信息學(xué)競(jìng)賽中問(wèn)題求解題常見(jiàn)考查題型分析

尋找問(wèn)有n（n≥3）個(gè)硬幣，其中一個(gè)是，已知的重量比其他的要重一些，你有一架天平。現(xiàn)在要稱(chēng)出哪個(gè)來(lái)。1。為了方便敘述，把n1,2,…,nn=3，把一號(hào)硬幣放在天平左邊、二號(hào)硬幣放在天平右邊。如果天平：右偏，二號(hào)重，是保持平衡，那么一、二都是正常的硬幣，因此就只有可能三號(hào)硬幣是了。因此n=3，至多一次就能稱(chēng)出哪個(gè)是。記作f(3)=1。n=9。把所有的硬幣分成三組：A{1,2,3},B{4,5,6},C{7,8,9}。AB左偏，則在A組里面。右偏，則在B組里面。保持平衡，在C組里面。無(wú)論在哪個(gè)組里面，我們已經(jīng)把的范圍從“9”縮小到了“3”，也就是減少到原來(lái)的1/3。之前我們已經(jīng)研究過(guò)，3個(gè)硬幣1次就能f(9)=2。1.1f(3n)=n。證明：n=1,2n=kf(3k)=kn=k+13k+1A,B,C，使得|A|=|B|=|C|=3kAB左偏，在A右偏，在平衡，在無(wú)論哪種結(jié)果，我們都把的范圍縮小到了3k個(gè)硬幣里面。而f(3k)=k，故而f(3k+1)=k+1。1.11.2f(n)=log31.1nmod30,1,2須注意到log3n我們采取的方案是每次將硬幣盡量均勻的三分，這樣做的根據(jù)就是天平只有三種結(jié)果：左偏、右偏、平衡。于是就能保證無(wú)論在哪1/3log3n應(yīng)該就是最優(yōu)解了。為了更加嚴(yán)格的證明log3n的最優(yōu)性，我們引進(jìn)判定樹(shù)的概念。n=9>><<>>=>

