栏竦卣f是自由度υ=n-1越?。?，t分布與u分布差別越大；當逐漸增大時，t分布逐漸逼近于u分布，當υ=∞時，t分布就完全成正態(tài)分布。t分布曲線是一簇曲線，而不是一條曲線。T界值表。第12頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四t分布示意圖第13頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四t分布曲線下雙側(cè)或單側(cè)尾部合計面積我們常把自由度為υ的t分布曲線下雙側(cè)尾部合計面積或單側(cè)尾部面積為指定值α時，則橫軸上相應的t界值記為tα,υ。

如當υ=20，α=0.05時，記為t0.05,20；當υ=22，α=0.01時，記為t0.01,22。對于tα,υ值，可根據(jù)α和υ值，查附表，t界值表。第14頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

t分布是t檢驗的理論基礎。由公式可知，│t│值與樣本均數(shù)和總體均數(shù)之差成正比，與標準誤成反比。

在t分布中│t│值越大，其兩側(cè)或單側(cè)以外的面積所占曲線下總面積的比重就越小，說明在抽樣中獲得此│t│值以及更大│t│值的機會就越小，這種機會的大小是用概率P來表示的。│t│值越大，則P值越??；反之，│t│值越小，P值越大。根據(jù)上述的意義，在同一自由度下，│t│≥tα

，則P≤α；反之，│t│＜tα，則P＞α。第15頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)總體均數(shù)的區(qū)間估計

參數(shù)估計:用樣本指標（統(tǒng)計量）估計總體指標（參數(shù)）稱為參數(shù)估計。估計總體均數(shù)的方法有兩種，即：點值估計（pointestimation）區(qū)間估計（intervalestimation）。第16頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、點值估計

點值估計：是直接用樣本均數(shù)作為總體均數(shù)的估計值。此法計算簡便，但由于存在抽樣誤差，通過樣本均數(shù)不可能準確地估計出總體均數(shù)大小，也無法確知總體均數(shù)的可靠程度。第17頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、區(qū)間估計

區(qū)間估計是按一定的概率（1-α）估計包含總體均數(shù)可能的范圍，該范圍亦稱總體均數(shù)的可信區(qū)間（confidenceinterval，縮寫為CI）。1-α稱為可信度，常取1-α為0.95和0.99，即總體均數(shù)的95%可信區(qū)間和99%可信區(qū)間。1-α（如95％）可信區(qū)間的含義是：總體均數(shù)被包含在該區(qū)間內(nèi)的可能性是1-α，即（95％），沒有被包含的可能性為α，即（5％）。第18頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四總體均數(shù)的可信區(qū)間的計算

1.未知σ且n較小(n<100)按t分布的原理2.已知σ或σ未知但n較大(n≥100)按u分布的原理第19頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

95%的可信區(qū)間為123.7±2.064×2.38，即（118.79,128.61）。故該地1歲嬰兒血紅蛋白平均值95％的可信區(qū)間為118.7～128.61（g/L）。例3.1為了了解某地1歲嬰兒的血紅蛋白濃度，從該地隨機抽取了1歲嬰兒25人，測得其血紅蛋白的平均數(shù)為123.7g/L，標準差為11.9g/L。試求該地1歲嬰兒的血紅蛋白平均值95％的可信區(qū)間。

第20頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例3.2上述某市120名12歲健康男孩身高均數(shù)為143.07cm，標準誤為0.52cm，試估計該市12歲康男孩身高均數(shù)95%和99%的可信區(qū)間。

95%的可信區(qū)間為143.07±1.96×0.52，即（142.05，144.09）。99%的可信區(qū)間為143.07±2.58×0.52,即（141.73，144.41）。第21頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四注意點標準誤愈小，估計總體均數(shù)可信區(qū)間的范圍也愈窄，說明樣本均數(shù)與總體均數(shù)愈接近，對總體均數(shù)的估計也愈精確；反之，標準誤愈大，估計總體均數(shù)可信區(qū)間的范圍也愈寬，說明樣本均數(shù)距總體均數(shù)愈遠，對總體均數(shù)的估計也愈差。第22頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四表3-1標準差和標準誤的區(qū)別

