考研數(shù)學(xué)歷年真題詳解

第一章行列式

1.（95,九題，6分）設(shè)A是“階矩陣，滿足4T=E（E是”階單位陣，是4的轉(zhuǎn)置

矩陣,L4l<0,求IA+EL

【分析】由矩陣等式求抽象矩陣A+E的行列式，聯(lián)想到利用此等式條件，則有兩

種方法：

①將E=AA，直接代入要計算的行列式中。

②“湊”出可利用已知矩陣等式中左端的形式AA"再將44,=E代入計算。

像這種矩陣運(yùn)算與行列式計算結(jié)合考查的題型，應(yīng)注意.

【詳解】根據(jù)A47=E有

\A+E\-\A+AAr1=1A(E+AT)\^\AWE+A\^\AWA+E\,

于是(ITAI)IA+EI=O

因?yàn)閺V福l〉0,IA+￡I=O

%00仇

0a.b.0

2.（96,選（5）題，3分）四階行列式J2八的值等于

04陽0

比004

(A)a{a2a3a4—b}b2b3b4

(B)2a3a4+2b3b4

(C)(q/一姑2)33a4-姑4)

(D)(a2a3-h2b3)(a1a4一仙)

【答】應(yīng)選（D）

【分析】本題是根據(jù)行列式展開定理按照第一行展開計算求解的，也可以按照拉普拉斯展開

定理進(jìn)行計算分析?，解答本題有一定的技巧性

【詳解】按第一行展開，

a2h2002b2

~-2b?a2

原式=a]??/0,0b3仆=。］。4~~岫4

瓦00瓦與4

00對

=（%43—%，3）（%。4一々坊）

故正確選項(xiàng)為(D)

3.(99,選(4)題，3分)設(shè)4是機(jī)X”矩陣，B是矩陣，貝ij

(A)當(dāng)機(jī)時，必有行列式11481W0.(B)當(dāng)加>”時，必有行列式IIAB1=0.

(C)當(dāng)">〃?時，必有行列式IIABIwO.(D)當(dāng)〃>,〃時，必有行列式IIABI=O.

[]

【答】應(yīng)選(B)

【分析】四個選項(xiàng)在于區(qū)分行列式是否為零，而行列式是否為零又是矩陣是否可逆的充要條

件，而矩陣是否可逆又與矩陣是否滿秩相聯(lián)系，所以最終只要判斷AB是否滿秩即可。本題

未知AB的具體元素，因此不方便直接應(yīng)用行列式的有關(guān)計算方法進(jìn)行求解。

【詳解】因?yàn)锳B為m階方陣,且r(AB)Smin[r(A),r(B)]4min(7n,〃)

當(dāng)m>n時，由上式可知，r(AB)<n<m,即AB不是滿秩的，故有行列式IABI=O,因此正

確選項(xiàng)為(B)

一210'

4.(04,填(5)題，4分)設(shè)矩陣A=120,矩陣B滿足A84*=284*+E,其中A*

001

為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則IBI=-

9

【分析】可先用公式A*A=1AIE進(jìn)行簡化

【詳解】己知等式兩邊同時右乘A,得

ABA*A=284*A+A,而IAI=3,于是有

3AB=6B+A,即(3A-6E)B=A,再兩邊取行列式有：

I3A-6EIIBI=IAI=3,而I3A-6EI=27,故所求行列式為IBI=-

9

5.(05,填(5)題，4分)設(shè),,二2，￡3均為3維列向量，記矩陣

A=(a1,a2,a3),B=(a,+a2+a3,at+2a2+4a3,a,+3%+9%)

如果IAI=L那么IBI=2

【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計算即可。

【詳解】對矩陣B用分塊技巧，有

-11r

B=9]a2a3)123

149

兩邊取行列式，并用行列式乘法公式，得

111

|B|=|A|123=2\A\

149

所以IBI=2.

