大學概率論總復習題

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概率統(tǒng)計總復習資料

注：(1)以下是3學分、4學分、4.5學分考試的參考內(nèi)容，不作為實際考試范圍，考試內(nèi)容以教學大綱和實施計劃為準；(2)四學分包含所有3學分內(nèi)容；(3)4.5學分包含所有4學分內(nèi)容；(3)注明“了解〞的內(nèi)容一般不考．

1、能很好地把握寫樣本空間與事件方法，會事件關(guān)系的運算，了解概率的古典定義2、能較熟練地求解古典概率；了解概率的公理化定義

3、把握概率的基本性質(zhì)和應用這些性質(zhì)進行概率計算；理解條件概率的概念；把握加法公式與乘法公式

4、能確鑿地選擇和運用全概率公式與貝葉斯公式解題；把握事件獨立性的概念及性質(zhì)．5、理解隨機變量的概念，能熟練寫出(0—1)分布、二項分布、泊松分布的概率分布．6、理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，理解連續(xù)型隨機變量的概率密度及性質(zhì)．7、把握指數(shù)分布(參數(shù)?)、均勻分布、正態(tài)分布，特別是正態(tài)分布概率計算

8、會求一維隨機變量函數(shù)分布的一般方法，求一維隨機變量的概率分布或概率密度．9、會求分布中的待定參數(shù)．

10、會求邊沿分布函數(shù)、邊沿概率分布、邊沿密度函數(shù)，會判別隨機變量的獨立性．11、把握連續(xù)型隨機變量的條件概率密度的概念及計算．(四學分)

12、理解二維隨機變量的概念，理解二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)，理解二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律及其性質(zhì)，理解二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度及其性質(zhì)，并會用它們計算有關(guān)事件的概率．

13、了解求二維隨機變量函數(shù)的分布的一般方法．(四學分)14、會熟練地求隨機變量及其函數(shù)的數(shù)學期望和方差．會熟練地默寫出幾種重要隨機變量的數(shù)學期望及方差．

15、較熟練地求協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).

16、了解矩與協(xié)方差矩陣概念．會用獨立正態(tài)隨機變量線性組合性質(zhì)解題．17、了解大數(shù)定理結(jié)論，會用中心極限定理解題．

18、把握總體、樣本、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量及抽樣分布概念，把握樣本均值與樣本方差及樣本矩概念，把握?2分布(及性質(zhì))、t分布、F分布及其上百分位點及雙側(cè)百分點概念．19、理解正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理（不要求背，考試時定理內(nèi)容可列在試卷上）；會用矩估計方法來估計未知參數(shù)．

20、把握極大似然估計法，無偏性與有效性的判斷方法．

21、會求單正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間．會求雙正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間．23、明確假設檢驗的基本步驟，會U檢驗法、t檢驗、?檢驗法、F檢驗法解題．(三學分只考兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗法)．

24、把握兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗法．(四學分)(以下內(nèi)容僅僅針對4.5學分考試，3、4學分不作要求)

25、把握隨機過程的概念，把握隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征．26、把握獨立增量過程、正態(tài)過程、維納過程的判斷方法．27、了解嚴平穩(wěn)過程，把握寬平穩(wěn)過程的判斷和基本性質(zhì)．

28、了解圴方極限與圴方積分、時間均值與時間相關(guān)函數(shù)的概念，了解各態(tài)歷經(jīng)性的判定定理．

29、了解時間函數(shù)的功率譜密度，把握平穩(wěn)過程的功率譜密度概念，把握功率譜密度的基本

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2

性質(zhì)，了解互譜密度及其性質(zhì)．[模擬試卷1(3學分、4學分)]一、（9分）現(xiàn)有10張卡片，分別標有號碼1，2?，10，今從中任意抽取出三張卡片．求：（1）最小號碼為5的概率；（2）最大號碼為5的概率；（3）中間號碼為5的概率．二、（9分）已知P（A）=0.5,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,求以下概率：P(A|B),P(A|B),P(A|B)．三、（12分）設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=αe(-∞_________,才能使E(|X-a|2)?0.1

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二、選擇填空：（每題5分）

1.設兩個獨立的隨機變量X和Y分別聽從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1)則_______

(A)P{X+Y4}(3)Y=2X+1的分布列．

五、(12分）設隨機變量X與Y獨立且均在(-1,1)區(qū)間上聽從均勻分布，求：(1)P{X+Y

布律．

四、(14分)設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為

?cx2y,x2?y?1,f(x,y)??其它?0,a)確定常數(shù)c的值;b)c)

X,Y是否相互獨立?為什么?X,Y是否不相關(guān)?為什么?

五、(10分)一批種子中良種占1/6，從中任取6000粒，問能以0.99的概率保證其中良種的

比例與1/6相差多少？這時相應的良種粒數(shù)落在哪個范圍？六、(12分)設總體X聽從二項分布，它的概率分布為

P(X?k)?Clkpkql?k,k?0,1,?l,0?p?1,q?1?p，

求未知參數(shù)p的極大似然估計.