<>< <><nh≥log3n，故而可以證明，f(n)=log3n我們的結(jié)論是：有n（n≥3）個(gè)硬幣，其中一個(gè)是 同時(shí)還必須注意一點(diǎn)，我們?cè)谌值臅r(shí)候有兩個(gè)字很講究：“均勻”。實(shí)際上hlog3n中的“=”當(dāng)且僅當(dāng)硬幣被均勻的分配時(shí)才練習(xí)：第12屆青少年信息學(xué)聯(lián)賽初賽題現(xiàn)有80枚硬幣，其中有一枚是，其重量稍重，所有真幣的重量都相同，如果使用不帶砝碼的天平稱(chēng)重，最少需要稱(chēng)幾次，就可以找出？你還要第1次的稱(chēng)重方法。請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)果： 答案：4：27，27，262有若干堆任意數(shù)目的小石子{a1，a2，…，am}(m≥11、2、3k(1≤k≤min{a1，a2，…，am})顆石子，把石子取完的人為勝者。個(gè)分量ai(1≤i≤m)ai′，即{a1，a2，…，ai，…，am；k}—→{a1，a2，…，ai′，…，am；k}(0≤ai′<ai)，我們把這種取一次石子使數(shù)組發(fā)生的變換稱(chēng)為T(mén)變換根據(jù)現(xiàn)成論先驅(qū)馮(Vonann)“完全確定信息游戲必定存在一種確定的獲勝策略”的經(jīng)典理論，要么對(duì)先取者存在某種取法，即某個(gè)T1100110取勝策略的一方在{a1，a2，…，am；k}中也有取勝策略。證明在{a1′，a2′，…，am′；k}中有獲勝策略的一方，對(duì)于大于k的分量ai(i=1，2，…，mai≡ai′(modk+1a(1≤≤k)k+1-ak+1in(n≥1ai=ai′+n(k+1)ai′，故在{a1′，a2′，…，am′；k}中有取勝策略的一方在{a1，a2，…，am；m{a1，a2，…，am}(m≥1Tai(1≤i≤m)減小ai′，即{a1，a2，…，ai，…，am}T{a1，a2，…，ai′，…，am}(0≤ai′<ai)。元數(shù)組nj(1≤j≤lmnj(1≤j≤l)，中有一個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則稱(chēng)之為非偶數(shù)組。32010301151012n2n1=1，所以{2，3，5}是非偶數(shù)組。32，3，1}：2103111012nj(j=1，2)為偶數(shù)，則{2，3，1}為偶數(shù)組。偶數(shù)組與非偶數(shù)組在T偶數(shù)組經(jīng)過(guò)一次T對(duì)于非偶數(shù)組，一定可以找到某一個(gè)Tmm因?yàn)榻o定的m22、3、6，兩人輪流取，取完的人為勝者，若甲先乙后，誰(shuí)取勝？2010301161101n1n22}或{1，1}，乙再取后，甲總能確保獲勝。例3：第12屆青少年信息學(xué)聯(lián)賽初賽題現(xiàn)有5堆石子,石子數(shù)依次為3，5，7，19，50，甲乙兩人輪流從任一堆中任（每次只能取自一堆，不能不?。?取最后一顆石子的一方獲勝。甲先取，問(wèn)甲有沒(méi)有獲勝策略（即無(wú)論乙怎樣取，甲只要不，都能獲勝）？如果有，甲第一步應(yīng)該在哪一堆里取多少？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)果： 15323243×25a、b、c15abc25≡7(mod6)，根據(jù)游戲Ⅰ的策略{25，25，25；5}中有獲勝策略的一方在{7，7，7；5}中也有獲勝方法，又把石子由圖中所示{3，“屜最是由19紀(jì)德數(shù)家萊Dirhle）用解數(shù)問(wèn)的所又“萊理也稱(chēng)鴿1091、如果把n+1n證明：（用反證法）1nnn+11313122224330123335153（襪子無(wú)左、右之6224261，236＋2＋2=10342，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9104（同一顏色）里的球。【例5】.現(xiàn)有64只乒乓球，18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有 球，32…36，18抽屜原理還可以反過(guò)來(lái)理解：假如把n＋1n22（2或2個(gè)以上的蘋(píng)果”相反），那么，每個(gè)抽屜最多只放1個(gè)蘋(píng)果，n個(gè)抽屜最多有n個(gè)蘋(píng)果，與“n+1個(gè)蘋(píng)果”的條件。運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n123319A={0，1，2，3，……，90，1，2，…9為A并集：由所有屬于集合ABA，BA∪B，記號(hào)“∪”讀作“并”。A∪BAB”，用圖表示為圖中陰影部分表示集合A，BA∪B。6A={1，2，3，6}，10B={1，2，5，10交集：A、BA，又屬于BAB“A∩B”，讀作“A交B”，如圖陰影表示：6A={1，2，3，6}，10B={1，2，5，10A∩B={1，2}。原理一：給定兩個(gè)集合AB，要計(jì)算A∪B第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者說(shuō)把A，B）；總結(jié)為：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-原理二：給定三個(gè)集合A，B，C。要計(jì)算A∪B∪C即有以下∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C|C∩A|+|A∩B∩C∣s集新詞概多如合元、限、限、法描法子、子、集非集、集補(bǔ)交、集等新系符多如于不于包、含、含真含、等不等相、并互補(bǔ)∈、 、N、N、、QR∩∪、C、I＝≠…等這新念關(guān)，而象在千萬(wàn)中應(yīng)抓“素個(gè)鍵，因集是元確的“、、、、、”合都通元來(lái)義。合元的征“定，互異s12023A={202B={20323∣A∪BB={3，6，9，…186|B|=62：本題可直觀地用圖示法解答如圖,其中,圓A202B2036,12,1823A∩BA∪B2902590219038解：設(shè)A90B={90那么，集合A∪B90點(diǎn)評(píng)：解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會(huì)表示A∪B，A∩B339，3725解：設(shè)A={打籃球的同學(xué)}；B={跑步的同學(xué)}A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)}423271：設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)}，B={語(yǔ)文小組的同學(xué)}，C={外語(yǔ)小組的同學(xué)}，A∩B={數(shù)學(xué)、語(yǔ)文小組的同學(xué)}，A∩C={參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)小=54（人2：設(shè)A、B、CⅦ（即A∩B∩C）表示三個(gè)小組都24-2=2（人）。區(qū)域Ⅵ表示僅參加數(shù)學(xué)7-2=5（人）5-2=3（人）。區(qū)域Ⅰ表2例5學(xué)校教導(dǎo)處對(duì)100名同 ，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡 賽又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看）的有6人，既喜歡看 又喜歡看戲劇（但不喜歡看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。問(wèn)有多少同學(xué)只喜歡看？有多少同學(xué)既喜歡看球賽又喜歡看 解法1：畫(huà)三個(gè)圓圈使它們兩兩相交，彼此分成7部分（如圖）這三個(gè)圓圈分別表示三種不同 12人，把12填在三個(gè)圓圈的公共部分內(nèi)（圖中陰影部分），其它6部分填上題目中所給出的不同 人數(shù)要經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算）其中設(shè)既喜歡看又喜歡看球賽的人數(shù)為χ，這樣，全班同學(xué)人數(shù)就是這7部分人數(shù)的和，即只喜歡看的人數(shù)36-解法2：設(shè)A={喜歡看球賽的人}，B={喜歡看戲劇的人}，C={喜歡看的人}，依題目的條件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（這里12），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再設(shè)|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C所以既喜歡看又喜歡看球賽的人數(shù)為14，只喜歡看的人數(shù)為221nm1m2m法，……，在第n

