2019高考江蘇數(shù)學(xué)優(yōu)編增分練：高考附加題加分練（八）隨機(jī)變量及其概率分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（八)隨機(jī)變量及其概率分布1．袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè)，從中任取2個(gè)都是白球的概率為eq\f(5，12）。現(xiàn)甲、乙兩人從袋中輪流摸球,甲先取，乙后取，然后甲再取,…，每次摸取1個(gè)球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球時(shí)終止．用X表示取球終止時(shí)取球的總次數(shù)．(1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2）求隨機(jī)變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X)．解(1）設(shè)袋中原有n個(gè)白球，則從9個(gè)球中任取2個(gè)球都是白球的概率為eq\f（C\o\al（2,n)，C\o\al（2,9))，由題意知eq\f(C\o\al（2,n），C\o\al（2，9)）＝eq\f（5,12)，化簡得n2－n－30＝0,解得n＝6或n＝－5（舍去)，故袋中原有白球的個(gè)數(shù)為6。（2）由題意，X的可能取值為1，2,3，4。P(X＝1）＝eq\f(6,9）＝eq\f（2,3)，P(X＝2)＝eq\f（3×6,9×8)＝eq\f（1，4），P(X＝3）＝eq\f（3×2×6,9×8×7）＝eq\f（1，14）,P（X＝4)＝eq\f(3×2×1×6，9×8×7×6）＝eq\f(1,84）.所以取球次數(shù)X的概率分布為X1234Peq\f(2，3)eq\f(1，4）eq\f（1，14)eq\f(1，84）所求數(shù)學(xué)期望E(X）＝1×eq\f（2,3）＋2×eq\f(1，4)＋3×eq\f(1,14）＋4×eq\f（1，84）＝eq\f（10,7）.2．某射擊小組有甲、乙兩名射手，甲的命中率為P1＝eq\f（2，3)，乙的命中率為P2，在射擊比武活動(dòng)中每人射擊兩發(fā)子彈則完成一次檢測．在一次檢測中，若兩人命中次數(shù)相等且都不少于一發(fā),則稱該射擊小組為“先進(jìn)和諧組"．(1）若P2＝eq\f（1,2），求該小組在一次檢測中榮獲“先進(jìn)和諧組”的概率；(2）在2018年每月進(jìn)行1次檢測，設(shè)這12次檢測中該小組獲得“先進(jìn)和諧組”的次數(shù)為ξ，如果E(ξ)≥5，求P2的取值范圍．解(1)所求概率P＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(C\o\al(1，2)·\f（2,3）·\f（1,3)）)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（C\o\al（1,2)·\f(1，2)·\f（1，2))）＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f（2,3)））eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)·\f（1，2))）＝eq\f(1，3）.（2）該小組在一次檢測中榮獲“先進(jìn)和諧組"的概率為P＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2，3)·\f(1，3））)［Ceq\o\al(1,2)·P2·(1－P2)]＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3）·\f（2,3）))Peq\o\al(2,2)＝eq\f(8,9）P2－eq\f(4，9）Peq\o\al(2，2)。而ξ～B（12，P），所以E(ξ)＝12P，由E(ξ)≥5知，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（8，9）P2－\f（4，9)P\o\al（2,2)））·12≥5，解得eq\f(3,4)≤P2≤eq\f（5,4）。又0≤P2≤1,∴eq\f（3,4）≤P2≤1.3．（2018·南通調(diào)研）從集合｛1，2,3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出m個(gè)．