人教中考數(shù)學(xué)平行四邊形-經(jīng)典壓軸題及答案

一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.己知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).圖1 圖2 圖3（1）如圖1,當(dāng)b=2a,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明NBMC=90。；（2）如圖2,當(dāng)b>2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在NBMC=90。，若存在，請(qǐng)給與證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3,當(dāng)bV2a時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在，理由見(jiàn)解析；（3）不成立.理由如下見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由b=2a,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得AB=AM=MD=DC=a,又由四邊形ABCD是矩形，即可求得NAMB=NDMC=45。，則可求得NBMC=90。；（2）由NBMC=90。，易證得△ABM?△DMC,設(shè)AM=x,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得方程:x2-bx+a2=O,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；（3）由（2）,當(dāng)bV2a,a>0,b>0,判定方程x?-bx+a2=0的根的情況，即可求得答案.試題解析：（1）b=2a,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，/.AB=AM=MD=DC=a,又「在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,ZAMB=ZDMC=45°,/.ZBMC=90°.（2）存在，理由：若NBMC=90。，則NAMB+ZDMC=90°,又???ZAMB+ZABM=90°,/.ZABM=ZDMC,又NA=ND=90°,「.aABM~△DMC,AMAB…CD=DM*、門 rn.X4設(shè)AM=x,則一= ,ab-x