第23頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)假設檢驗的意義和基本步驟

假設檢驗（hypothesistest）亦稱顯著性檢驗（significancetest），是統(tǒng)計推斷的重要內(nèi)容。它是指先對總體的參數(shù)或分布作出某種假設，再用適當?shù)慕y(tǒng)計方法根據(jù)樣本對總體提供的信息，推斷此假設應當拒絕或不拒絕。第24頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例3.3根據(jù)調(diào)查，已知健康成年男子脈搏的均數(shù)為72次/分鐘，某醫(yī)生在一山區(qū)隨機測量了25名健康成年男子脈搏數(shù)，求得其均數(shù)為74.2次/分鐘，標準差為6.5次/分鐘，能否認為該山區(qū)成年男子的脈搏數(shù)與一般健康成年男子的脈搏數(shù)不同？

本例兩個均數(shù)不等有兩種可能性：①山區(qū)成年男子的脈搏總體均數(shù)與一般健康成年男子的脈搏總體均數(shù)是相同的，差別僅僅由于抽樣誤差所致；②受山區(qū)某些因素的影響，兩個總體的均數(shù)是不相同的。如何作出判斷呢？按照邏輯推理，如果第一種可能性較大時，可以接受它，統(tǒng)計上稱差異無統(tǒng)計學意義；如果第一種可能性較小時，可以拒絕它而接受后者，統(tǒng)計上稱差異有統(tǒng)計學意義。

第25頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四假設檢驗的一般步驟1.建立檢驗假設

一種是無效假設（nullhypothesis）符號為H0；一種是備擇假設（alternativehypothesis）符號為H1。H0:

H1:第26頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四表3-2樣本均數(shù)所代表的未知總體均數(shù)

與已知總體均數(shù)的比較

第27頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四表3-3兩樣本均數(shù)所代表的未知總體均數(shù)的比較第28頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四2.確定檢驗水準

檢驗水準(sizeofatest)亦稱顯著性水準(significancelevel)，符號為α

。它是判別差異有無統(tǒng)計意義的概率水準，其大小應根據(jù)分析的要求確定。通常取α=0.05。3.選定檢驗方法和計算統(tǒng)計量

根據(jù)研究設計的類型和統(tǒng)計推斷的目的要求選用不同的檢驗方法。如完全隨機設計中，兩樣本均數(shù)的比較可用t檢驗，樣本含量較大時（n>100）,可用u檢驗。不同的統(tǒng)計檢驗方法，可得到不同的統(tǒng)計量，如t值和u值。第29頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四4.確定概率P值

P值是指在H0所規(guī)定的總體中作隨機抽樣，獲得等于及大于（或小于）現(xiàn)有統(tǒng)計量的概率。│t│≥tα,υ,則P≤α；│t│<tα,υ,則P>α。

第30頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四5.作出推斷結(jié)論

①當P≤α時，表示在H0成立的條件下，出現(xiàn)等于及大于現(xiàn)有統(tǒng)計量的概率是小概率，根據(jù)小概率事件原理，現(xiàn)有樣本信息不支持H0，因而拒絕H0，結(jié)論為：按所取檢驗水準拒絕H0，接受H1，即差異有統(tǒng)計學意義。如例3.3認為兩總體脈搏均數(shù)有差別。②當P>α時，表示在H0成立的條件下，出現(xiàn)等于及大于現(xiàn)有統(tǒng)計量的概率不是小概率，現(xiàn)有樣本信息還不能拒絕H0，結(jié)論為按所取檢驗水準不拒絕H0，即差異無統(tǒng)計意義，如例3.3尚不能認為兩總體脈搏均數(shù)有差別。第31頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四下結(jié)論時的注意點：P≤α，拒絕H0，不能認為H0肯定不成立，因為雖然在H0成立的條件下出現(xiàn)等于及大于現(xiàn)有統(tǒng)計量的概率雖小，但仍有可能出現(xiàn)；同理，P>α，不拒絕H0，更不能認為H0肯定成立。由此可見，假設檢驗的結(jié)論是具有概率性的，無論拒絕H0或不拒絕H0，都有可能發(fā)生錯誤，即第一類錯誤或第二類錯誤第32頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第五節(jié)均數(shù)的u檢驗國外統(tǒng)計書籍及統(tǒng)計軟件亦稱為單樣本u檢驗（onesampleu-test）。樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的u檢驗適用于：①總體標準差σ已知的情況；②樣本含量較大時，比如n>100時。對于后者，是因為n較大，υ也較大，則t分布很接近u分布的緣故。

