有限元介紹第一部分

有限元介紹第一部分第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五1有限元的概念有限元分析（FEA，F(xiàn)initeElementAnalysis）是將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件，從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五2有限元的應用范圍2-1固體力學，包括強度、穩(wěn)定性、震動和瞬態(tài)問題的分析，線性和非線性分析2-2傳熱學2-3電磁場2-4流體力學2-5金屬成形過程的分析2-6焊接殘余應力分析2-7熱處理過程的分析第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3有限元的基本求解原理3-1材料力學與彈性力學3-2應力的概念3-3位移及應變，幾何方程，剛體位移3-4應力應變關系，物理方程3-5虛功原理及虛功方程3-6單元剛度矩陣3-7整體分析3-8整體剛度矩陣的形式3-9支承條件的處理3-10求解方程第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-1材料力學與彈性力學

有限單元法

—機械工程中所指的是有限單元法在彈性力學問題中的應用。因此要用到彈性力學的某些基本概念和基本方程。在此簡單介紹這些概念和方程，了解彈性力學有限單元法的相關知識。第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五彈性力學—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學

1、研究的內容：基本上沒有什么區(qū)別。彈性力學也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動，以及由此產(chǎn)生的應力和變形。2、研究的對象：有相同也有區(qū)別。材料力學基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構件，即長度遠大于寬度和厚度的構件。彈性力學雖然也研究桿狀構件，但還研究材料力學無法研究的板與殼及其它實體結構，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當?shù)臉嫾?。?頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五彈性力學—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學

3、研究的方法：有較大的區(qū)別。雖然都從靜力學、幾何學與物理學三方面進行研究，但是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。材料力學是對構件的整個截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應力情況的假設。這樣雖然大大簡化了數(shù)學推演，但是得出的結果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學是對構件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設，分析的方法比較嚴密，得出的結論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學的解答來估計材料力學解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五材料力學—區(qū)別與聯(lián)系—彈性力學第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五材料力學—區(qū)別與聯(lián)系—彈性力學第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五材料力學—區(qū)別與聯(lián)系—彈性力學第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五彈性力學—區(qū)別與聯(lián)系—材料力學

總之，彈性力學與材料力學既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學領域，但彈性力學比材料力學，研究的對象更普遍，分析的方法更嚴密，研究的結果更精確，因而應用的范圍更廣泛。但是，彈性力學也有其固有的弱點。由于研究對象的變形狀態(tài)較復雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學處理，它仍然保留了材料力學中關于材料性質的假定：第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五彈性力學中關于材料性質的假定(1)物體是連續(xù)的，亦即物體整個體積內部被組成這種物體的介質填滿，不留任何空隙。這樣，物體內的一些物理量，如應力、應變、位移等等才可以用座標的連續(xù)函數(shù)來表示。(2)物體是完全彈性的，亦即當使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復原形，而不留任何殘余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關。(3)物體是均勻的，也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標而變。第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五彈性力學中關于材料性質的假定(4)物體是各向同性的，也就是說物體內每一點各個不同方向的物理性質和機械性質都是相同的。(5)物體的變形是微小的，亦即當物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應變和轉角都遠小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應變和轉角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學中的微分方程都成為線性方程。第13頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-2應力的概念

作用于彈性體的外力(或稱荷載)可能有兩種：

表面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標軸的三個成分，用記號來表示。

體力，是分布于物體體積內的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內的體力亦可分解為三個成分，用記號X、Y、Z表示。彈性體受外力以后，其內部將產(chǎn)生應力。第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-2應力的概念彈性體內微小的平行六面體PABC，稱為體素PA=dx,PB=dy,PC=dz正應力剪應力圖1-4每一個面上的應力分解為一個正應力和兩個剪應力，分別與三個坐標軸平行第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-2應力的概念為了表明這個正應力的作用面和作用方向，加上一個角碼，例如，正應力是作用在垂直于x軸的面上同時也沿著X軸方向作用的。正應力加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。例如，剪應力是作用在垂直于X軸的面上而沿著y軸方向作用的。剪應力第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-2應力的概念應力的正負如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個面上的應力就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個面上的應力就以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸正方向為負。第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-2應力的概念剪應力互等定律

