2024河南中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第六章 第一節(jié) 圓的基本性質(zhì) 課件

圓基本性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系與圓有關(guān)的計(jì)算圓的有關(guān)概念及性質(zhì)圓周角定理及其推論垂徑定理及其推論弦、弧、圓心角的關(guān)系三角形的外接圓點(diǎn)與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系切線的性質(zhì)與判定切線長(zhǎng)定理圓內(nèi)接四邊形正多邊形和圓與扇形有關(guān)的計(jì)算與圓錐有關(guān)的計(jì)算陰影部分圖形面積計(jì)算三角形的內(nèi)切圓圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形尺規(guī)作圖一題串講重難點(diǎn)2河南9年真題子母題31考點(diǎn)精講第一節(jié)圓的基本性質(zhì)正多邊形和圓與圓有關(guān)的概念圓周角定理及其推論與圓有關(guān)的性質(zhì)※垂徑定理及其推論弦、弧、圓心角的關(guān)系圓的基本性質(zhì)三角形的外接圓圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)不變性定理推論定理推論定理推論定義圓心O性質(zhì)角度關(guān)系外角周長(zhǎng)中心角邊心距內(nèi)角面積圓周角、圓心角弦優(yōu)弧、劣弧等弧考點(diǎn)精講與圓有關(guān)的概念(圖①)如圖①，點(diǎn)A，B，C，D均在⊙O上，線段AB經(jīng)過(guò)圓心O，且點(diǎn)D為弧AB的中點(diǎn)，連接AC，OC，OD.(任填一個(gè)符合要求的答案)(1)圖中________是圓周角，________________________________________是圓心角(寫出小于180°的角即可)；(2)圖中__________是弦，其中________是最長(zhǎng)的弦；(3)圖中____________________________________是優(yōu)弧，____________________________________________是劣??；(4)圖中

和________，

和________，

和

是等弧.圖①∠BAC∠AOC(或∠BOC或∠AOD或∠BOD或∠COD)AC(或AB)AB

(或或

或或

)

(或

或或

或

)與圓有關(guān)的性質(zhì)對(duì)稱性：圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，________是它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)不變性：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都與自身重合弦、弧、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧______，所對(duì)的弦也______推論1.在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角________，所對(duì)的弦________2.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角________，所對(duì)的優(yōu)弧與劣弧分別________【滿分技法】在同圓或等圓中，若

＝2

，則

所對(duì)的圓心角(或圓周角)等于

所對(duì)的圓心角(或圓周角)的2倍，但弦AB≠2CD圓心相等相等相等相等相等相等圓周角定理及其推論(圖②)定理：______________________________________________，即∠BAC＝

∠BOC推論1.___________________________，即∠BAC＝∠BDC2.半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是____________，90°的圓周角,所對(duì)的弦是________圖②【滿分技法】

1.一條弦對(duì)著兩條弧，這兩條弧所對(duì)的圓周角互補(bǔ)；2.一條弧只對(duì)著一個(gè)圓心角，但卻對(duì)著無(wú)數(shù)個(gè)圓周角圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等直角(或90°)直徑※垂徑定理及其推論(圖③)定理：垂直于弦的直徑________弦，并且________弦所對(duì)的弧(2022版課標(biāo)將探索并證明垂徑定理調(diào)整為考查內(nèi)容)推論：平分弦(不是直徑)的直徑________于弦，并且________弦所對(duì)的弧【滿分技法】根據(jù)圓的對(duì)稱性，如圖③所示，在以下五個(gè)結(jié)論中：(1)

＝____；(2)____＝

；(3)AE＝____；(4)AB⊥CD；(5)CD是直徑，只要滿足其中的兩個(gè)結(jié)論，另外三個(gè)結(jié)論一定成立，即“知二推三”，若由(3)(5)推其他3個(gè)結(jié)論應(yīng)滿足AB不是直徑圖③平分平分垂直平分BE三角形的外接圓(圖④)定義：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓圓心O：外心(三角形外接圓圓心或三角形三條邊的___________的交點(diǎn))性質(zhì)：三角形的外心到三角形的_________的距離相等角度關(guān)系：∠BOC＝2∠A，∠BOC＝360°－2∠A′圖④垂直平分線三個(gè)頂點(diǎn)圖⑤圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(圖⑤)1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角_______，即∠B＋∠D＝_______2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，即∠DCE＝_______互補(bǔ)180°∠BAD正多邊形和圓名稱公式圖例內(nèi)角正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為＝180°－R：半徑r：邊心距a：邊長(zhǎng)θ：中心角外角正n邊形的每個(gè)外角為中心角正n邊形的每個(gè)中心角θ為_(kāi)______邊心距正n邊形的邊心距r＝周長(zhǎng)正n邊形的周長(zhǎng)l＝na面積正n邊形的面積S＝_______rl(l為正n邊形的周長(zhǎng))一題串講重難點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)鞏固例1如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)D是

上一點(diǎn)(在點(diǎn)A異側(cè))，連接AD，BD，AO，AD與BC交于點(diǎn)E，已知AB＝3.例1題圖(1)∠BAC＝________°；(2)若∠AOC＝110°，則∠ABC＝________°，∠ACB＝______°，∠D＝______°；(3)若AD⊥BC，AD＝4，則BE＝________；90553535(4)若AD平分∠BAC，AC＝2AB.①求證：△BCD是等腰直角三角形；例1題圖①證明：如圖，連接CD，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，∴△BCD為等腰直角三角形；②求BD的長(zhǎng)．②解：∵AB＝3，AC＝2AB，∴AC＝6，由勾股定理得BC＝＝3，∴BD＝