一、樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的u檢驗第33頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四u

值的計算公式為：總體標準差σ已知時，不管n的大小。總體標準差σ未知時，但n>100時。第34頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例3.4某托兒所三年來測得21～24月齡的47名男嬰平均體重11kg。查得近期全國九城市城區(qū)大量調(diào)查的同齡男嬰平均體重11.18kg，標準差為1.23kg。問該托兒所男嬰的體重發(fā)育狀況與全國九城市的同期水平有無不同？（全國九城市的調(diào)查結(jié)果可作為總體指標）

第35頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（1）建立檢驗假設

H0：μ＝μ0

，即該托兒所男嬰的體重發(fā)育狀況與全國九城市的同期水平相同，α＝0.05(雙側(cè))H1：μ≠μ0

，即該托兒所男嬰的體重發(fā)育狀況與全國九城市的同期水平不同。（2）計算u值本例因總體標準差σ已知，故可用u檢驗。本例n=47,樣本均數(shù)=11,總體均數(shù)=11.18,總體標準差=1.23,代入公式第36頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（3）確定P值，作出推斷結(jié)論

查u界值表（t界值表中為∞一行），得u0.05=1.96，u=1.003<u0.05=1.96,故P>0.05。按α=0.05水準，不拒絕H0，差異無統(tǒng)計學意義。結(jié)論：可認為該托兒所男嬰的體重發(fā)育狀況與全國九城市的同期水平相同。

第37頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、兩樣本均數(shù)比較的u檢驗該檢驗也稱為獨立樣本u檢驗(independentsampleu-test),適用于兩樣本含量較大（如n1>50且n2>50）時，u值可按下式計算：第38頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

例3.5測得某地20～24歲健康女子100人收縮壓均數(shù)為15.27kPa，標準差為1.16kPa；又測得該地20～24歲健康男子100人收縮壓均數(shù)為16.11kPa，標準差為1.41kPa。問該地20～24歲健康女子和男子之間收縮壓均數(shù)有無差別？

第39頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（1)建立檢驗假設

H0：μ1

＝μ2

，即該地20～24歲健康女子和男子之間收縮壓均數(shù)相同；

H1:μ1≠μ2

，即該地20～24歲健康女子和男子之間收縮壓均數(shù)不同。

α＝0.05（雙側(cè)）（2）計算u值

本例n1=100,均數(shù)1=15.27,S1=1.16

n2=100,均數(shù)2=16.11,S2=1.41第40頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（3）確定P值，作出推斷結(jié)論

查u界值表（附表7,t界值表中為∞一行），得u0.05=1.96，現(xiàn)u>u0.05=1.96,故P<0.05。按水準α=0.05，拒絕H0，接受H1,差異有統(tǒng)計學意義。結(jié)論：可認為該地20～24歲健康人的收縮壓均數(shù)男性不同于女性。第41頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第六節(jié)均數(shù)的t檢驗

