線性方程組的消元法和矩陣的初等變換詳解演示文稿

線性方程組的消元法和矩陣的初等變換詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有47頁\編輯于星期二（優(yōu)選）線性方程組的消元法和矩陣的初等變換現(xiàn)在是2頁\一共有47頁\編輯于星期二引例

有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1

、A2

、A3，其年產(chǎn)量分別為40t，20t和10t，該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶B1、B2

，其用量分別為45t和25t不妨假設(shè)每噸貨物每公里的運(yùn)費(fèi)為1元，問各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運(yùn)費(fèi)最少？現(xiàn)在是3頁\一共有47頁\編輯于星期二解設(shè)各廠到各用戶的產(chǎn)品數(shù)量如表1-2依題意，3個(gè)廠的總產(chǎn)量和用戶的總用量相等：現(xiàn)在是4頁\一共有47頁\編輯于星期二再來看總運(yùn)費(fèi)，由表1-1：12于是，題目要解決的問題是：使之滿足方程組①和②并使總運(yùn)費(fèi)最少.現(xiàn)在是5頁\一共有47頁\編輯于星期二

幾個(gè)線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，若未知數(shù)的個(gè)數(shù)為n

，方程個(gè)數(shù)為m

，則線性方程組可以寫成如下形式：若常數(shù)項(xiàng)均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，否則，稱為非齊次線性方程組.現(xiàn)在是6頁\一共有47頁\編輯于星期二2.線性方程組的線性組合線性方程的加法：將兩個(gè)線性方程(1)(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：稱為原來兩個(gè)線性方程的和?，F(xiàn)在是7頁\一共有47頁\編輯于星期二線性方程乘常數(shù)將線性方程兩邊同乘以已知常數(shù)，線性方程與常數(shù)相乘，也稱為方程的數(shù)乘。線性方程的線性組合將線性方程(1)和(2)分別稱兩個(gè)已知常數(shù)再將所得的兩個(gè)方程相加，得到新方程：得到一個(gè)新的線性方程：現(xiàn)在是8頁\一共有47頁\編輯于星期二(3)稱為原來兩個(gè)方程(1)和(2)的一個(gè)稱為這個(gè)線性方程的組合系數(shù)。將(1)和(2)看作一個(gè)線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。對(duì)給定的兩個(gè)線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個(gè)方程都是(I)中方程的線性組合，就稱(II)是(I)的線性組合。線性組合，若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個(gè)方程組等價(jià)，等價(jià)的線性方程組一定同解。將方程組(I)變成方程組(II)的過程稱為同解變換?，F(xiàn)在是9頁\一共有47頁\編輯于星期二例1二、線性方程組的消元法求解線性方程組1、線性方程組的初等變換現(xiàn)在是10頁\一共有47頁\編輯于星期二解現(xiàn)在是11頁\一共有47頁\編輯于星期二用“回代”的方法求出解：現(xiàn)在是12頁\一共有47頁\編輯于星期二于是解得(2)現(xiàn)在是13頁\一共有47頁\編輯于星期二小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．

2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（以替換）定義1上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換．（以替換）（與相互替換）現(xiàn)在是14頁\一共有47頁\編輯于星期二3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組．現(xiàn)在是15頁\一共有47頁\編輯于星期二2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)現(xiàn)在是16頁\一共有47頁\編輯于星期二2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)現(xiàn)在是17頁\一共有47頁\編輯于星期二2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)現(xiàn)在是18頁\一共有47頁\編輯于星期二2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)現(xiàn)在是19頁\一共有47頁\編輯于星期二2、利用初等變換解一般線性方程組(化為階梯型方程組)現(xiàn)在是20頁\一共有47頁\編輯于星期二現(xiàn)在是21頁\一共有47頁\編輯于星期二現(xiàn)在是22頁\一共有47頁\編輯于星期二現(xiàn)在是23頁\一共有47頁\編輯于星期二定理2在齊次線性方程組證明：顯然，方程組在化成階梯型方程組之后，方程個(gè)數(shù)不會(huì)超過原方程組中方程個(gè)數(shù)，即現(xiàn)在是24頁\一共有47頁\編輯于星期二第二節(jié)矩陣的初等變換

為了簡化方程組的表達(dá)，可以省掉各個(gè)未知數(shù)，只考慮系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，把它們排成一個(gè)表，用這個(gè)表代替線性方程組，直接對(duì)這個(gè)表進(jìn)行與求解線性方程組相應(yīng)的初等變換，這樣在表達(dá)上可以更加簡潔和直觀。為此，我們將引出矩陣的概念，介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解。現(xiàn)在是25頁\一共有47頁\編輯于星期二1.線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)一、矩陣及其初等變換現(xiàn)在是26頁\一共有47頁\編輯于星期二對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為現(xiàn)在是27頁\一共有47頁\編輯于星期二由個(gè)數(shù)排成的m

行n

列矩陣的數(shù)表稱為m

行n

列矩陣.簡稱矩陣.記作定義1現(xiàn)在是28頁\一共有47頁\編輯于星期二簡記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.現(xiàn)在是29頁\一共有47頁\編輯于星期二例如是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.現(xiàn)在是30頁\一共有47頁\編輯于星期二例如是一個(gè)3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作現(xiàn)在是31頁\一共有47頁\編輯于星期二只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0現(xiàn)在是32頁\一共有47頁\編輯于星期二注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.現(xiàn)在是33頁\一共有47頁\編輯于星期二（5）方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.同型矩陣與矩陣相等的概念

1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.全為1現(xiàn)在是34頁\一共有47頁\編輯于星期二

2.兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.現(xiàn)在是35頁\一共有47頁\編輯于星期二矩陣的轉(zhuǎn)置（1）定義

設(shè)是一個(gè)矩陣，把A的各行都變?yōu)榱?，不改變它們前后的順序而得到的矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A'

（或AT）即A'=現(xiàn)在是36頁\一共有47頁\編輯于星期二線性方程組稱為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣?，F(xiàn)在是37頁\一共有47頁\編輯于星期二下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:定義2現(xiàn)在是38頁\一共有47頁\編輯于星期二等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：一般，將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.定義3現(xiàn)在是39頁\一共有47頁\編輯于星期二例1求解線性方程組解：用矩陣的初等行變換解方程組現(xiàn)在是40頁\一共有47頁\編輯于星期二現(xiàn)在是41頁\一共有47頁\編輯于星期二現(xiàn)在是42頁\一共有47頁\編輯于星期二特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．現(xiàn)在是43頁\一共有47頁\編輯于星期二注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