Nm1

nmm2種不同的方法，……，做第步有m種不同的方法，那么完成這件事有Nm1m2 mn種不同的方排列的概念：從nm（mn）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不m個(gè)元素的一個(gè)排列排列數(shù)的定義：從nm（mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從nmAmAnnn

Amn(n1)(n (nm

m,nN6

1nn0

Anm(nAn

組合數(shù)的概念：從nmmCm

符號(hào)n

n(nn(n1)(n (nmCmnA A組合數(shù) nCmn或

m!(nm(nmN且mCm

C011組合數(shù)的性質(zhì)1： ．規(guī)定： CmC2：n1

CCn+CCAa1a2a3,an}nr個(gè)元素排在一個(gè)圓環(huán)上，叫做一個(gè)圓排列（或叫環(huán)狀排列圓排列有三個(gè)特點(diǎn)：（i）無(wú)頭；（ii）按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列；（iii）兩個(gè)圓排列只有在元素不同或者元素雖然相 Aa1

,

,,

Pr}nrnrmmnmnnp1p2ps個(gè)元素相同（p1p2psn），這n

np個(gè)元素，允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn)1,2,pnpnpHpCr n(11344C3abcd12解：兩個(gè)元素排在一起的問(wèn)題可用“”法解決，先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共 練習(xí)：5個(gè)男生3個(gè)排成一排,3個(gè)要排在一起,有多少種不同的排法PP分析此題涉及到的是排隊(duì)問(wèn)題,對(duì)于有特殊的限制,因此,是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來(lái)PP 因?yàn)橐旁谝黄?所以可以將3個(gè)看成是一個(gè)人,與5個(gè)男生作全排列,P6

內(nèi)部也有

6 27 種排法練習(xí)：學(xué)校組織老師學(xué)生一起看，同一排票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少解

P874PP8

P7種選法.根據(jù)乘法原理P

87有些問(wèn)題直接法考慮比較難比較復(fù)雜，或分類(lèi)不清或多種時(shí)，而它的往往比較簡(jiǎn)捷，可考慮用“排除法”，先求出它的,再?gòu)恼?個(gè)解：從7個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)的取法有 種，但其中正六邊形的對(duì)角線(xiàn)所含的中心和頂點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)不能組成三角形，有3條，所以滿(mǎn)足 －3＝32個(gè).練習(xí)435CCCC解435

43

401

C C例4．1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排 種 ＝72種不同的排法. 種 種排法，而其余7名隊(duì)員選出2名安排在第二、四位置，有 法，所以不同的出場(chǎng)安排共有＝252種.例6．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)已排成單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新.如果將這兩個(gè)插入原單中，那么不同插法的種數(shù)為（A） 22262A種。故不同插法的種數(shù)為626+A2A1=42，故選A26例7．12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有 解：本試題屬于均分組問(wèn)題。則12名同學(xué)均分成3組共有 種，故選A。8．43有（） D．6解C2A1·A2,故不同的種植方法共有A1·C2·A2=12