6.(06,(5)題，4分)設(shè)矩陣A,E為單位矩陣，矩陣B滿足BA=B+2E,則

【分析】本題為計算方陣行列式，應(yīng)利用矩陣運(yùn)算與行列式的關(guān)系來求解

【詳解】由BA=B+2E得

BA-B=2E

B(A-E)=2E

IB(A-E)I=I2EI

IBIIA-EI=4

IBMIA-EI-1

11

=4=4x2=8

第二章矩陣

一、矩陣運(yùn)算

12-2

1.(97,填(4)題，3分)設(shè)A=4t3,8為三階非零矩陣，且AB=O,則1=-3

3-11

【分析】由AB=O也可推知r(A)+r(B)W3,而r(B)>0。于是r(A)W2,故有IAI=0=>t=-3.

【詳解】由于B為二階非零矩陣，且AB=O,可見線性方程組Ax=O存在非零解，故

12-2

|?1|=4t3=0=>/=-3

3-11

二、伴隨矩陣

1.(05,12題，4分)設(shè)A為n(〃N2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,A*,

8*分別為A,B的伴隨矩陣，則

(A)交換A*的第1列與第2列得B*

(B)交換A*的第I行馬第2行得

(C)交換A*的第1列與第2列得-B*

(D)交換A*的第1行與第2行得-8”

【答】應(yīng)選(C)

【分析】本題考查初等變換得概念與初等矩陣的性質(zhì)，只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系

以及伴隨矩陣的性質(zhì)盡心分析即可

【詳解】為書寫簡捷，不妨考查A為3階矩陣，因?yàn)锳作初等行變換得到B,所以用初等

矩陣左乘A得到B,按已知有

010

100A=6

001

010T,F010

于是Bi=AT1o0=4一|100

001001

010

/?*A*

從而——=——1o0

\B\\A\

001

一01O-

又因IAHIBI,故A*100=一3*,所以應(yīng)選(C)

001

三、可逆矩陣

1.(96,八題，6分)設(shè)4=后—笈'，其中E是n階單位矩陣，J是n維非零列向量，?

是J的轉(zhuǎn)置，證明：

(1)屋=A的充要條件是打「=1

(2)當(dāng)打7=1時，A是不可逆矩陣

【分析】本題考查矩陣乘法的分配律、結(jié)合律。題中J是n維列向量，則打7■是n階矩陣且

秩為1。而三&是一個數(shù)

【詳解】

(1)A2=(E-^T)(E-2^r)=E-2穹+其3次T=E-穹

因11匕A2=A=E_(2_=E—打7'o6飛-l)^r=0

因?yàn)镴wO,所以棄,HO故屋=A的充要條件為3j=i

(2)方法一：當(dāng)夕&=1時-，由4=后一打L有=C學(xué)飛=1=0,

因?yàn)镴w0故Ax=0有非零解，因此IAI=0,說明A不可逆

方法二：當(dāng)歹J=l,由A2=AnA(E—A)=0,即E—A的每?列均為Ax=0的解，

因?yàn)镋—A=打'H0,說明Ax=0有非零解，故秩(A)<n,因此A不可逆

方法三：用反證法。假設(shè)A可逆，當(dāng)g%=1,有A2=A

于是才叢2=4-y，即人=以這與A=E—矛盾，故A時不可逆矩陣

2.(01,填(4)題3分)設(shè)矩陣A滿足42+A—4E=0,其中E為單位矩陣，貝U(A—E)

](A+2E)

【分析】本題中矩陣A的元素沒有給出，因此用伴隨矩陣，用初等行變換求逆的方法行不

通，應(yīng)當(dāng)考慮用定義法。

【詳解】由題設(shè)，A?+A—4E=0,

有屋+A-2E=2E,(A—E)(A+2E)=2E

也即(A—E)-5(A+2E)=E

故(A_E)T=_(A+2E)