七、(12分)某種儀器間接測量硬度，重復測量5次，所得數(shù)據(jù)是175，173，178，174，176，

而用別的確切方法測量硬度為179（可看作硬度的真值），設測量硬度聽從正態(tài)分布，問此種儀器測量的硬度是否顯著降低（??0.05）？八、(10分)已知隨機過程X(t)的均值?X(t)?t，協(xié)方差函數(shù)CXX(t1,t2)?1?t1t2，試求

Y(t)?X(t)?sint的均值?Y(t)和協(xié)方差函數(shù)CYY(t1,t2).

九、(8分)設X(t)是平穩(wěn)過程，且?X(t)=0，RX(?)?1?|?|，（|τ|≤1），Y=

求E(Y)和D(Y).

附：?(2.575)?0.995,?(2.33)?0.99,t0.05(4)?2.1318,t0.025(4)?2.7764.

[模擬試卷6(4.5學分)]

一、(10分)某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.6，現(xiàn)他扔一個均勻的骰子，扔出幾點就對靶獨立射擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概率．

二、(10分)某種晶體管壽命聽從均值為0.001的指數(shù)分布(單位是小時)．電子儀器裝有此種晶體管5個，并且每個晶體管損壞與否相互獨立．試求此儀器在1000小時內(nèi)恰好有3個晶體管損壞的概率．

三、(10分)X~U(??,?),求Y?COS(X)的密度函數(shù)．四、(12分)已知隨機變量(X,Y)的分布律為XY0110.15?20.15??tX(t)dt，

01且知X與Y獨立，（1）求?、?的值．（2）令Z?X?2Y，求X與Z的相關(guān)系數(shù).五、(10分)設X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為

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求P(X+2Y

則當C?1時，CY聽從?2分布．3八、解：檢驗假設

H0:???0?12cm，H1:???0

由于顯著性水平?＝0.05，查表得z??z0.05＝1.645．由于

u?x??0?/n?13.2?122.6/100?4.615>1.645=z??z0.05

則拒絕原假設H0:???0?12cm，即在顯著性水平?＝0.05下，認為該批木材的平均小頭直徑在12cm以上．[模擬試卷4答案(3學分、4學分)]

一、(14分)已知50只鉚釘中有3只是次品，將這50只鉚釘隨機地用在10個部件上．若每

個部件用3只鉚釘，問3只次品鉚釘恰好用在同一部件上的概率是多少？

33解：假設每個鉚釘都已編號，則樣本空間S中的樣本電數(shù)?[S]=C50?C47???C23．

3設Ai=“3個次品鉚釘恰好用在第I個部件上〞，i=1、2、?、10

A=“3個次品鉚釘恰好用于同一部件〞

333Ai中的樣本點個數(shù)?[Ai]=C47?C46???C23，P(Ai)=?[Ai]/?[S]=1/19600．

P(A)=

?10i?1P(Ai)=1/1960．

二、(14分)已知隨機變量X的概率密度為f?x???（2）P{0.5?X?3}；（3）P{X?x}．解：(1)由歸一性，得

?1?2Ax,0,?0?x?1，求：（1）參數(shù)A；

其他???f(x)dx??2Axdx?1030.5x?1A?1(2)p{0.5?x?3}?(3)p{X?x}?x?f(x)dx??2xdx?0.750.5???f(t)dt

當x?0時，?f(t)dt?0??xx2當0?x?1時，f(t)dt?2tdt?x????0第16頁共23頁

三、（14分）設隨機變量X和Y的聯(lián)合分布以點(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的三角形區(qū)域上聽從

均勻分布,試求隨機變量U?X?Y的方差．

解：由題意，(X,Y)的密度函數(shù)為

?2,0?x?1,0?y?1,x?y?1,f(x)??其它,?0,

則

1??2dy,0?x?1?2x,0?x?1f(x,y)dy???1?x????0,其它0,其它?fX(x)??

得

????EX?則

?102x2dx?2;EX2?3?102x3dx?1;2DX?EX2?(EX)2?

同理，EY?2,DY?1．

118318則

11cov(X,Y)?EXY?EX?EY?2?xdx?ydy?01?x22541?????．3312936則

DU?D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?四、(12分）已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為

1121???．18183618?x?y,0?x?1,0?y?1．f(x,y)??其它?0,（1）求X與Y的相關(guān)系數(shù)?XY；（2）試判斷X與Y的獨立性．解：（1）?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)1

7?0?012

117E(Y)???y(x?y)dxdy?0012E(X)?1x(x?y)dxdy?第17頁共23頁

E(XY)???0110xy(x?y)dxdy?13

?cov(X,Y)?111771????31212144x2(x?y)dxdy?11

E(X)?2??00512

5?0?012

57211?D(X)?D(Y)??()?1212144E(Y2)?y2(x?y)dxdy?故?XY??111（2）??XY?0?X與Y不獨立．

五、（10分）設供電站供應某地區(qū)1000戶居民用電，各戶用電狀況相互獨立．已知每戶每天用電量（單位：度）在[0，20]上聽從均勻分布．現(xiàn)要以0.99的概率滿足該地區(qū)居民供應電量的需求，問供電站每天至少需向該地區(qū)供應多少度電？

