蘇北四市2013-2014第一學期期末數(shù)學試卷

....2012屆高三調(diào)研測試一試卷(三)數(shù)學(滿分160分，考試時間120分鐘)2012．1一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分．1.已知會合A＝{1,2,3}，B＝{0,2,3}，則A∩B＝____________.若(x＋i)2是實數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)x的值為____________．3.一個社會檢查機構(gòu)就某地居民的月收入情況檢查了1000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本頻次散布直方圖(如下列圖)，則月收入在[2000,3500)圍人數(shù)為____________．(第3題)4.根據(jù)如下列圖的偽代碼，可知輸出S的值為______________．←1Whilei＜8←i＋2S←2i＋3EndWhilePrintS(第4題)5.已知a，b∈{1,2,3,4,5,6}，直線l：x－2y－1＝0，l：ax＋by－1＝0，則直線l⊥l1212的概率為______________．x≥16.若變量x，y知足拘束條件y≥x，則3w＝log(2x＋y)的最大值為3x＋2y≤15______________．7.已知拋物線y2＝2px的準線與雙曲線x2－y2＝2的左準線重合，則p的值為____________．18.在等比數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＝2，a3＋a4＝1，則a7＋a8＋a9＋a10的值為____________．9.在△ABC中，已知BC＝1，B＝π，△ABC的面積為3，則AC的長為________．3已知p：x2－4x－5＞0，q：x2－2x＋1－m2＞0(m＞0)，若p是q的充分不必要條件，則m的最大值為____________．2＋y211.已知橢圓的方程為x22＝1(a＞b＞0)，過橢圓右焦點且與x軸垂直的直線與橢圓ab交于P、Q兩點，橢圓的右準線與x軸交于點M，若△PQM為正三角形，則橢圓的離心率等于1/14....____________．函數(shù)f(x)＝acos(ax＋θ)(a＞0)圖象上兩相鄰的最低點與最高點之間距離的最小值是______________．13.定義在R上的函數(shù)f(x)，知足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，則f(2012)的值為______________．1114.已知函數(shù)f(x)x＋2，x∈0，2)＝.若存在x，x，當0≤x＜x＜2時，f(x12121x－11，22，x∈2f(x2)，則x1f(x2)的取值圍是____________．二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.(本小題滿分14分)已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈0，π，若a⊥b，求：2(1)|a＋b|；(2)cosα＋π的值．4(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D、E分別是AA1和B1C的中點．求證：DE∥平面ABC；求三棱錐EBCD的體積．2/14....(本小題滿分14分)現(xiàn)有一長80cm、寬60cm的長方形鐵皮ABCD，準備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失．如圖，若從長方形ABCD的一個角上剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側(cè)面．設(shè)長方體的底面邊長為x(cm)，高為y(cm)，體積為V(cm3)．求：x與y的關(guān)系式；該鐵皮盒體積V的最大值．3/14....(本小題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，直線x－y＋1＝0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為6.求圓O的方程；若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于點D、E，當DE長最小時，求直線l的方程；設(shè)M、P是圓O上隨意兩點，點M對于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0)，問mn是否為定值？假如，懇求出該定值；若不是，請說明原因．4/14....(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R.當a＜0時，解不等式f(x)＞0；(2)若f(x)在[－1,1]上是單一函數(shù)，求a的取值圍；(3)當a＝0時，求整數(shù)k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．5/14....(本小題滿分16分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＋1＝pSn＋q(p，q為常數(shù)，n∈N*)，且a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p.求p、q的值；求數(shù)列{an}的通項公式；(3)是否存在正整數(shù)Sn－m2m建立？若存在，求出所有切合條件的有序m、n，使n＋1＜mS－m2＋1數(shù)對(m，n)；若不存在，說明原因.6/14....2012屆高三調(diào)研測試一試卷(三)數(shù)學附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)21.[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每題10分，共20分．若多做，則按作答的前兩題給分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．選修41：幾何證明選講如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點T，與AQ相交于兩點B、C.求證：BT平分∠OBA.選修42：矩陣與變換若點A(2,2)cosα－sinαB(－2,2)，求矩在矩陣M＝對應(yīng)變換的作用下獲得的點為sinαcosα陣M的逆矩陣．C.選修44：坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，A為曲線ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的動點，B為直線ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的動點，求AB的最小值．