四、初等變換和初等矩陣

a

。1223

I.(95,選(5)題，3分)設(shè)A=,B=a

。22i3

032。33+°13

100

00>p2~010，則必有

0110

(A)APtP2=B(B)AP2Pt=B

(C)P\P#=B(D)P2P}A^B

【答】應(yīng)選(C)

【分析】因?yàn)槎?為初等矩陣，對A左乘或右乘初等矩陣，相當(dāng)于對A施行了一次行或

列初等變換，這里，B是由A先將第一行加到第三行，再交換第一、二行兩次初等變換得

到的，故有［6A=8

【詳解】耳是交換單位矩陣的第一、二行所得初等矩陣，［是將單位矩陣的第一行加到第

三行所得初等矩陣，而B是由A先將第一行加到第三行，然后再交換第一、二行兩次初等

交換得到的，因此有4gA=8,故正確選項(xiàng)為(C)

2.(97,八題，5分)設(shè)4是〃階可逆方陣，將A的第i行和第，行對換后得到的矩陣為B

(1)證明8可逆；

(2)求AB-

【分析】本題考查了初等矩陣的定義，性質(zhì)?級初等變換的關(guān)系，將A的第i行和第，行對

換，相當(dāng)于左乘一初等矩陣，交換兩行，行列式變號，其值仍不為零，從而B可逆

【詳解】（1）記E（i,J）是由n階單位矩陣的的i行和的j行對換后得到的初等矩陣，則

B=E（i,力A,于是有IBI=IE（i,力IIAZAIHO,故B可逆

3.（04,選（11）題，4分）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B得

第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為

010010

(A)100(B)101

101001

-010--o1r

(C)100(D)100

011001

【答】應(yīng)選（D）

【分析】本題考查初等矩陣的概念與性質(zhì)，對A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個相應(yīng)

的初等矩陣，而Q即為此兩個初等矩陣的乘積

【詳解】由題意，有

010100

4100=B,B011=c

_001_001

01。］0()「01r

于是A10°°11=A100=c

00［。01001

可見應(yīng)選（D）

4.(06,(12)題，4分)設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B,再將B的第1

110

列的一1倍加到第2列得C,記P=010則

001

(A)C^P'AP(B)C=PAP-'

(C)C=PTAP(D)C=PAP1

【分析】本題為矩陣運(yùn)算，需要利用矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系來求解。

【詳解】因?yàn)镻為初等矩陣，PA相當(dāng)于把A的第2行加到第1行，記B=PA,所以正選應(yīng)

在（B）,（D）之中，而8P，相當(dāng)于把B的第2列加到第1歹IJ,故選項(xiàng)（D）錯誤，于是,

正確選項(xiàng)為（B）

五、矩陣方程

一1

oo

3-

1

oO

1.（95,填5題，3分）設(shè)三階方陣A,B滿足關(guān)系式：A-iRA=6A+84,且A=4-

1

OO-

7

一

300

貝|JB=020

001

【分析】解這種矩陣的題型，應(yīng)先進(jìn)行化簡后再計算，但注意的是：左乘與右乘矩陣時是有

區(qū)別的，請不要輕易地犯這種低級錯誤。

【詳解】在已知等式4TA4=6A+6A兩邊右乘以得

A-'B=6E+B

于是

B=6(A-'-EY'

00

00

2.（00,十題，6分）且4J*=吐+3E,

10

08

其中E為4階單位矩陣，求矩陣B

【分析】本題為求解矩陣方程問題，B相當(dāng)于是未知矩陣，其一般原則是先化簡，再計算,

根據(jù)題設(shè)，等式可先右乘A,再左乘A*,盡量不去計算A"

【詳解1】由A4*=A*4=IAIE,知因此有

8TA*|=|A|3,于是|A|=2

在等式AA4T=84一|=3E兩邊先右乘A,再左乘A*,得

(2E—A*)8=6E,

10006000

01000600

于是3=6(2E—A*》=6—

-10106060

030-6030-1

【詳解2】IAI=2（同解1）。由AA*=\A\E,得

1000'-2000'

01000200

A=A|(A*)T=2A()T=2-1010=-2020

3,、13~1

0-0-0-0-

8844.