解：設1000戶居民每天用電量為X度，則由中心極限定理，X~N(EX,DX)，其中

20230000EX?1000×10=2000，DX=?1000?．再設供應站需供應L度電才能滿足

123條件，則

P{X?L}??(L?2000100000/3L?2000100000/3)?0.99

即

?2.33，則L=2426度．

六、（8分）在總體X~N(12,4)，從X中隨機抽取容量為6的樣本(X1?,X6).求樣本均值與總體均值之差的決對值大于2的概率．

解：設總體由題意：X~N(12,2/3)，則X?EX~N(0,2/3)，所求概率為P{|X?EX|?2}?1?P{|X?EX|?2}?1?[?(2/2/3)??(?2/2/3)]

)]＝0.01．＝2[1??(2.4495七、（14分）設總體X的密度函數(shù)為

??x??1,0?x?1f(x)??0,其它?其中?是未知參數(shù)，且??0．試求?的最大似然估計量．

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解：設x1,x2,?,xn是X的子樣觀測值，那么樣本的似然函數(shù)為

L(?)??n?x?ii?1n?1，

就有

lnL(?)?nln??(??1)?lnxi，

i?1n于是，似然方程為

dlnL(?)nn???lnxi?0，

d??i?1從而，可得

????n?lnXi?1n

i八、（14分）已知在正常生產(chǎn)的狀況下某種汽車零件的重量（克）聽從正態(tài)分布N(54,0.75)，在某日生產(chǎn)的零件中抽取10件，測得重量如下：

55.055.153.854.252.154.255.055.855.155.3

假使標準差不變，該日生產(chǎn)的零件的平均重量是否有顯著差異（取??0.05）？解：按題意，要檢驗的假設是

H0:??54，因?2已知，故用U?檢驗法，由??0.05，查正態(tài)表得臨界值

z??1.96，由樣本值算得

x?54.46,u?1.94

由于u?1.96，故接受假設H0，即在??0.05時，即可以認為該日生產(chǎn)的零件的平均重量與正常生產(chǎn)時無顯著差異．附表一：

?(0.2222)?0.5871,?(1.64)?0.9495,?(1.65)?0.9505,?(1.96)?0.9750,?(2.108)?0.9826,?(2.33)?0.9901,?(2.45)?0.9929，?(2.575)?0.9950.

[模擬試卷5答案(4.5學分)]

一、一袋中有十個質(zhì)地、形狀一致且編號分別為1、2、?、10的球．今此后袋中任意取出三個球并記錄球上的號碼，求（1）最小號碼為5的概率；（2）最大號碼為5的概率；（3）一個號碼為5，另外兩個號碼一個大于5，一個小于5的概率．

解：以三個球相應號碼的組合為樣本點構(gòu)成樣本空間S，則樣本空間S中的樣本點個數(shù)

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3

?[S]=C10=120．

設事件A=“最小號碼為5〞，B=“最大號碼為5〞，

C=“一個號碼為5，另外兩個號碼一個大于5，一個小于5〞．

33A中的樣本點個數(shù)?[A]=C6－C5=10，P(A)=?[A]/?[S]=1/12，33B中的樣本點個數(shù)?[B]=C5－C4=6，P(B)=?[B]/?[S]=1/20，11C中的樣本點個數(shù)?[C]=C4=20，P(C)=?[C]/?[S]=1/6.C5二、隨機變量X~U(?1,1),求Y?X的分布函數(shù)與概率密度．

2?1?解：?fX?x???2??0?1?x?1其它,且y?g(x)?x2,

y?0?0?y?1?FY?y???fX?x?dx???dx0?y?1x2?y??y2?y?1?1

?0???y?1?y?00?y?1y?1,

?1?fY(y)?FY'(y)??2y?0?0?y?1其它.

三、設某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X聽從參數(shù)為50的泊松分布，又設一個蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8,

且各卵的孵化是相互獨立的，求此昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X與孵化為成蟲數(shù)Y的聯(lián)合分布律．解：此題已知隨機變量X的分布律為

50i?50P?X?i??e,i?0,1,2,?

i!由題意易見，該昆蟲下一代只數(shù)Y在X?i的條件下聽從參數(shù)為i,0.8的二項分布,故有

P{Y?j|X?i}?Cij0.8i0.2i?j，j?0,1,...,i

Y?i|X?i?P?X?i?,得(X,Y)的聯(lián)合分布律為：由P?X?i,Y?j??P?P{X?i,Y?j}?Ci0.80.2jji?j50i?50e，i?0,1,?;j?0,1,?,i.j!第20頁共23頁

四、設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為

?cx2y,x2?y?1,f(x,y)??其它?0,a)確定常數(shù)c的值;b)c)

X,Y是否相互獨立?為什么?X,Y是否不相關(guān)?為什么?

解：（1）?x2?y?1??f(x,y)dxdy?1,即

2118214cx?(1?x)dxc???1==dxcxydy??12??1