9101、2、3書(shū)之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“I”（一般可視為“隔板”）共有 種插法，即有15種分法。108121分析此題若直接去考慮的話(huà),就會(huì)比較復(fù)雜.但如果其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問(wèn)題,就會(huì)顯得比較清楚,方法簡(jiǎn)單,結(jié)果容易理解1281211777相同的黑球,每個(gè)空檔最多放一個(gè),即可將白球分成8份,顯然有 種不同的放法,所以名額分配方案有 種77輯推理問(wèn)題，處理這類(lèi)問(wèn)題，要從一些關(guān)聯(lián)的條件出發(fā)，應(yīng)用某些數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至日常生活，依據(jù)一定的思維規(guī)律（機(jī)智靈活、準(zhǔn)邏輯推理問(wèn)題條件撲朔迷離，層次紛紜，沒(méi)有一定的定理可以依據(jù)，無(wú)現(xiàn)成可用，無(wú)模式可循，靠的是邏輯推理?？僧?huà)框圖、住在某個(gè)旅館的同一房間的四個(gè)人A、B、C、D正在聽(tīng)一組流行音樂(lè)，她們當(dāng)中有一個(gè)人在修指甲，一個(gè)人在寫(xiě)信，一個(gè)人躺在，另B不躺在，也不在修指甲如果A不躺在，那么D不在修指甲D不在看書(shū)，也不躺在。由1、2、4、5知，既不是A、B在修指甲，也不是C在修指甲，因此修指甲的應(yīng)該是D；但這與3的結(jié)論相，所以3的前提肯定不成立，即A應(yīng)該是躺在；在4中C既不看書(shū)又不修指甲，由前面分析，C又不可能躺在，所以C是在寫(xiě)信；而B(niǎo)則是在看書(shū)。5.A、B、C、D C：是ABD：是B由表可知，若是A3B54、3、2、1由多到少排列著五名學(xué)生，A、B、C、D、EA24CE35D4講解:先從五人的總分入手，再扣掉AB、C、D、EE55×(1+2+3+4+5)=75因A24B、C、D、E75－24=51又E8E（還有三科）11 E811E1C132135A、EC31E3C13D12485A、E3C、E1C、E，D2顯然，B421【例9】趙、錢(qián)、孫、人，一個(gè)是教師，一個(gè)是售貨員，一個(gè)是工人，一個(gè)是機(jī)關(guān)。試根據(jù)以下條件，判斷這四人的職業(yè)。錢(qián)比孫大教太極拳；售貨員的鄰居不是機(jī)關(guān)機(jī)關(guān)和工人互不相識(shí)；（7）機(jī)關(guān)比售貨員和工人都大【分析】由條件（4）和條件（1）可知趙、錢(qián)都不是教師。由條件（2）和條件（7），可推知孫不是。如果是的話(huà)，錢(qián)不是工人或售貨員，錢(qián)又不是教師。于是，錢(qián)也是，。這樣我們得到下表。下面幾步推理也用表格說(shuō)明。A、B、C、D、E（每?jī)芍蜿?duì)間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽），當(dāng)比賽進(jìn)行到一定階段時(shí)，統(tǒng)計(jì)A、B、C、D經(jīng)賽過(guò)的場(chǎng)數(shù)，依次為A4，B3，C2，D1，E（）A. B. C. D.解：用五個(gè)點(diǎn)分別表示A、B、C、D、E1A4AB、C、D、E1；D1AB3不可能與D隊(duì)比賽，是與A、C、E1；C2場(chǎng)，是與A、B，E2前和關(guān)系即說(shuō)某現(xiàn)的化果緊它面化一或些果密聯(lián)所三看的是個(gè)道理一理正現(xiàn)遞的想遞關(guān)幾在有數(shù)分中有要用一更高強(qiáng)齊的信息學(xué)賽更簡(jiǎn)高而示其具的推系揮要用今入究性點(diǎn)成件分要的事情。本就將繞著遞關(guān)系三大基問(wèn)題的如何遞推關(guān)系開(kāi)論，并通例題明遞推系在信息賽中的應(yīng)1】給定一個(gè)數(shù)的序列H0,H1,…,Hnn0，使當(dāng)nn0時(shí),可以用等號(hào)(或大于號(hào)、小于號(hào))將Hn與其前面的某些項(xiàng)Hn(0第n數(shù)列沒(méi)有研究?jī)r(jià)值，恰恰相反，一些此類(lèi)的題目還是能給的啟發(fā)的。問(wèn)題的提出：有雌雄一對(duì)兔子，假定過(guò)兩個(gè)月便可繁殖雌雄各一的一對(duì)小兔子。問(wèn)過(guò)n解：設(shè)滿(mǎn)xFx對(duì)，其中當(dāng)月新生的兔子數(shù)目為Nx對(duì)。第x-1Ox Nx=Ox-1=Fx-2(即第x-2x 問(wèn)題的提出：Hanoina,b,cna1 要求把a(bǔ)nc問(wèn)將這nac解：設(shè)hn為n個(gè)盤(pán)子從acn=1ach1=1柱上；再借助a柱把b柱上的n-1個(gè)盤(pán)子移動(dòng)到c柱上；總共移動(dòng)hn-1+1+hn-1個(gè)盤(pán)次。 問(wèn)題的提出：設(shè)有n1 1 16119847151 圖一共有an-1+2(n-1an=an-1+2(n-1)a1=1。CatalanEulernCatalan6-4)h5=5nhnCn表示凸nnP1Pn也不例外，再根據(jù)“不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形”，只要在P2，P3，……，Pn-1點(diǎn)中找一個(gè)點(diǎn)Pk(1<k<nP1、Pn共同構(gòu)成一個(gè)kn-k+1CkCn-k1，故包含△P1PkPnn邊形的拆分方案數(shù)為-k1PkP2，