（1）若m＝1，求所取子集的元素既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率;（2)若m＝2，記所取子集的元素個(gè)數(shù)之差的絕對值為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(ξ）．解(1)當(dāng)m＝1時(shí)，記事件A：“所取子集的元素既有奇數(shù)又有偶數(shù)"．則集合{1,2，3,4，5｝的非空子集數(shù)為25－1＝31，其中非空子集的元素全為奇數(shù)的子集數(shù)為23－1＝7，全為偶數(shù)的子集數(shù)為22－1＝3，所以P（A）＝eq\f（31－7＋3,31)＝eq\f（21，31).(2）當(dāng)m＝2時(shí)，ξ的所有可能取值為0，1，2,3,4，則P（ξ＝0）＝eq\f(C2C\o\al(1,5）＋C2C\o\al(2，5）＋C2C\o\al（3,5）＋C2C\o\al（4，5)，C\o\al(2，31)）＝eq\f(110,465）＝eq\f（22,93），P（ξ＝1）＝eq\f（C\o\al(1，5）C\o\al（2，5)＋C\o\al(2，5）C\o\al（3,5)＋C\o\al（3,5）C\o\al（4，5)＋C\o\al（4，5）C\o\al（5，5），C\o\al(2,31）)＝eq\f（205,465)＝eq\f（41,93），P（ξ＝2)＝eq\f（C\o\al(1,5)C\o\al（3,5）＋C\o\al(2,5）C\o\al(4,5）＋C\o\al（3，5）C\o\al(5，5），C\o\al（2，31））＝eq\f（110,465)＝eq\f（22,93）,P(ξ＝3）＝eq\f（C\o\al（1，5)C\o\al(4，5)＋C\o\al(2,5)C\o\al（5,5),C\o\al（2,31))＝eq\f(35,465）＝eq\f（7,93),P（ξ＝4）＝eq\f(C\o\al(1,5）C\o\al（5,5）,C\o\al(2，31)）＝eq\f(5，465）＝eq\f(1，93)，所以ξ的概率分布為ξ01234Peq\f(22,93)eq\f(41,93)eq\f(22，93)eq\f(7，93)eq\f（1,93）所以ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ)＝0×eq\f（22，93)＋1×eq\f（41,93）＋2×eq\f(22，93)＋3×eq\f（7，93)＋4×eq\f（1,93)＝eq\f（110，93).4．（2018·啟東模擬）如圖,已知正六棱錐S－ABCDEF的底面邊長為2，高為1。現(xiàn)從該棱錐的7個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量X表示所得三角形的面積．(1)求概率P(X＝eq\r(3))的值；(2)求X的概率分布,并求其數(shù)學(xué)期望E（X）．解（1)從7個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，共有Ceq\o\al(3，7）＝35（種)取法．其中X＝eq\r（3）的三角形如△ABF，這類三角形共有6個(gè)．因此P(X＝eq\r（3)）＝eq\f（6，C\o\al（3,7））＝eq\f(6,35).(2)由題意知，X的可能取值為eq\r(3），2,eq\r（6)，2eq\r（3），3eq\r(3）.其中X＝eq\r（3）的三角形如△ABF，這類三角形共有6個(gè)；其中X＝2的三角形有兩類,如△SAD（3個(gè)），△SAB(6個(gè))，共有9個(gè)；其中X＝eq\r(6）的三角形如△SBD,這類三角形共有6個(gè)；其中X＝2eq\r(3）的三角形如△CDF，這類三角形共有12個(gè)；其中X＝3eq\r(3)的三角形如△BDF，這類三角形共有2個(gè)．因此P（X＝eq\r(3))＝eq\f（6,35)，P（X＝2）＝eq\f（9，35)，P（X＝eq\r（6）)＝eq\f（6,35），P（X＝2eq\r(3))＝eq\f（12，35)，P(X＝3eq\r（3))＝eq\f（2，35).所以隨機(jī)變量X的概率分布為Xeq\r（3)2eq\r（6）2eq\r（3）3eq\r(3)P(X）eq\f（6，35)eq\f(9,35)eq\f（6,35）eq\f（12,35）eq\f（2,35）所求數(shù)學(xué)期望E（X)＝eq\r（3）×eq\f（6,35)＋2×eq\f(9，35）＋eq\r(6）