可見A-E為可逆矩陣，于是由（力―=3E,有6=3(4-￡尸4,而

'1000■-1"1000'

01000100

(AR-2010=2010

33cc4

0-0——010——

44L3J

-1000--2000-

6000

01000200

0600

因此B=32010-2020

6060

八■八431

010——0-0-030-1

3_44.

六、矩陣得秩

102

1.(96,填5題,3分）設(shè)A是4X3矩陣，且A得秩r（A）=2,而8020,貝h

-103

(AB)=2

【分析】本題是基本題型，考查的是矩陣的秩

102

【詳解】因?yàn)殁?=020=10/0,說明矩陣B可逆，故秩「08）=秩r（A）=2

-103

6

是滿秩的，則直線21￡=上二九=三區(qū)與

C

2.（98,選4題，3分）設(shè)矩陣a2，22

"i-a?by-b、

?3&C3

直線.一.=y-a=z-C|

4一%b,一bjC2C3

(A)相交于一點(diǎn)(B)重合

(C)平行但不重合(D)異面

[]

【答】應(yīng)選(A)

【分析】本題綜合運(yùn)用了線性代數(shù)于空間解析幾何兩個知識點(diǎn)，主要考查對滿秩方陣、二向

量共線的條件及三向量共面的條件等概念的理解及應(yīng)用，作為選擇題本題首先可由兩直線

不共線,排除選項(xiàng)(B)和(C),根據(jù)對稱性,不難觀察到點(diǎn)3-。2+。3，瓦-瓦+》3，C|-，2+。3)

同時滿足兩個方程，故應(yīng)選(A)

?)4q

【詳解】設(shè)矩陣a2b2c2是滿秩的，所以通過行初等變換后得矩陣

4。3_

ax-a2b{-b2cl-c2

。2一。3%一4仍是滿秩的，于是兩直線的方向向量

_?3b3.

S[={。]一電力1—，2，C]一。2}$2=3一％也—”3，，2—C3}

線性無關(guān)，可見此兩直線既不平行，又不重合。又(％,仇,Cj、(生,4,，3)分別為兩直線上

的點(diǎn)，其連線向量為：Si^{a}-a2,h]-b2,cl-c2},滿足S3=S1+S2,可見$，S2,S3

共面，因此S2必正交，即兩直線肯定相交

第三章向量

一、向量組地線性相關(guān)問題

I.（97,選4題,3分）設(shè)%=a2,at=b2,tZI=c2,則三條直線qx+Ay+q=0,

a2x+b2y+c2=0,a3x+/>3y+c3=0（其中a：+b；/0,，'=1,2,3）交于一點(diǎn)地充要條件是

(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)

(C)秩“%,。2，[3)=秩，(01,%)(D)線性相關(guān)，a1，%線性無關(guān)

[

【答】應(yīng)選(D)

alx+bly+cl-0

【分析】三條直線交于一點(diǎn)的充要條件是方程組,。2%+4〉+。2=0有惟解

a^x+b^y+c3=0

【詳解】由題設(shè)，三條直線相交于一點(diǎn)，即線性方程組

qx+bj+C]=0

<a2x+b2y+c2-0

a3x+Z?3y+c3=0

有惟一,解，其充要條件為秩r(at,a2,a3)=秩rCa^a,)=2

(A),(C)必要但非充分；(B)既非充分又非必要；只有(D)為充要條件，故應(yīng)選(D)

2.(98,十一題，4分)設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)k,使線性方程組A?x=0有解向

量a,且不TJCNO,證明：向量組a,Aa,…,A*-%線性無關(guān)