作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力是互等的。(大小相等，正負號也相同)。因此剪應力記號的兩個角碼可以對調。由力矩平衡得出簡化得剪應力互等第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五應力分量

可以證明：如果這六個量在P點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應力和剪應力，因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應力分量。一般說來，彈性體內各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，而是坐標x、y、z的函數(shù)。六個應力分量的總體，可以用一個列矩陣來表示：第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-3位移及應變、幾何方程、剛體位移

彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述：

1、給出各點的位移；2、給出各體素的變形。彈性體內任一點的位移，用此位移在x、y、z三個坐標軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。這三個投影稱為位移分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點的位移并不是定值，而是坐標的函數(shù)。第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五應變體素的變形可以分為兩類：一類是長度的變化，一類是角度的變化。任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應變(或稱正應變)，用符號來表示。沿坐標軸的線應變，則加上相應的角碼，分別用來表示。當線素伸長時，其線應變?yōu)檎７粗?，線素縮短時，其線應變?yōu)樨?。這與正應力的正負號規(guī)定相對應。任意兩個原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為角應變或剪應變，用符號來表示。兩坐標軸之間的角應變，則加上相應的角碼，分別用來表示。規(guī)定當夾角變小時為正，變大時為負，與剪應力的正負號規(guī)定相對應(正的引起正的，等等)。第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五應變分量與位移分量的關系A點在X方向的位移分量為u；B點在X方向的位移：ABCD---A’B’C’D’求線素AB、AD的正應變，用位移分量來表示：線素AB的正應變?yōu)椋和恚珹D的正應變?yōu)椋旱?2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五應變分量與位移分量的關系X向線素AB的轉角Y向線素AD的轉角求剪應變，也就是線素AB與AD之間的直角的改變線素AB的轉角為：A點在Y方向的位移分量為v；B點在Y方向的位移分量：第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五應變分量與位移分量的關系X向線素AB的轉角Y向線素AD的轉角求剪應變，也就是線素AB與AD之間的直角的改變同理，Y向線素AD的轉角由于變形是微小的，所以上式可將比單位值小得多的略去，得因此，剪應變?yōu)椋旱?4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五應變分量與位移分量的關系以上是考察了體素在XOY一個平面內的變形情況，同樣方法來考察體素在XOZ和YOZ平面內的變形情況，可得：聯(lián)立得到幾何方程，表明應變分量與位移分量之間的關系。第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五應變分量矩陣

可以證明，如果彈性體內任一點，已知這三個垂直方向的正應變及其相應的三個剪應變，則該點任意方向的正應變和任意二垂直線間的剪應變均可求出，當然也可求出它的最大和最小正應變。因此，這六個量可以完全確定該點的應變分量，它們就稱為該點的應變分量。六個應變分量的總體，可以用一個列矩陣來表示：第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五剛體位移

由幾何方程(3-3)可見，當彈性體的位移分量完全確定時，應變分量是完全確定的。反過來，當應變分量完全確定時，位移分量卻不完全確定；這是因為，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點，試在(3-3)中命：有：積分后，得式中的是積分常數(shù)第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五積分常數(shù)的幾何意義

代表彈性體沿x方向的剛體移動。及分別代表彈性體沿y方向及Z方向的剛體移動。

代表彈性體繞Z軸的剛體轉動。同樣，及分別代表彈性體繞x軸及y軸的剛體位移。為了完全確定彈性體的位移，必須有六個適當?shù)募s束條件來確定這六個剛體位移。第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-4應力應變關系，物理方程當沿X軸方向的兩個對面受有均勻分布的正應力時，在滿足先前假定的材料性質條件下，正應力不會引起角度的任何改變，而其在X方向的單位伸長則可表以方程式中E為彈性模量。彈性體在X方向的伸長還伴隨有側向收縮，即在y和Z方向的單位縮短可表示為：式中為波桑系數(shù)。方程(3-5)和(3-6)既可用于簡單拉伸，也可用于簡單壓縮，且在彈性極限之內，兩種情況下的彈性模量和波桑系數(shù)相同。

