高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識手冊第十編：數(shù)列

第十編數(shù)列1.數(shù)列的概念和簡單表示法(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式、遞推公式).(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).2.等差數(shù)列、等比數(shù)列(1)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.(2)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.(3)能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.(4)了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.知識能力解讀(一)數(shù)列Nn的函數(shù).可按研究函數(shù)的一般順序——定義、表示方法、性質(zhì)對數(shù)列進(jìn)行研究.數(shù)列是指按照一定順序排列的一列數(shù).在函數(shù)意義下，數(shù)列是某一定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集1,2,3,...,n})的函數(shù)，其圖象是無限個(gè)或有限個(gè)孤立的點(diǎn)，數(shù)列的一般形式12nnnn(1)a}與a的意義不同.a}表示數(shù)列a,a,...,a,...，而a表示的是這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng).nnn12nn(2)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念.數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)值；而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)項(xiàng)在數(shù)列中的位置，它是自變量的值. (3)在數(shù)列的定義中，只強(qiáng)調(diào)有順序，而不強(qiáng)調(diào)有規(guī)律.數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號有關(guān)，因此給定一個(gè)數(shù)列，只要指明序號，對應(yīng)的項(xiàng)就是確定的.2數(shù)列的表示方法(1)圖象法；(2)列表法；(3)解析法.3數(shù)列的通項(xiàng)公式Nn一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列的項(xiàng)以及是第幾項(xiàng).n為a}中的第n項(xiàng)；若解出的nN*，則m不是a}中的項(xiàng).nn式在形式上不唯一.4數(shù)列的分類(1)有窮數(shù)列、無窮數(shù)列按數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列.切記不要按項(xiàng)數(shù)的多少來分，一個(gè)數(shù)列，它的項(xiàng)數(shù)再多，只要是有限的，它就是有窮數(shù)列. (2)單調(diào)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列遞增數(shù)列和遞減數(shù)列，稱之為單調(diào)數(shù)列.5數(shù)列的遞推公式(1)遞推公式如果已知數(shù)列a}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)a與它的nn前一項(xiàng)a1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的ndd遞推公式.(2)通項(xiàng)公式與遞推公式的異同點(diǎn)不同不同點(diǎn)可根據(jù)某項(xiàng)的序號n的值，直接代入求出項(xiàng)an可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))通過一次(或多需的項(xiàng)an相同點(diǎn)都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)通項(xiàng)公式遞推公式注意：并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，也并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.nnnnnnlSn-Sn-1(n>2).nnnnnnlSn-Sn-1(n>2).7等差數(shù)列(1)等差數(shù)列的定義n+1nn+2n+1n+1n個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可以說從第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起，是一個(gè)等差數(shù)列.數(shù)列.因?yàn)椴钍浅?shù)，但卻不一定是同一個(gè)常數(shù).公差d可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列.n1nma=a+(n-1)d可整理為a=dn+(a-d).如果d=0，那么a是常數(shù)函數(shù)；如果d豐0，那么a是關(guān)于n的一次函數(shù)，它的圖象是直線y=那么a是關(guān)于n的一次函數(shù)，它的圖象是直線y=dx+(a-d)上的一群孤立的點(diǎn).n1(3)等差數(shù)列的增減性(3)等差數(shù)列的增減性nnn (4)等差數(shù)列的求和公式(由倒序相加法推得)n2n12n12n2(12)2n12n2(12)2nnnnn.n一群孤立的點(diǎn).點(diǎn)評 (1)由上面得到的數(shù)列S,S,S,...,S,...不是原等差數(shù)列{a}.(2)由二次函數(shù)的性質(zhì)可dSdS(3)數(shù)列{a}為等差數(shù)nnnnBnn (5)等差中項(xiàng)個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù).在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)(5)等比中項(xiàng)的等差中項(xiàng).比數(shù)列(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q士0)，等比數(shù)等比數(shù)列的公比q是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，它可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，但不能為零. (2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a=aqn_1(n=N*)，a=aqn_m(m,n=N*).由于a=aqn_1可以整理為a=a1.qn，因此等n1nmn1nq比數(shù)列{a}，即〈(a1.qn)卜中的各項(xiàng)所表示的點(diǎn)離散地分布在第一象限或第四象限.當(dāng)q>0nlqJqq(3)等比數(shù)列的增減性naG等比中項(xiàng)，等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這一點(diǎn)與等差中項(xiàng)不同.一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外)是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).(二)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列的性質(zhì) (1)有窮等差數(shù)列{a}中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)的和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和.n間項(xiàng)的2倍，即a+a=a+a=a+a=...=2a1n2n_13n_2中.中 mnpkmnpknmnp.mnp.