BC＝

.例1題圖

解題有策略與圓有關(guān)的計(jì)算解題方法(9年4考)第一步：先結(jié)合圓中的知識(shí)，在圖中標(biāo)注出相等的線段、存在倍數(shù)關(guān)系的線段、相等的角、2倍角、互補(bǔ)的角等；運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)有：圓的基本性質(zhì)，弦、弧、圓心角的關(guān)系，圓周角定理，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)等；第二步：去圓(擦掉圓)，解剩余的幾何圖形．重難考法突破與圓周角、圓心角有關(guān)的計(jì)算(9年4考)例2如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，∠A的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，AC＝.(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖中作∠A的平分線；(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)解：(1)如解圖①，AD即為所求；例2題解圖①例2題圖(2)連接OD，當(dāng)∠ODA＝30°時(shí)，求⊙O的半徑；(2)如圖，連接OD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠BAC＝60°，∵BA是⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，在Rt△BAC中，∠B＝30°，AC＝，∴BA＝2AC＝2，∴⊙O的半徑為

；例2題解圖①(3)在(2)的條件下，OD交BC于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)度；(3)如圖，連接OC，OD交BC于點(diǎn)E，由(2)得BO＝DO＝，∠B＝30°，∴∠OCB＝∠B＝30°，又∵∠BOD＝∠OAD＋∠ODA＝60°，∴∠OEB＝90°，∴E為BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，在Rt△OBE中，OE＝OB·sinB＝

，∴DE＝DO－OE＝

；例2題解圖①E(4)連接OD，CD，當(dāng)四邊形ACDO是菱形時(shí)，求∠ODA的度數(shù)．(4)連接OD，CD，如圖，連接OC，∵四邊形ACDO是菱形，∴DC＝DO，OC⊥AD.∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等邊三角形，∴∠ODC＝∠COD＝60°，∴∠ODA＝90°－60°＝30°.例2題解圖①拓展探索探究：直徑所對(duì)的角例3已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為直線AB外一點(diǎn)，連接AC，BC.例3題圖(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上時(shí)，∠C為直角，依據(jù)是____________________________；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O內(nèi)時(shí)，請(qǐng)證明：∠C是鈍角；直徑所對(duì)的圓周角是直角(2)證明：如圖，延長(zhǎng)AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，D∵AB為⊙O的直徑，∴∠D＝90°，∴∠DCB為銳角，∠ACB＝180°－∠DCB，∴∠ACB為鈍角；例3題圖D(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O外時(shí)，請(qǐng)證明：∠C是銳角．例3題圖(3)證明：如圖，設(shè)⊙O與BC交于點(diǎn)D，連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝180°－∠CAD－∠ADC，∴∠C為銳角．D

新考法拓展1.(2023江西14題)如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).(1)在圖①中作銳角△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上；(2)在圖②中的線段AB上作點(diǎn)Q，使PQ最短．

新考法拓展解：(1)如解圖①，△ABC即為所求作(答案不唯一，作出其中一個(gè)即可)；(2)如解圖②，點(diǎn)Q即為所求作．河南9年真題子母題與圓周角、圓心角有關(guān)的計(jì)算9年4考命題點(diǎn)1.(2023河南6題3分)如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為(

)第1題圖A.95°B.100°C.105°D.110°D回歸教材1.1變?cè)O(shè)問(wèn)——將求角度變?yōu)樽C明圓周角定理如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，求證：∠C＝

∠AOB.子題1.1圖證明：如圖，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，∵OC＝OB＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC.∵∠OCA＋∠OAC＝∠DOA，∠OCB＋∠OBC＝∠BOD，∴∠AOB＝∠DOA＋∠BOD＝2∠OCA＋2∠OCB＝2∠BCA，∴∠BCA＝

∠AOB.D2.(2021河南17題改編)如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是

上不與點(diǎn)B，D重合的任意一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G.(1)求證：△ADF≌△BDG；第2題圖(1)證明：∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∵AB為半圓O的直徑，∴∠ADF＝∠BDG＝90°，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴AD＝BD.(3分)∵∠DAF和∠DBG都是

所對(duì)的圓周角，∴∠DAF＝∠DBG，∴△ADF≌△BDG(ASA)；(5分)(2)若AB＝4，且點(diǎn)E是

的中點(diǎn)，求DF的長(zhǎng)；第2題圖(2)解：∵點(diǎn)E是

的中點(diǎn)，∴∠DAE＝∠BAE，∵AB是半圓O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠AEG＝90°，又∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEG，∴AG＝AB＝4，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AB是半圓O的直徑，∠DAB＝45°，∴AD＝AB·cos45°＝2，∴DG＝AG－AD＝4－2，由(1)知DF＝DG，∴DF＝4－2；(7分)(3)取

的中點(diǎn)H，當(dāng)四邊形OBEH為菱形時(shí)，求∠EAB的度數(shù)．第2題圖(3)解：∵四邊形OBEH是菱形，∴BE＝OB，∵OE＝OB，∴△OEB為等邊三角形，∴∠EOB＝60°，∴∠EAB＝30°.(9分)3.(2022河南18題改編)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E