【分析】向量組a,Aa,…,不一力是線性無關(guān)的，則當(dāng)4a+4Aa+…+4_|不一勿=0時,

必有4=4=…=4_]=o成立

【詳解】設(shè)有常數(shù)4,4,…，4_「使得

4a+4A&H■…+=0

則有Ak-'（4a+4Aa+…+4TAia）=。

從而41Ala=0

由題設(shè)不一匕*。，所以％=0

類似地可以證明4=4=…=4_|=0，因此向量組a,Aa,…,不一勿是線性無關(guān)的

3.（00,選4題，3分設(shè)n維列向量組a”…,a,“（men）線性無關(guān)，則n維列向量組瓦…，口”

線性無關(guān)的充分必要條件為

（A）向量組4”可由向量組片,…，乩線性表示

（B）向量組片,…，色可由向量組線性表示

（C）向量組4,…,a,“與向量組笈,…，凡等價

（D）矩陣A=）與矩陣8=（四,…，色）等價

[]

【答】應(yīng)選（D）

【分析】向量組片,…,凡線性相關(guān)O向量組的秩“片,…,"）=〃?，由定理“若,，…,4

可由四，…,以線性表出，則“%,…,…,力）”

【詳解】用排除法

（A）為充分但非必要條件：若向量組必，…,a,”可由向量組笈，…,總線性表示，則一定可

推導(dǎo)出片,…，凡線性無關(guān)，因?yàn)槿舯兀?凡線性相關(guān)，則八%,…,%,）＜〃？，于是

名,…,%，必線性相關(guān)，矛盾。但反過來不成立，如當(dāng)m=l時，/=（1,0）,自=（0,1/■均

為單個非零向量是線性無關(guān)的，但必并不能用女線性表示

（B）為既非充分又非必要條件。如當(dāng)m=l時，考慮/=（1,0）7,川=（0,1尸均線性無關(guān)，

但四并不能由名線性表示，必要性不成立；又如名=（1,0），用=（0,0尸，與可由%線性

表示，但4并不線性無關(guān)，充分性也不成立

（C）為充分但非必要條件，若向量組,，…,4”與向量組才,&等價，由名,…,區(qū)”線

性無關(guān)秩,r（國，…，/3m）=r（%,…，a,“）=m,因此…線性無關(guān)，充分性成立；當(dāng)

m=l時,考慮口=（1,0）與4=（0,1/■均線性無關(guān)，但％與天并不是等價的,必要性不成立

故剩下（D）為正確選項(xiàng)。事實(shí)上，矩陣4=（%,與矩陣8=（自，…,凡）等價

。r（A）=?B）or（4,……因此是向量組取,…，色線性無關(guān)的

充要條件

4.（03,選4題，4分）設(shè)向量組I:區(qū),。2,…,%可由向量組H：凡可，…血線性表示，則

（A）當(dāng)r<s時，向量組II必線性相關(guān)（B）當(dāng)>s時，向量組H必線性相關(guān)

（C）當(dāng)r<s時，向量組I必線性相關(guān)（D）當(dāng)os時，向量組I必線性相關(guān)

【1

【答】應(yīng)選（D）

【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組向量個數(shù)的定理：若向量組I：%,。2,…,巴可

由向量組n：4,四，…,凡線性表示，則當(dāng)〉s時，向量組I必線性相關(guān)，或其逆否命題：若

向量組I可由向量組II：4,外，…血線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必

有rWs,可見正確選項(xiàng)為（D）。本題也可通過舉反例用排除法找到答案

【詳解】用排除法：如

,4=血=，則/=0?g+00，但綜夕2線性無關(guān)，排除（A）：

1o11>

%=,%=，用=，則/.a?可由總線性表示，但與線性無關(guān)，排除（B）;

/=：）,4=（；）,自=:,則必可由自，河線性表示，但火線性無關(guān)，排除（C）

故正確選項(xiàng)為（D）

5.（04,選（12）題，4分）設(shè)A,B為滿足AB=0的任意兩個非零矩陣，則必有:

(A)A的列向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān)

(B)A的列向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)

(C)A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān)

(D)A的列向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)