使用該性質(zhì)時(shí)，一要注意等式兩邊下標(biāo)和相等，二要注意等式兩邊作和的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是一樣多的. (3)在等差數(shù)列{a}中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍nkkk 等差數(shù)列中依次每k項(xiàng)之和構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，即S,S_S,S_S,...k2kk3k2k仍為等差數(shù)列. (5)若數(shù)列{a}與均為等差數(shù)列，則{ma+kb}仍為等差數(shù)列，其中m,k均為常數(shù).bnn11nn其中k為等差數(shù)列的公差，它可以是任意實(shí)數(shù). n另外，等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)需注意：①等差數(shù)列{a}中，若a=m,a=n(m豐n)則a=0.nnmm+n④若{a}與均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為S與T，則am=S2m_1.nnnnbT⑤項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{a}，有m2m_12n12nnn+1nn+1偶奇Sa項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)(2n_1的數(shù)列{a}，有2n_1nn奇偶n奇=偶S、S分別為數(shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)的和與所有偶數(shù)項(xiàng)的和.偶2等比數(shù)列的性質(zhì)q1111常數(shù)列；公比q想0，數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.等比數(shù)列公比不等于零是一大特點(diǎn). (2)在有窮等比數(shù)列{a}中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等，并且等于首末兩項(xiàng)之積.n特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則其還等于中間項(xiàng)的平方，即a1.an=a2.an_1=a3.an_2=...=a. 積的項(xiàng)數(shù)是一樣多的. (4)在等比數(shù)列中，每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列.剩下的項(xiàng)按原順序排列構(gòu)成的數(shù)列不一定是等比數(shù)列.一個(gè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，仍組成一個(gè)等比數(shù)列，新公比是原公比的二次冪.aa)，{a}皆為等比數(shù)列，公比分別為q和q.nnnq為公比的等比數(shù)列{a}，〈(1)卜仍為等比數(shù)列，公比為1，{a2}也是等比數(shù)列，公比為q2.nlanJqn (6)等比數(shù)列中依次每k項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列.nnnnlbnJ零的常數(shù).q(9)等比數(shù)列{a}的前nn1_q1_q1_qnn1_q3等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互關(guān)系 (2){a}是正項(xiàng)等比數(shù)列一{loga}是等差數(shù)列(其中c>0且c豐1).ncn注意(三)判定方法1等差數(shù)列的判定方法有以下幾種 (1)定義法:a_a=d(d為常數(shù)，n=N*)一{a}是等差數(shù)列. (2)通項(xiàng)公式：=pn+q(p,q為常數(shù)，n=N*n)一{a}是等差數(shù)列. (3)中項(xiàng)公式法:2an=a+a(n=N*)一{a}列. (4)前n項(xiàng)和公式+Bn(A,B為常，n=N*)一{a}是等差數(shù)列.nn2等比數(shù)列的判定方法有以下幾種(1)定義法：an+1=q(q是不為0的常數(shù)，n=N*)一{a}是等比數(shù)列.an(2)通項(xiàng)公式法n:a=cqn(c,q均是不為0的常數(shù)n=N*)一{a}是等比數(shù)列.nqqq_1n是等比數(shù)列.注意 (1)只能用定義法來嚴(yán)格證明這兩類特殊數(shù)列，其余三種方法一般在填空題、選擇題中使用.(2)證明數(shù)列不是這兩類特殊數(shù)列，只要舉反例即可.解題方法薈萃數(shù)學(xué)思想方法(一)函數(shù)與方程思想(二)分類討論思想1對n的奇偶性進(jìn)行討論2對公比q的討論(三)構(gòu)造法Ⅱ.解題規(guī)律技巧(一)等差數(shù)列的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用(二)等比數(shù)列的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用高考命題研究數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式等，對基本的計(jì)算能力要求比較高.解答題是以考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和為主，涉及函數(shù)、方程、不等式知識的綜合運(yùn)用，在解題過程中通常用目.(一)有關(guān)等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算(二)等差、等比數(shù)列的綜合熟練地應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，并結(jié)合數(shù)列求和的常用方法，有時(shí)也其他章節(jié)內(nèi)容.nnan為零的常數(shù)).(四)求數(shù)列的通項(xiàng)公式而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式便可求出其任意一項(xiàng)以及前n項(xiàng)和等.看來，求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn).1求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通常可通過對遞推公式的變換而轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題. (1)遞推式為a=a+d及a=qa(d、q為常數(shù)，其中q士0) (2)遞推式為an+1=an+f(n)n+1nn+1n (3)遞推式為a=pa+q(p、q為常數(shù)，其中p士0)n+1n (4)遞推式為a=pa+mqn(n,p,q為常數(shù)，其中m,p士0)n+1n (5)遞推式為a=pa+qan+2n+1nn+2n+1n+1nn+2n+1n可得〈求出a,b，此時(shí){an+1一aan}是公比為b的等比數(shù)列. (6)遞推式a=f(n)a(n仁N*)n+1n己知數(shù){a的前n項(xiàng)和S的公式，求{a}的通項(xiàng)公式，nnn(五)數(shù)列求和在試題中經(jīng)常出現(xiàn)，它常用來考查我們對基礎(chǔ)知識的掌握程度和分析問題、解決問題的能力.1n前n項(xiàng)和都是從第1項(xiàng)一直加到第n項(xiàng).數(shù)列的求和主要有以下幾種求解方法.直接應(yīng)用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及正整數(shù)平方和、立方和公式等求和的方法.2倒序相加法在一個(gè)數(shù)列{a}中，如果與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這n個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法.錯(cuò)位相減法使用裂項(xiàng)法時(shí)要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng).由于數(shù)列{a}中每一項(xiàng)n樣多的，切不可漏寫未被消去的項(xiàng).列、等比數(shù)列或常見數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.附錄常用公式定理常用公式及結(jié)論(1)等差數(shù)列等比數(shù)列a定義a一a=dn+1=qn+1n