球的體積和表面積(附答案)

答案)刪除2.利用2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要途徑.球的體積和表面積[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一球的體積公式與表面積公式43思考球有底面嗎球面能展開(kāi)成平面圖形嗎答43思考球有底面嗎球面能展開(kāi)成平面圖形嗎答球沒(méi)有底面，球的表面不能展開(kāi)成平面.知識(shí)點(diǎn)二球體的截面的特點(diǎn)1.球既是中心對(duì)稱(chēng)的幾何體，又是軸對(duì)稱(chēng)的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都是圓.題型一球的表面積和體積5003(2)已知球的體積為π，求它的表面積.3所所以球的體積V＝πR3＝34 33.450033(2)設(shè)球的半徑為R，則πR3＝π，解得R＝533，則它的體積是()ππ答案DV4323333題型二球的截面問(wèn)題積為()ππππ答案B則OO′＝2，O′M＝1.∴OM＝22＋1＝3.即球的半徑為3.43∴V＝π(3)3＝43π.3跟蹤訓(xùn)練2已知長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為3，積為_(kāi)_______.15，則它的外接球表面答案9πAB的截面，設(shè)長(zhǎng)方體有公共RAB＝RAB＝x2＋y2＋z2＝222，球題型三球的組合體與三視圖例3某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積.解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長(zhǎng)為2的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體的表面積為22該幾何體的體積為142π233.142π233.跟蹤訓(xùn)練3有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比.解設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，心，如圖(1)所示，則有2r＝a，1a②球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，2222222222③正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面，33233123軸截面的應(yīng)用例4有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)部放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面沒(méi)過(guò)鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度.分析分別表示出取出鐵球前后水的體積→由水的體積不變建立等式→求出所求量.⊙O是球的最大截面，它內(nèi)切于△ABC，球的半徑為r.設(shè)將球取出后，水平面在圓錐CD3圓錐CD3圓錐CE圓錐CD球O3333∴球從容器中取出后，水的深度為15r.3π，144ππ，36π2.若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于()3.兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是________.4.若球的半徑由R增加為2R，則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉?lái)的________倍，表面積變?yōu)樵瓉?lái)的________倍.5.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_(kāi)_______.一、選擇題1.設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()πππ2.一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為()3.兩個(gè)球的半徑之比為1∶3，那么兩個(gè)球的表面積之比為()∶14.設(shè)正方體的表面積為24cm2，一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是()6.已知底面邊長(zhǎng)為ππ1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為π7.7.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()cm3cm3cmcm二、填空題8.一個(gè)幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.9π9.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為2，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)____.11.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm11.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是______cm.是________.三、解答題R的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾：(2)圓錐的內(nèi)切球的體積.當(dāng)當(dāng)堂檢測(cè)答案43432.答案D434333.答案244334433334.答案84413141312332V3V3S16πR235.答案3π解析由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為1的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面12面積的和，即×4π＋π＝3π.2課課時(shí)精練一、選擇題案C33方法二33方法二如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r，連接OA，OB，則在1球32.答案A∴球的直徑即為正方體的對(duì)角線，即正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為2.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則3.43.3.答案A解析由表面積公式知，兩球的表面積之比為R2∶R2＝1∶9.124.答案D解析由正方體的表面積為24cm2，得正方體的棱長(zhǎng)為2cm，故這個(gè)球的直徑為2cm，故43這個(gè)球的體積為πcm3.35.答案C解解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為r，則在Rt△CDE中，DE＝1111球11r＝Rr，故球的表面積為S＝4πRr.1球6.答案D解析∵正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，∴正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)為1＋1＋22＝2.又∵正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，∴正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一條直徑，∴球的半徑R＝1.333344337.答案A解解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.11如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm).224500π球33∴V＝π×53＝(cm球33二、填空題8.答案9π＋18解析將三視圖還原為實(shí)物圖后求解.232由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為；上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、1，42738所以V＝π××2＋1×3×6＝9π＋18.389.答案解析先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑求棱長(zhǎng).設(shè)正方體棱長(zhǎng)為10.答案10.答案π解析由已知條件可知，球心在正四棱錐的高所在的直線上.設(shè)球的半徑為R，球心為O，94.正四棱錐底面中心為E，則OE＝|4－R|，所以(4－R)2＋(2)2＝R2，解得R＝所以球的表4.81π441111.答案4解析設(shè)球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為πr2×6r＝6πr3，高43度為8cm的水的體積為8πr2,3個(gè)球的體積和為3×πr3＝4πr3，由題意得m三、解答題11.11.12球33圓錐AO側(cè)22SR33圓錐AO側(cè)221圓錐BO側(cè)221∴S＝S＋S＋S幾何體表球圓錐AO側(cè)圓錐BO側(cè)112