整理得:X2-bx+a2=0,b>2a,a>0,b>0,???△=b2-4a2>0,??.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，???當(dāng)b>2a時(shí)，存在NBMC=90°,(3)不成立.理由：若NBMC=90。，由(2)可知x2-bx+a2=0,b<2a,a>0,b>0,/.△=b2-4a2V0,???方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，.?.當(dāng)bV2a時(shí)，不存在<BMC=90。,即(2)中的結(jié)論不成立.考點(diǎn)：1、相似三角形的判定與性質(zhì)；2、根的判別式；3、矩形的性質(zhì)2.問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖①，點(diǎn)夕為平行四邊形A6c。內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)過(guò)點(diǎn)夕畫(huà)一條直線/,使其同時(shí)平分平行四邊形A5C。的面積和周長(zhǎng).問(wèn)題探究：(2)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系X?！分?，矩形。46c的邊。4、OC分別在x軸、了軸正半軸上，點(diǎn)8坐標(biāo)為(8,6).己知點(diǎn)P(6,7)為矩形外一點(diǎn)，請(qǐng)過(guò)點(diǎn)夕畫(huà)一條同時(shí)平分矩形。46c面積和周長(zhǎng)的直線/,說(shuō)明理由并求出直線/,說(shuō)明理由并求出直線/被矩形截得線段的長(zhǎng)度.問(wèn)題解決：(3)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，矩形。4BCO的邊。4、分別在工軸、丁軸正半軸上，OC//X軸，A5〃>軸，且。4=8=8,AB=CD=2,點(diǎn)、PQ0-5?、10-5&)為五邊形內(nèi)一點(diǎn).請(qǐng)問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)夕的直線/,分別與邊。4與6c交于點(diǎn)七、F，且同時(shí)平分五邊形。488的面積和周長(zhǎng)?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)后和點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.o【答案】(1)作圖見(jiàn)解析：(2)o【答案】(1)作圖見(jiàn)解析：(2)y=2x—5,3";(3)E(0,0),F(5,5).【解析】試題分析：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)0,作直線P0,直線P0將平行四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng)分別相等的兩部分.（2）連接AC,BD交于點(diǎn)O',過(guò)O'、P點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積和周長(zhǎng)分為分別相等的兩部分.（3）存在，直線＞=X平分五邊形。鉆8面枳、周長(zhǎng).試題解析：（1）作圖如下：.?尸(6,7),0(4,3),一.設(shè)尸O':y=爪+6,6k+b=7k=2%+/?=3'{〃=-5’/.y=2x-5,(5A交x軸于N-,0,/f11A交6C于M—,6,I，/(3)存在，直線)'=x平分五邊形。ABC。面積、周長(zhǎng).PQO——5JI)在直線)'=x上，??連OP交OA、BC于點(diǎn)、E、F,設(shè)5C:y=Ax+b,B(8,2)C(2,8),8k+b=2k=一1^2k+=8' =10?.直線6C:y=—x+10,3.如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到到夕的位置，AB，與CD交于點(diǎn)E.(1)求證：△AED之△CEB'(2)若AB=8,DE=3,點(diǎn)P為線段AC上任意一點(diǎn)，PGJLAE于G,PHLBC于H.求PG+【答案】(1)證明見(jiàn)解析：(2)土【解析】【分析】(1)由折疊的性質(zhì)知，CB'=BC=AD,乙乙D=90。，乙B,EC=5EA,則由/1/1S得至［j△AED=△CEB，.(2)由△"EDWACEB：可得EZT=°E=3,又由“8=8,即可求得力后的長(zhǎng)，然后在立△/!/)￡中，利用勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)P作于K,由角平分線的性質(zhì)，可得PK=PG,易證得四邊形八小正是矩形，繼而可求得答案.【詳解】.J四邊形/Be。為矩形，???CB'=BC=ADLB=乙B'=￡D=90°9 ，又???2B'EC=LDEA,△AED=△CEB,.⑵,:△AED=△CEB；???EB'=DE=3■:AB1=AB=8???AE=AB1-EBf=8^3=5在/?￡△/!/）￡中，AD=x；AE2-DE2=49過(guò)點(diǎn)P作PK〉?于勺■:LBlAC=LBACPGLAE9 9??PK=PG??PHLCDABUCD,??PH1AB??H、P、K共線，??（D=乙KHD=^HKA=90°??四邊形/D〃K是矩形，??HK=AD=4??PG+PH=PK+PH=HK=4?【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí).此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（4,0）,（4,3）,動(dòng)點(diǎn)M,N分別從0,B同時(shí)出發(fā).以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作MP_LOA,交AC于P,連接NP,已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少（用含x的代數(shù)式表示）；（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面枳S的最大值及相應(yīng)的x值：3【答案】（1）P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,3-1x）.3S的最大值為彳，此時(shí)x=2.4 16 12Sx=-,或x=—,或x=——3 9 57【解析】試題分析：(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是求0M和PM的長(zhǎng)，己知了0M的長(zhǎng)為x,關(guān)健是求出PM的長(zhǎng)，方法不唯一，①可通過(guò)PMII0C得出的對(duì)應(yīng)成比例線段來(lái)求；②也可延長(zhǎng)MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長(zhǎng)和NACB的正切值求出PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)PM=AB-PQ來(lái)求出PM的長(zhǎng).得出0M和PM的長(zhǎng)，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).(2)可按(1)②中的方法經(jīng)求出PQ的長(zhǎng)，而CN的長(zhǎng)可根據(jù)CN=BC-BN來(lái)求得，因此根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可得出S,x的函數(shù)關(guān)系式.(3)本題要分類討論：①當(dāng)CP=CN時(shí)，可在直角三角形CPQ中，用CQ的長(zhǎng)即x和NABC的余弦值求出CP的表達(dá)式，然后聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值；②當(dāng)CP=PN時(shí)，那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)QN=CN-CQ求出QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的值.③當(dāng)CN=PN時(shí)，先求出QP和QN的長(zhǎng)，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的長(zhǎng)，聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值.試題解析：(1)過(guò)點(diǎn)P作PQ_LBC于點(diǎn)Q,有題意可得:PQHAB,△CQP~△CBA,QPAB-QC~1COP3■?? =—x4解得:QP=-x,4/.PM=3--x,4由題意可知，C(0,3),M(x,0),N(4-x,3),P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,3-—x).4(2)設(shè)ANPC的面積為S,在4NPC中，NC=4-x,NC邊上的高為:X,其中，0<x<4.4，，/.S=—(4-x)x—x=(-x2+4x)4S??.S的最大值為2,此時(shí)x=2.7(3)延長(zhǎng)MP交CB于Q,則有PQ_LBC.①若NP=CP,?/PQ±BC,「?NQ=CQ=x./.3x=4,4x=-?3②若CP=CN,則CN=4-x,PQ=x,CP=jx,4-x=jx,16*-x=—；9③若CN=NP,貝l]CN=4-x.rJ「PQ=-x,NQ=4-2x,/在RtAPNQ中，PM=NQ2+PQ2,.?.(4-x)2=(4-2x)2+(-x)4考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.5.如圖①，在等腰中，ABAC=90,點(diǎn)E在4c上(且不與點(diǎn)4C重合)，在△ABC的外部作等腰必△CE。，使NCEO=90'，連接AD,分別以48,4D為鄰邊作平行四邊形A8FD,連接八F.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段八F,AE的數(shù)量關(guān)系；⑵①將晶七。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段8c上時(shí)，如圖②，連接4E,請(qǐng)判斷線段4F,AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若AS=2/，CE=2,在圖②的基礎(chǔ)上將△CEO繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)平行四邊形4BF。為菱形時(shí)，直接寫(xiě)出線段4E的長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析：⑵①AF=&E②4a或2vL【解析】【分析】(1)如圖①中，結(jié)論：AF二&E，只要證明aAEF是等腰直角三角形即可;(2)①如圖②中，結(jié)論：AF=&AE，連接EF,DF交BC于K,先證明△EKF2△EDA再證明aAEF是等腰直角三角形即可；②分兩種情形a、如圖③中，當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形.b、如圖④中當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形?分別求解即可.【詳解】(1)如圖①中，結(jié)論：AF二&AE.圖①理由：?四邊形ABFD是平行四邊形,/.AB=DF，vAB=AC,AC=DF，vDE=EC,/.AE=EF?”EC=NAEF=90，「.△AEF是等腰直角三角形，AF=-x/2AE.故答案為AF=JlAE.（2）①如圖②中，結(jié)論：AF=V2AE-圖②理由：連接EF,DF交BC于K..?四邊形ABFD是平行四邊形，.?.AB//DF，/.CKE=NABC=45。，/.ZEKF=180-^DKE=135°,EK=ED,/ADE=180-ZEDC=180-45,=135°,.?.^EKF=NADE,.?/DKC=/C,.-.DK=DC,.?DF=AB=AC,.?.KF=AD,在^EKF和aEDA中，EK=EDZEKF=ZADE,KF=AD.,.△EKF=△EDA，.?.EF=EA,^KEF=NAED，^FEA="ED=90，「.△AEF是等腰直角三角形，.*.AF=V2AE.②如圖③中，當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H,易知EH=DH=CH="AH="2后-（必、=3無(wú)，AE=AH+EH=4>/1，