【答】應(yīng)選（A）

【分析】A,B的行或列向量組是否線性相關(guān)，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx

=0）是否有非零解進(jìn)行分析討論

【詳解1】設(shè)A為mXn矩陣，B為nXs矩陣，則由AB=O知，

r(A)+r(B)<n

又A,B為非零矩陣,必有r(A)>0,r(B)>0.可見r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量組線性相關(guān),

B的行向量組線性相關(guān)，故應(yīng)選(A)

【詳解2】AB=0知，B的每一列均為Ax=O的解，而B為非零矩陣，即Ax=O存在非零

解，可見A的列向量組線性相關(guān)。

同理，由AB=O知，BTAT=0,于是有5T的列向量組線性相關(guān)，從而B的行向量組線性

相關(guān)，故應(yīng)選(A)

6.(05,選11題,4分)設(shè)4,4是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為名,a2，

則%,4%+。2)線性無關(guān)的充分必要條件是

(A)4/0(B)4/0(C)4=0(D)4=0

【］

【答】應(yīng)選(B)

【分析】本題綜合考查了特征值、特征向量和線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，討論,組抽象向

量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可

【詳解】按特征值特征向量定義，有+&2)=A/+A&2=4%+4a2

a

a,,A(at+。2)線性無關(guān)=K\+左2A(%+&2)=°，占，42恒為°

。(匕+4左2)。1+4%2a2=0,匕,22恒為0

由于不同特征值的特征向量線性無關(guān)，所以線性無關(guān)

k.+=0

于是:J八次I，&恒為0

k.+4%,=o14

而齊次方程組<I八，只有零解=八:力0=4工0

/t,K,=0

所以應(yīng)選(B)

7.(06,(11)題，4分)設(shè),,。2,…,見均為n維列向量，A是mXn矩陣，下列選項(xiàng)正確

的是

(A)若外,。2,…,線性相關(guān)，貝1J4囚,A&2,…，A4線性相關(guān)

(B)若,,&2,…,見線性相關(guān)，貝ijA%,…，A4線性無關(guān)

(C)若囚,a2，…，4一線性無關(guān)，貝IA4,Aa2,…,Aa,線性相關(guān)

(D)若,,&2,…,線性無關(guān)，貝ijA/,A。2，…，A。,線性無關(guān)

【分析】本題為判別向量組的線性相關(guān)性，可利用線性相關(guān)性的定義和矩陣的秩與向量線性

相關(guān)的關(guān)系來求解

【詳解1】因?yàn)槿羟?。?，…,見線性相關(guān)，則存在不全為0的s個數(shù)匕，右，…,&，使

kxa]+k2a[H---1-ksas-0

用A左乘上式兩端，得

A(klal+k2a2+…+ksas)=A-0

nk[Act,+k2Aa2H■…+ksAas=0

因勺/2,…,凡不全為零，故A/,A%,…,A%線性相關(guān)，所以，正確選項(xiàng)為(A)

【詳解2】設(shè)矩陣

S=[al,a2,---,av],C=\Aax,Aa2,---,Aas]

貝|JC-{AavAa2,---,Aas]-A[ax,a2,---,as]-AB

于是?C)=，(A8)<?8)

若%,a?，…,線性相關(guān)，則MB)<s,由此得r(C)<s。止時，C的列向量Aax,Aa2,---,Aas

線性相關(guān)，所以，正確選項(xiàng)為(A)

【詳解3]因矩陣A可任意取，故當(dāng)A=0時，可得選項(xiàng)(B),(D)是錯誤的，而當(dāng)s=n

時，WA=E,可得選項(xiàng)(D)也是錯誤的，所以正確選項(xiàng)只能是(A)

二、向量組的秩與向量空間

rr

1.(97,七(1)題，5分)設(shè)B是秩為2的5X4矩陣，a}=(1,1,2,3),a2=(-1,l,4,-l),

。3=(5,-1,-8,9)/'是齊次線性方程組以=0的解向量,求取=0的解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基