應力分量與應變分量之間的關系

----虎克定律第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-4應力應變關系，物理方程設圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應力，則合成應變的分量可用(3-5)和(3-6)式求得。實驗證明，只須將三個應力中的每一應力所引起的應變分量疊加，就得到合成應變的分量。單位伸長與應力之間的關系完全由兩個物理常數(shù)E及所確定。兩個常數(shù)也可用來確定剪應力與剪應變之間的關系。第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-4應力應變關系，物理方程如果彈性體的各面有剪應力作用，如圖1-4所示，任何兩坐標軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應力分量有關，即得到：

式中G稱為剪切模量，它與彈性模量E，波桑系數(shù)存在如下的關系：

方程(3-7)中的正應變與方程(3-8)中的剪應變是各自獨立的。因此，由三個正應力分量與三個剪應力分量引起的一般情形的應變，可用疊加法求得；即將(3-7)和(3-8)的六個關系式寫在一起，得式(3-10)，稱為彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應力應變關系稱為廣義虎克定律。圖1-4第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-4應力應變關系，物理方程將應變分量表為應力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將式(3-10)改寫成應力分量表為應變分量的函數(shù)的形式，并將式(3-9)代入，可得物理方程的第二種形式：第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五式(3-11)可用矩陣的形式表示如下：式(3-12)可簡寫為：第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五[D]稱為彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)E和第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-5虛功原理及虛功方程圖1-8a示一平衡的杠桿，對C點寫力矩平衡方程：圖1-8b表示杠桿繞支點C轉動時的剛體位移圖：綜合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五虛功原理

進一步分析。當杠桿處于平衡狀態(tài)時，和這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足(3-15)式的關系。將這個客觀存在的關系抽象成一個普遍的原理，去指導分析和計算結構。

對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的和所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因為它本身是平衡的，不存在位移)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢姡@個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五虛功原理

必須指出，虛功原理的應用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，力和位移并不是隨意的。對于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。還要注意，當位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應為零，因而該約束力所作的虛功也應為零。這時該約束力叫做被動力。(如圖1-8中的反力，由于支點C沒有位移，故所作的虛功對于零)。反之，如圖1-8中的和是在位移過程中作功的力，稱為主動力。因此，在平衡力系中應當分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五虛功原理與虛功方程虛功原理表述如下：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。虛功原理用公式表示為：

這就是虛功方程，其中P和相應的代表力和虛位移。第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五虛功原理----用于彈性體的情況

虛功方程(3-16)是按剛體的情況得出的，即假設圖1-8的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程(3-15)或(3-16)中沒有內功項出現(xiàn)，而只有外功項。將虛功原理用于彈性變形時，總功W要包括外力功(T)和內力功(U)兩部分，即：

W=T-U；內力功(-U)前面有一負號，是由于彈性體在變形過程中，內力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內力的方向總是與變形的方向相反，所以內力功取負值。根據(jù)虛功原理，總功等于零得：T-U=0

外力虛功T=內力虛功

U

彈性力學中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內應力在虛應變上的虛功(內力功)。第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五虛功原理----用于彈性體的情況i點外力分量j點外力分量外力分量用表示；引起的應力分量用

表示第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五虛功原理----用于彈性體的情況假設發(fā)生了虛位移虛位移分量為用表示；引起的虛應變分量用表示第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五虛功原理----用于彈性體的情況

在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功是：式中是的轉置矩陣。同樣，在虛位移發(fā)生時，在彈性體單位體積內，應力在虛應變上的虛功是：因此，在整個彈性體內，應力在虛應變上的虛功是：根據(jù)虛功原理得到：這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應變表明外力與應力之間的關系。第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五虛功原理----用于彈性體的情況

應該指出，在虛位移發(fā)生時，約束力(支座反力)是不做功的，因為約束力在其所約束的方向是沒有位移的。但是如果解除了某一個約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生時，這個約束力就要在相應的虛位移上做虛功，而這個約束力的分量及其相應的虛位移分量就應當作為列矩陣及中的元素進入虛功方程(3-17)。第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-6單元剛度矩陣