當樣本含量較?。ㄈ鏽<50）時，t分布和u分布有較大的出入，所以小樣本的樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較以及兩個樣本均數(shù)的比較要用t檢驗。t檢驗的適用條件：①樣本來自正態(tài)總體或近似正態(tài)總體；②兩樣本總體方差相等。第42頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四t檢驗的類型1.單樣本t檢驗（樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較t檢驗）2.配對樣本t檢驗3.獨立樣本t檢驗（兩樣本均數(shù)比較t檢驗）第43頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四即樣本均數(shù)代表的未知總體均數(shù)與已知的總體均數(shù)（一般為理論值、標準值或經(jīng)過大量觀察所得的穩(wěn)定值等）進行比較。這時檢驗統(tǒng)計量t值的計算在H0成立的前提條件下為：一、單樣本t檢驗（樣本均數(shù)與總體均數(shù)比較的t檢驗）第44頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例3.3根據(jù)調(diào)查，已知健康成年男子脈搏的均數(shù)為72次/分鐘，某醫(yī)生在一山區(qū)隨機測量了25名健康成年男子脈搏數(shù)，求得其均數(shù)為74.2次/分鐘，標準差為6.5次/分鐘，能否認為該山區(qū)成年男子的脈搏數(shù)與一般健康成年男子的脈搏數(shù)不同？

第45頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例3.6對例3.3資料進行t檢驗。

（1）建立檢驗假設

H0：μ＝μ0

，即該山區(qū)健康成年男子脈搏均數(shù)與一般健康成年男子脈搏均數(shù)相同；

H1：μ≠μ0

，即該山區(qū)健康成年男子脈搏均數(shù)與一般健康成年男子脈搏均數(shù)不同。

α＝0.05（雙側(cè)）

（2）計算t值本例n=25,s=6.5,樣本均數(shù)=74.2,總體均數(shù)=72,代入公式第46頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（3）確定P值,作出推斷結(jié)論

本例υ=25－1=24，查t界值表，得t0.05,24=2.064，現(xiàn)t=1.692<t0.05,24=2.064，故P>0.05。按α=0.05的水準，不拒絕H0，差異無統(tǒng)計學意義。

結(jié)論：即根據(jù)本資料還不能認為此山區(qū)健康成年男子脈搏數(shù)與一般健康成年男子不同。第47頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四配對實驗設計得到的資料稱為配對資料。醫(yī)學科研中配對資料的四種主要類型：同一批受試對象治療前后某些生理、生化指標的比較；同一種樣品，采用兩種不同的方法進行測定，來比較兩種方法有無不同；配對動物試驗，各對動物試驗結(jié)果的比較等。同一觀察對象的對稱部位。二、配對資料的t檢驗第48頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四

先求出各對子的差值d的均值,若兩種處理的效應無差別，理論上差值d的總體均數(shù)應為0。

所以這類資料的比較可看作是樣本均數(shù)與總體均數(shù)為0的比較。

要求差值的總體分布為正態(tài)分布。

配對資料的t檢驗(pairedsamplest-test)t檢驗的公式為：第49頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例3.7設有12名志愿受試者服用某減肥藥，服藥前和服藥后一個療程各測量一次體重(kg)，數(shù)據(jù)如表3-4所示。問此減肥藥是否有效？

（1）建立檢驗假設

H0：μd=0，即該減肥藥無效；H1：μd﹤0，即該減肥藥有效。單側(cè)α=0.05第50頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四表3-4某減肥藥研究的體重(kg)觀察值

第51頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（2）計算t值本例n=12,Σd=-16，Σd2

=710，差值的均數(shù)=Σd/n=-16/12=-1.33(kg)第52頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（3）確定P值，作出推斷結(jié)論