【分析】要求Bx=0的解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，首先必須確定此解空間的維數(shù)以及相應(yīng)

線性無關(guān)的解，由題設(shè)知解空間的維數(shù)，即Bx=0的線性無關(guān)解的個數(shù)等于B的列數(shù)減r(B),

顯然等于2,而名,。2，。3三個解向量兩兩均是線性無關(guān)的，選取任意的兩個進(jìn)行施密特正

交化均能得到一個標(biāo)準(zhǔn)的正交基，解不是唯一的

【詳解】因秩r(B)=2,故解空間的維數(shù)為：4-r(B)=4-2=2

又％,%線性無關(guān)，可見生,%是解空間的基

先將其正交化：令

22

33

再將其單位化：令

1

即為所求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基

2.（03,填4題，4分）從R?的基因=,02=到基4=，22=的過渡矩

0I—1/12,

23、

-1-2,

【分析】n維向量空間中,從基燈,…,％到基才,…，月的過渡矩陣P滿足

，

[凡外…應(yīng)%]P,因此過渡矩陣P為:P=[al,a2,-,anr^l,jS2,-,jS?]

【詳解】根據(jù)定義，從心的基/到基月的過渡矩陣為

11Y71

P=(',4)-'(人片)=

o-11

第四章線性方程組

一、齊次線性方程組

1.（98,十二題，5分）已知線性方程組

a\\X\+《2》2^ai.2nX2n=0

a2}x}+a22x2+---+a22nx2n=0

（1）?

?！氨??！?—+…+%2"耳=°

的一個基礎(chǔ)解系為（如也，…，或2"）"心也2,…也,2"）‘，…，（如也2,…也.2.尸，試寫

出線性方程組

.11%+瓦%+…+伍,2“％.=0

,n、%凹+%2%+~+%2/2“=。

+22%+…=0

的通解，并說明理由

【分析】一般地，若AB=0,就應(yīng)想到B的每?列均為Ax=0的解，本題也可用向量形式證

明A的行向量的轉(zhuǎn)置為（II）的解，但相對較復(fù)雜一些

【詳解】（II）的通解為

y=…，"1,2"）+。2（。21，"22，~'，。2,2"）%（%1，冊2”），。1，…，

C,為任意常數(shù)

理由：方程組（I）,（H）的系數(shù)矩陣分別記為A,B,則由題設(shè)可知AB「=0,璃BAT=0,

可見A的n個行向量的轉(zhuǎn)置向量為（II）的n個解向量

由于B的秩為n,故（］1）的解空間維數(shù)為2n-r（B）=2n-n=n.又A的秩為2n與（I）的解空

間維數(shù)之差，即為n,故A的n個行向量線性無關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成（H）的一個

基礎(chǔ)解系，于是得到（II）的上述通解

2.（01,九題，6分）設(shè)名,%,…,4為線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，f3x=+t2a2,

P2=/e2+f2a3,…，及=，14+，2a廠持九，2為實(shí)常數(shù)。試問"，，2滿足什么關(guān)系時，夕1，…，

氏也為Ax=o的一個基礎(chǔ)解系

【分析】首先應(yīng)理解基礎(chǔ)解系的概念，片,…，氏是Ax=o的一個基礎(chǔ)解系，必須證明以，…,

月均為Ax=O的解，而且是線性無關(guān)的，而基礎(chǔ)解系應(yīng)滿足兩個條件：①解向量；②線性

無關(guān)且向量個數(shù)為S=n-r(A)

【詳解】由于用］=1,2,…,S)均為％,。2,…，氏的線性組合，所以以a=1,2,…,s)均為Ax

=0的解，下面證明自，…,反線性無關(guān)，設(shè)

!