A.圖④綜上所述，滿足條件的AE的長(zhǎng)為4&或2虛.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)健是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點(diǎn)，屬于中考?？碱}型.6.己知AD是△ABC的中線P是線段AD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連接PB、PC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，AD與EF交于點(diǎn)M；（1）如圖1，當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：四邊形EGHF是矩形;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，在不添加任何輔助線的條件下，寫(xiě)出所有與4BPE面積相等的三角形(不包括仆BPE本身).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)△APE.△APF.△CPF.△PGH.【解析】【分析】(1)由三角形中位線定理得出EGIIAP,EFIIBC.EF=-BC,GHIIBC,GH=-BC,推出2 2EFIIGH,EF=GH,證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF_LAP,推出EF_LEG,即可得出結(jié)論；(2)由△APE與△BPE的底AE=BE,又等高，得出入ape=Sabpe,由△APE與△APF的底EP=FP,又等高，得出Saape=Saapf,由△APF與4CPF的底AF=CF,又等高，得出Saapf=Sacpf,證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出PGH=-aEF=SaAPF,即可得出結(jié)果.2【詳解】(1)證明：???￡、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn)，1 1「?EGIIAP,EFIIBC,EF=—BC,GHIIBC,GH=-BC,2 2AEFIIGH,EF=GH,???四邊形EGHF是平行四邊形，AB=AC,AD±BC,EF_LAP,,/EGIIAP,??.EF±EG,???平行四邊形EGHF是矩形；「￡是4APB的中線，△APE與△BPE的底AE=BE,又等高，SaAPE=5△BPEt,/AP是〉A(chǔ)EF的中線,.?.△APE與AAPF的底，EP=FP,又等高，SaAPE=SaAPF，SaAPF=S△BPEt,/PF是^APC的中線,.?.△APF與△CPF的底AF=CF,又等高，SaAPF=SaCPF，SaCPF=SaBPE，?/EFIIGHIIBC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點(diǎn),?.△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC

底邊BC上高的一半，:?*PGH底邊GH上的同等于△AEF底邊EF上局的一?半，,/GH=EF,,1SaPGH=—SaAEF=SaAPF,2綜上所述，與△BPE面枳相等的三角形為：ZkAPE、△APF>△CPF.△PGH.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形面枳的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.7.如圖①，四邊形A5CO是知形，AB=1,BC=2,點(diǎn)七是線段6c上一動(dòng)點(diǎn)（不與3C重合），點(diǎn)尸是線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接。旦所,?！晁籄O于點(diǎn)G.設(shè)BE=x,AF=y,已知》與工之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.圖① 圖②（1）求圖②中）'與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求證:DE1DF；（3）是否存在x的值，使得△OEG是等腰三角形?如果存在，求出x的值;如果不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）y=-2x+4（0VxV2）；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，x=』或‘一"或4 2 2【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得V與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）證明△ △ADF,得N40F=NCDE,可得結(jié)論；（3）分三種情況：①若DE=DG,則NDGE=4DEG,②若DE=￡G,如圖①，作EHIICD,交AD于H,③若DG=EG,則NGDE=Z.GED,分別列方程計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)y=H+b,由圖象得：當(dāng)X=1時(shí)，y=2,當(dāng)x=0時(shí)，y=4,[k+b=2 (k=-2代入得：4)，得< 」，Z?=4g=4/.y=-2x+4(0<x<2)；(2)BE=x,BC=2???CE=2-x,CE2-x 1CD1? AF-4-2x_2，AD-21CECD■ ,■~af~~ad'??四邊形八BCD是矩形，??ZC=ZDAF=90\??△CDE?△ADF,??NADF=NCDE,??ZADF+NEDG=4CDE+NEDG=90\??DE工DF；(3)假設(shè)存在x的值，使得△OEG是等腰三角形，①若DE=DG9則NDGE=NDEG,??四邊形八8CD是矩形，??AOII8C,Z8=90。，ZDGE=Z.GEB,ZDEG=NBEG,在ADEF和ABEF中，ZFDE=ZBZDEF=ZBEF,EF=EF???△DEFW△BEF(AAS),/.DE=BE=x,CE=2-x,.?.在RSCDE中，由勾股定理得：1+(2-x)2=x2,5x=—：4②若DE=EG,如圖①，作EHIICD,交AD于H,（圖①）TA。II8C,EHIICD,??.四邊形CDHE是平行四邊形,ZC=90°,四邊形CDHE是矩形，，EH=CD=1,DH=CE=2?x,EH工DG,HG=DH=2?x,/.AG=2x-2,?/EHIICD,0cliAB.「?EHIIAF9△EHG~△FAG..EH_HG■'~AF=~\G', 1 _2-x"4-2x~2x-2,.?.8=三叵,x,=土在（舍），1 2 - 2③若DG=EG,則NG0E=NGED,「A。IIBC,?.ZGDE=NDEC,??ZGE0=NDEC,/ZC=ZEDF=90。,CDE?△DFE,CEDE'■~cd~~df'CDE-△ADF,DECD1? "'DF~~AD~2,.CE1TOC\o"1-5"\h\z?- =一，CD232-x=『x=~,綜上，x=g或上叵或4 2 2【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形相似和全等的性質(zhì)和判定，矩形和平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理和逆定理等知識(shí)，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.8.如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.⑴試猜想AE與GC有怎樣的關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2,連接AE和【答案】⑴AE=CG,AE±GC；（2）成立，證明見(jiàn)解析：⑶.【解析】【分析】（1）觀察圖形，AE、CG的位置關(guān)系可能是垂直，下面著手證明.由于四邊形ABCD、DEFG都是正方形，易證得△ADE2△CDG,則N1=N2,由于N2、N3互余，所以N1、N3互余，由此可得AE_LGC.（2）題（1）的結(jié)論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證△ADE2△CDG,得N5=Z4,由于N4、N7互余，而N5、N6互余，那么N6=/7：由圖知NAEB=NCEH=90。-Z6,即N7+NCEH=90。，由此得證.（3）如圖3中，作CM_LDG于G,GN_LCD于N,CH_LFG于H,則四邊形CMGH是矩形，可得CM=GH,CH=GM.想辦法求出CH,HF,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.【詳解】（1）AE=CG,AE±GC：證明：延長(zhǎng)GC交AE于點(diǎn)H,在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC,ZADE=ZCDG=90°,DE=DG,「.△ADE登△CDG(SAS),AE,CG,Z1=Z2/Z2+Z3=90",??Z1+Z3=90%zAHG=180°-(Z1+Z3)=180°-90°=90%AE±GC.(2)答：成立：證明：延長(zhǎng)AE和GC相交于點(diǎn)H,圖2尸在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG,ZADC=ZDCB=ZB=ZBAD=ZEDG=90%??Z1=Z2=90°-N3；「?△ADE里△CDG(SAS),/.AE=CG,Z5=Z4；又「Z5+Z6=90%Z4+Z7=180°-ZDCE=180°-90°=90°,N6=N7,又???N6+NAEB=90°,NAEB=NCEH,??ZCEH+Z7=90%??ZEHC=90°,AE±GC.⑶如圖3中，作CMJ?DG于G,GNLCD于N,CHLFG于H,則四邊形CMGH是矩形，可得CM=GH,CH=GM.圖3/BE=CE=1,AB=CD=2,?AE=DE=CG=DG=FG=75，「DE=DG,NDCE=NGND,NEDC=NDGN,「?△DCE堊△GND(AAS),「?GCD=2,TOC\o"1-5"\h\z1 1dcg=—?CD?NG=一?DG?CM,2 22x2=75<M,5MG=CH=^CG2-CM2= ，