討論單元內部的應力與單元的結點力的關系，導出用結點位移表示結點力的表達式。由應力推算結點力，需要利用平衡方程。（3-17）已經(jīng)用虛功方程表示出平衡方程。

第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五

考慮上圖三角形單元的實際受力，結點力和內部應力為：

任意虛設位移，結點位移與內部應變?yōu)?-6單元剛度矩陣第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-6單元剛度矩陣

令實際受力狀態(tài)在虛設位移上作虛功，外力虛功為第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-6單元剛度矩陣

計算內力虛功時，從彈性體中截取微小矩形，邊長為dx和dy，厚度為t，圖示微小矩形的實際應力和虛設變形。第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-6單元剛度矩陣

微小矩形的內力虛功為整個彈性體的內力虛功為第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-6單元剛度矩陣

根據(jù)虛功原理，得這就是彈性平面問題的虛功方程，實質是外力與應力之間的平衡方程。虛應變可以由結點虛位移求出：代入虛功方程第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-6單元剛度矩陣

接上式，將應力用結點位移表示出有令則建立了單元的結點力與結點位移之間的關系，稱為單元剛度矩陣。它是6*6矩陣，其元素表示該單元的各結點沿坐標方向發(fā)生單位位移時引起的結點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改變。第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-6單元剛度矩陣

由于[D]中元素是常量，而在線性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且

因此可以進一步得出平面應力問題和平面應變問題中的單元剛度矩陣。第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-7整體分析

將各單元組合成結構，進行整體分析。整體分析分4個步驟1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求出結點位移；(消去法與疊加法)4、根據(jù)結點位移求出應力。第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-7整體分析

圖示結構的網(wǎng)格共有四個單元和六個結點。在結點1、4、6共有四個支桿支承。結構的載荷已經(jīng)轉移為結點載荷。整體分析的四個步驟：1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求結點位移；4、根據(jù)結點位移求出應力。

對單元的分析得出單元剛度矩陣，下面，將各單元組合成結構，進行整體分析。第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-7整體分析1、建立整體剛度矩陣(也叫作結構剛度矩陣)

上圖中的結構有六個結點，共有12個結點位移分量和12個結點力分量。由結構的結點位移向量求結構的結點力向量時，轉換關系為：分塊形式為：其中子向量和都是二階向量，子矩陣是二行二列矩陣。整體剛度矩陣[K]是12*12階矩陣。第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-7整體分析2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣。

建立整體剛度矩陣時，每個結點的位移當作未知量看待，沒有考慮具體的支承情況，因此進行整體分析時還要針對支承條件加以處理。在上圖的結構中，支承條件共有四個，即在結點1、4、6的四個支桿處相應位移已知為零：建立結點平衡方程時，應根據(jù)上述邊界條件進行處理。

3、解方程組，求出結點位移。通常采用消元法和迭代法兩種方法。

4、根據(jù)結點位移求出應力。第55頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-8整體剛度矩陣的形式

整體剛度矩陣是單元剛度矩陣的集成。

1、剛度集成法的物理概念：剛度矩陣中的元素是剛度系數(shù)，即由單位結點位移引起的結點力。由3-7節(jié)的例題可見，與結點2和3相關的單元有單元①和③，當結點3發(fā)生單位位移時，相關單元①和③同時在結點2引起結點力，將相關單元在結點2的結點力相加，就得出結構在結點2的結點力。由此看出，結構的剛度系數(shù)是相關單元的剛度系數(shù)的集成，結構剛度矩陣中的子塊是相關單元的對應子塊的集成。第56頁，共63頁，2023年，2月20日，星期五3-8整體剛度矩陣的形式

2、剛度矩陣的集成規(guī)則：先對每個單元求出單元剛度矩陣，然后將其中的每個子塊送到結構剛度矩陣中的對應位置上去，進行迭加之后即得出結構剛度矩陣[K]的子塊，從而得出結構剛度矩陣[K]。關鍵是如