4g+k2a2H-----'-ksas-0

即+//）%+?2勺+?#2）。2+…+（，24-l+優(yōu)）&s=0

由于4,。2,…,a,線性無關(guān)，因此其系數(shù)全為零，即

/￡+t2kx=0

12kl+格=0

‘2%-1+稔=°

4000f2

a0…0

其系數(shù)行列式0t?Zj…0=1+（_i）F

00012tl

可見，當(dāng)1+(—即當(dāng)S為偶數(shù)，4H±J：s為奇數(shù)，4W/2時，上述方程組只

有零解占=e=一=%=0,因此向量組以，…,凡線性無關(guān)，從而必，…,氏也為Ax=o的

一個基礎(chǔ)解系

3.(03,選5題，4分)設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為mXn矩陣,

現(xiàn)有4個命題：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)N秩(B)；

若秩(A)N秩(B),則Ax=0的解均是Bx=0的解；

③若Ax=0與Bx=0同解，則秩⑷二秩⑻；

④若秩。)=秩(8),則Ax=0與Bx=0同解

以上命題中正確的是

(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④

【答】應(yīng)選(B)

【分析】本題可找反例用排除法進(jìn)行分析，但①、②兩個命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是

抓?、叟c④，迅速排除不正確的選項(xiàng)

【詳解】若Ax=O與Bx=O同解，則n—秩(A)=n-秩(B),即秩6)=秩e)，命題③成立可排

除(A),(C)；

若秩。)=秩也)，則不能推出Ax=0與Bx=0同解如A=,B=,則秩(A)=

10ojlo1J

秩(B)=l,但Ax=0與Bx=0不同解，由此，命題④不成立，排除(D),所以答案選(B)

4.(04,20題，9分)設(shè)有齊次線性方程組

(1+。)內(nèi)+x2+???+xn=0

2%+(2+。)％+…+2x“=0

<(n>2)

〃玉+nx2+???+(〃+a)xn=0

試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解

【分析】本題是方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對系數(shù)矩陣直接

用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n,進(jìn)而判斷是否有非零解；或直接計算系

數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行列式的值必為零，由此對參數(shù)。的可能取值進(jìn)行討論即可

【詳解1】對方程組的參數(shù)矩陣A作初等行變換，有

1+。11?■■11+a11-r

22+a2???2-2aa0??0

4=->=B

nnn???n+a-na00??a_

當(dāng)。=0時-，r(A)=l<n,故方程組有非零解，其同解方程組為

Xi+X2+'"+Xn=0

由此得基礎(chǔ)解系為

7=(—1,1,0,…,0)T,%=(T,0,L…,0/■，…=(T,0,0,…,1尸，于是方程組得通

解為x=女]]+…+&-因I，其中k]…*為任意常數(shù)

當(dāng)a/0時，對矩陣B作初等行變換，有

卜〃(〃+l)

1+Q11-1■a-00-??0

2

-210??-0

BT->-210??-0

-n00??-1

-n00,,1

可知〃=一3±?時,r(A)=nT<n故方程組也有非零解，其同解方程組為

2

一2再+x2=0

一3玉+M=°

一叫+怎=0

由此得基礎(chǔ)解系為7=(1,2,…，〃尸

于是方程組的通解為

x=krj，其中k為任意常數(shù)

【詳解2】方程組的系數(shù)行列式為

1+a11?-?1

22+Q2???2"T

閭==[a+2■

nnn???n+a

當(dāng)I川=0,即4=0或4=_〃0；+D時,方程組有非零解

當(dāng)。=0時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有

111…1'1111

222-?-2000-??0

nnn■n000-??0

故方程組的同解方程組為

Xj+x2H--+=0

由此得基礎(chǔ)解系為

7,=(-1,1,0,-??,Of,(-1,0,1,---,=(-1,0,0,于是方程組

的通解為x=+&2〃2+…+左-/_1，其中h…k.i為任意常數(shù)

當(dāng)。=—四業(yè)時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有

2

1+a11???11+a11---r

22~\~a2???2-2aa0--0

A=->

nnn-??n+a-na00-?a

1+Q11?--1■000???O-

-210-0-210-0

—>—>

-n00---1-n0