FH=FG-FG=FH=FG-FG=^=y/FH2+CH2=借）、（哈"口故答案為JI.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考杳了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.9.（1）如圖1,將矩形A5CD折疊，使5c落在對(duì)角線6。上，折痕為8E,點(diǎn)。落在點(diǎn)C'處，若NAQ8=42°，則4心石的度數(shù)為、（2）小明手中有一張矩形紙片A5CQ,A8=4，AD=9.（畫(huà)一畫(huà)）如圖2,點(diǎn)上在這張矩形紙片的邊AO上，將紙片折疊，使A8落在CE■所在直線上，折痕設(shè)為MN（點(diǎn)M，N分別在邊AO,8C上），利用直尺和圓規(guī)畫(huà)出折痕MN（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚）；DCDC￡2（算一算）如圖3,點(diǎn)尸在這張矩形紙片的邊6C上，將紙片折疊，使必落在射線尸。7上，折痕為G尸，點(diǎn)A,6分別落在點(diǎn)4,夕處，若AG=',求夕。的長(zhǎng).【答案】（1）21；（2）畫(huà)一畫(huà)；見(jiàn)解析；算一算：B'D=3【解析】【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可解決問(wèn)題；（2）【畫(huà)一畫(huà)】，如圖2中，延長(zhǎng)BA交CE的延長(zhǎng)線由G,作NBGC的角平分線交AD于M,交BC于N,直線MN即為所求；720【算一算】首先求出GD=9-；=＜，由矩形的性質(zhì)得出ADIIBC,BC=AD=9,由平行線的3 3

性質(zhì)得出NDGF二NBFG,由翻折不變性可知，NBFG=NDFG,證出NDFG=NDGF,由等腰三20角形的判定定理證出DF二DG二一，再由勾股定理求出CF,可得BF,再利用翻折不變性，3可知FB'=FB,由此即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)如圖(1)如圖1所示:???四邊形ABCD是矩形,/.ADIIBC,/.ZADB=ZDBC=42",由翻折的性質(zhì)可知，Z由翻折的性質(zhì)可知，Z1

DBE=ZEBC=-ZDBC=21°,

2故答案為21.(2)【畫(huà)一畫(huà)】如圖所示:【算一算】如3所示:?/AG=-,AD=9,?/AG=-,AD=9,3720gd=9--=——,3 3丁四邊形ABCD是矩形,ADIIBC,BC=AD=9,

ZDGF=ZBFG,由翻折不變性可知,NBFG=NDFG,ZDFG=ZDGF,20「?df=dg=——，3?「CD=AB=4,ZC=90%.?.在R3CDF中，由勾股定理得：CF=y/DF2-CD2=yj-42=y，1611.?.BF=BC-CF=9——=—,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3由翻折不變性可知，F(xiàn)B=FB=一，3, ,20B