第二章 空間描述和變換

10四月2023第二章空間描述和變換主要內(nèi)容：2.1概述2.2描述：位置、姿態(tài)與坐標系2.3映射：從坐標系到坐標系的變換2.4算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換2.5總結(jié)與說明2.6變換算法2.7變換方程2.8姿態(tài)的其他描述方法2.9自由矢量的變換2.10計算分析2.1概述就需要表達零件、工具以及機構本身的位置和姿態(tài)。為了定義和運用表達位姿的數(shù)學量，我們必須定義坐標系并給出表達的規(guī)則。機器人操作：是指通過某種機構使零件和工具在空間運動。2.2位置和姿態(tài)的表示1.位置描述在直角坐標系A中,空間任意一點P的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.姿態(tài)描述空間任意物體的姿態(tài)(Orientation)可用3x3矩陣表示:旋轉(zhuǎn)矩陣行？矩陣的行是單位矢量{A}在{B}中的表達式。矩陣的逆等于它的轉(zhuǎn)置正交陣3.坐標系的描述在機器人學中，位置和姿態(tài)經(jīng)常成對出現(xiàn)，于是將此組合成為坐標系。四個矢量為一組，表達了位置與姿態(tài)信息。可將其寫為：補齊上圖，箭頭方向表示{C}相對于{A}的關系而不是{A}相對于{C}的關系2.3映射：從坐標系到坐標系的變換1.平移坐標系的映射2.旋轉(zhuǎn)坐標系的映射映射：將空間某點相對于{B}的描述轉(zhuǎn)換成了該點相對于{A}的描述已知：求3.一般坐標系的映射一般情況原點既不重和,姿態(tài)也不同。齊次變換矩陣求2.4算子：平移、旋轉(zhuǎn)和變換1.平移算子將空間中的一個點沿著一個已知的矢量方向移動一定距離。注意：對空間一點實際平移的描述僅與一個坐標系有關，映射與兩個坐標系有關。平移算子2.旋轉(zhuǎn)算子旋轉(zhuǎn)算子用另一個符號明確說明是繞那個軸旋轉(zhuǎn)的注意：矢量經(jīng)某一旋轉(zhuǎn)R得到的旋轉(zhuǎn)矩陣與一個坐標系相對參考坐標系經(jīng)某一旋轉(zhuǎn)R得到的旋轉(zhuǎn)矩陣是相同的。3.變換算子變換算子算子T將矢量平移并旋轉(zhuǎn)得到一個新的矢量：已知與例2相比結(jié)果相同2.5總結(jié)齊次變換陣的三個定義：1、表示相對于坐標系｛A｝的坐標系｛B｝。2.6變換算法1.混合變換已知，求定義：2.逆變換兩種方法（1）4×4齊次變換求逆（2）利用變換的性質(zhì)求逆？0=2.7變換方程坐標系｛D｝可以用兩種不同的方式表達：（1）（2）假設除外均已知，可求得：例6已知操作臂指端的坐標系｛T｝相對于操作臂基座｛B｝的描述，又已知工作臺坐標系｛S｝相對操作臂基座｛B｝的空間位置，并且已知工作臺上螺栓的坐標系｛G｝相對工作臺坐標系的位置，求螺栓相對操作手的位姿即2.8姿態(tài)的其他描述方法旋轉(zhuǎn)矩陣為標準正交陣，是否需要9個數(shù)字來表示一個姿態(tài)？9個矩陣元素有6個約束：用3個參量就能表示一個姿態(tài)。例7考慮兩個旋轉(zhuǎn)，一個繞轉(zhuǎn)30度，而另一個繞轉(zhuǎn)30度。1.固定角坐標系法（12種）X-Y-Z固定角坐標系首先將坐標系{B}和一個已知參考坐標系{A}重合。先將{B}繞旋轉(zhuǎn)角，再繞旋轉(zhuǎn)角，最后繞旋轉(zhuǎn)角。注意：繞固定參考坐標系轉(zhuǎn)動，則左乘相應旋轉(zhuǎn)矩陣。逆解？令2.歐拉角坐標系法（12種）Z-Y-X歐拉角首先將坐標系{B}和一個已知參考坐標系{A}重合。先將{B}繞旋轉(zhuǎn)角，再繞旋轉(zhuǎn)角，最后繞旋轉(zhuǎn)角。注意：繞自身運動坐標系轉(zhuǎn)動，則右乘相應旋轉(zhuǎn)矩陣。結(jié)果與以相反順序繞固定軸旋轉(zhuǎn)三次得到的結(jié)果完全相同！Z-Y-Z歐拉角首先將坐標系{B}和一個已知參考坐標系{A}重合。先將{B}繞旋轉(zhuǎn)角，再繞旋轉(zhuǎn)角，最后繞旋轉(zhuǎn)角。逆解？令3.等效軸角坐標系表示法如果軸的方向是一般方向（非主軸方向），任何方位都可以通過選擇適當?shù)妮S和角度來得到。首先將坐標系{B}和一個已知參考坐標系{A}重合。將{B}繞按右手定則旋轉(zhuǎn)角。｛B｝相對于｛A｝的姿態(tài)可表示為：或如果旋轉(zhuǎn)軸是主軸時，則旋轉(zhuǎn)矩陣為：如果旋轉(zhuǎn)軸是一般軸時，且則旋轉(zhuǎn)矩陣為：逆解？令2.9自由矢量的變換問題：矢量的相等和等效是否相同？相等:兩個矢量具有相同的維數(shù)、大小和方向。等效:兩個矢量在某一功能上產(chǎn)生了相同的作用效果，對這一特定功能來說是等效的。矢量是否等效完全取決于當時的判斷條件！線矢量:與作用線有關的矢量，其作用效果取決于矢量的大小和方向。自由矢量:可能出現(xiàn)在空間任意位置的矢量，但它的性質(zhì)沒有改變，例如它的大小和方向保持不變。定義兩種基本矢量類型：問題：下面的矢