自由度=n-1=12-1=11，查t界值表，得單側(cè)t0.05，11=1.796,現(xiàn)t=0.58<t0.05，11=1.796,故P>0.05。按α=0.05水準，不拒絕H0,差異無統(tǒng)計學意義。結(jié)論：故尚不能認為該減肥藥有減肥效果。第53頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四兩樣本均數(shù)比較的t檢驗亦稱為成組t檢驗，又稱為獨立樣本t檢驗（independentsamplest-test）。適用于比較按完全隨機設計而得到的兩組資料，比較的目的是推斷它們各自所代表的總體均數(shù)和是否相等。三、兩樣本均數(shù)比較的t檢驗第54頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四樣本估計值為：總體方差已知：標準誤的計算公式合并方差：第55頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四若n1=n2時：已知S1和S2時：第56頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例3.9測得14名慢性支氣管炎病人與11名健康人的尿中17酮類固醇（mol/24h）排出量如下，試比較兩組人的尿中17酮類固醇的排出量有無不同。

原始調(diào)查數(shù)據(jù)如下：病人X1：n=14;10.0518.7518.9915.9413.9617.6720.5117.2214.6915.109.428.217.2424.60健康人X2：n=11;17.9530.4610.8822.3812.8923.0113.8919.4015.8326.7217.29第57頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（1）建立檢驗假設H0：μ1＝μ2，即病人與健康人的尿中17酮類固醇的排出量相同H1：μ1≠μ2，即病人與健康人的尿中17酮類固醇的排出量不同α＝0.05

第58頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（2）計算t值本例n1=14,ΣX1=212.35,ΣX12=3549.0919n2=11,ΣX2=210.70,ΣX22=4397.64第59頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四（3）確定P值作出推斷結(jié)論υ=14+11-2=23，查t界值表，得t0.05,23=2.069,現(xiàn)t=1.8035<t0.05,23＝2.069,故P>0.05。按α=0.05水準，不拒絕H0，差異無統(tǒng)計學意義。結(jié)論：尚不能認為慢性支氣管炎病人與健康人的尿中17酮類固醇的排出量不同。第60頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四比較兩樣本幾何均數(shù)的目的是推斷它們各自代表的總體幾何均數(shù)有無差異。適用于：①觀察值呈等比關(guān)系，如血清滴度；②觀察值呈對數(shù)正態(tài)分布，如人體血鉛含量等。。兩樣本幾何均數(shù)比較的t檢驗公式與兩樣本均數(shù)比較的t檢驗公式相同。只需將觀察X用lgX來代替就行了四、兩樣本幾何均數(shù)t檢驗第61頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四例3.10將20名鉤端螺旋體病人的血清隨機分為兩組，分別用標準株和水生株作凝溶試驗，抗體滴度的倒數(shù)（即稀釋度）結(jié)果如下。問兩組抗體的平均效價有無差別？標準株(11人)：1002004004004004008001600160016003200水生株(9人)：1001001002002002002004001600將兩組數(shù)據(jù)分別取對數(shù)，記為x1,x2。

x1:2.0002.3012.6022.6022.6022.6022.9033.2043.2043.2043.505x2：2.0002.0002.0002.3012.3012.3012.3012.6023.204第62頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、兩樣本方差的齊性檢驗（F檢驗）用較大的樣本方差S2比較小的樣本方差S2

υ1為分子自由度，υ2為分母自由度查F界值表:Fα,υ1,υ2界值做出推斷第七節(jié)兩總體方差的齊性檢驗和t＇檢驗第63頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四注意：①方差齊性檢驗本為雙側(cè)檢驗，F(xiàn)界值表單側(cè)0.05的界值，實對應雙側(cè)檢驗P=0.1；②當樣本含量較大時（如n1和n2均大于50），可不必作方差齊性檢驗。第64頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四深層水：n1=8,樣本均數(shù)=1.781(mg/L),S1=1.899(mg/L)表層水：n2=10,樣本均數(shù)=0.247(mg/L),S2=0.210(mg/L)例3.11某研究所為了了解水體中汞含量的垂直變化，對某氯堿廠附近一河流的表層水和深層水作了汞含量的測定，結(jié)果如下。試檢驗兩個方差是否齊性。第65頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四確定P值作出推斷結(jié)論本例υ1＝8-1=7，υ2＝10-1=9，查附表F界值表，得F0.05,7,