7/14....D.選修45：不等式選講n已知a1，a2，，an都是正數(shù)，且a1·a2·an＝1，求證：(2＋a1)(2＋a2)(2＋an)≥3.[必做題]第22題、第23題，每題10分，共20分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．22.如圖，已知面積為1的正三角形ABC三邊中點分別為D、E、F，從A、B、C、D、E、F六個點中任取三個不同的點，所組成的三角形的面積為X(三點共線時，規(guī)定X＝0)．求：1PX≥2；E(X)．如圖，過拋物線C：y2＝4x上一點P(1，－2)作傾斜角互補的兩條直線，分別與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)．求y1＋y2的值；若y1≥0，y2≥0，求△PAB面積的最大值．8/14....2012屆高三調(diào)研測試一試卷(三)( )數(shù)學參照答案與評分標準1.{2,3}2.03.6504.215.16.27.28.129.1310.211.123312.2π13.100614.2－214，215.解：(1)因為a⊥b，所以4×3＋5cosα×(－4tanα)＝0，(2分)解得sinα＝3，又因為α∈0，π，(4分)524sinα3所以cosα＝，tanα＝cosα＝，(6分)54所以＋＝(7,1)，因此|a＋b|＝72＋12＝52.(8分)abπππ(2)cosα＋4＝cosαcos4－sinαsin4(12分)423225×2－5×2＝10.(14分)(1)證明：取BC中點G，連接AG、EG，因為E是B1C的中點，所以EG∥BB1，1且EG＝2BB1.由直棱柱知，AA1BB1，而D是AA1的中點，所以EGAD，(4分)所以四邊形EGAD是平行四邊形，所以ED∥AG，又DE平面ABC，AG平面ABC所以DE∥平面ABC.(7分)解：因為AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，所以VEBCD＝VDBCE＝VABCE＝VEABC，(10分)由(1)知，DE∥平面ABC，111所以VEABC＝VDABC＝3AD·2BC·AG＝6×3×6×4＝12.(14分)17.解：(1)由題意得x2＋4xy＝4800，9/14....2即y＝4800－x，0＜x＜60.(6分)4x224800－x213(2)鐵皮盒體積V(x)＝xy＝x＝－x＋1200x，(10分)4x432V′(x)＝－4x＋1200，令V′(x)＝0，得x＝40，(12分)因為x∈(0,40)，V′(x)＞0，V(x)是增函數(shù)；x∈(40,60)，V′(x)＜0，V(x)是減函數(shù)，133所以V(x)＝－4x＋1200x，在x＝40時取得極大值，也是最大值，其值為32000cm.答：該鐵皮盒體積V的最大值是32000cm3.(14分)18.解：(1)1，(2分)因為O點到直線x－y＋1＝0的距離為21262所以圓O的半徑為2＋2＝2，故圓O的方程為x2＋y2＝2.(4分)設(shè)直線l的方程為x＋y＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0，ab|ab|111由直線l與圓O相切，得a2＋b2＝2，即a2＋b2＝2，(6分)2222211DE＝a＋b＝2(a＋b)a2＋b2≥8，當且僅當a＝b＝2時取等號，此時直線l的方程為x＋y－2＝0.(10分)(3)2222設(shè)M(x1，y1)，P(x2，y2)，則N(x1，－y1)，x1＋y1＝2，x2＋y2＝2，x1y2－x2y11221直線MP與x軸交點，0，m＝xy－xy，2121y－yy－yxy＋xy1x1y2＋x2y1直線NP與x軸交點122，n＝，(14分)y2＋y1，021y＋yx1y2－x2y1x1y2＋x2y1x222222－22mn＝1y2－x2y1＝2－y1y22－y2y1y2－y1·＝2222＝2，y2＋y1y2－y1y2－y1故mn為定值2.(16分)19.解：(1)因為ex＞0，所以不等式f(x)＞0即為ax2＋x＞0，1又因為a＜0，所以不等式可化為xx＋a＜0，1所以不等式f(x)＞0的解集為0，－a.(4分)(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x)ex＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]ex，①當a＝0時，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)≥0在[－1,1]上恒建立，當且僅當x＝－1時取等號，故a＝0切合要求；(6分)②當a≠0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，因為＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1＞0，所以g(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，不妨設(shè)x1＞x2，因此f(x)有極大值又有極小值．若a＞0，因為g(－1)·g(0)＝－a＜0，所以f(x)在(－1,1)有極值點，10/14....故f(x)在[－1,1]上不單一．(8分)若a＜0，可知x1＞0＞x2，因為g(x)的圖象開口向下，要使f(x)在[－1,1]上單一，因為g(0)＝1＞0，必須知足g1≥0，即3a＋2≥0，所以－2≤a＜0.g－1≥0－a≥03綜上可知，a的取值圍是2－，0.(10分)3(3)當a＝0時，方程即為xex＝x＋2，由于ex＞0，所以x＝0不是方程的解，x2x2所以原方程等價于e－x－1＝0，令h(x)＝e－x－1，x2因為h′(x)＝e＋x2＞0對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒建立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)是單一增函數(shù)，(13分)又h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－2＞0，h(－3)＝e－3－13＜0，h(－2)＝e－2＞0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)間[1,2]和[－3，－2]上，所以整數(shù)k的所有值為{－3,1}．(16分)20.解：(1)213＝2p＋q1.(4由題意，知S＝pa＋q，即，解之得p＝2S＝pS＋q3＋q－3p＝3p＋q32q＝2分)1由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋2，①1當n≥2時，Sn＝2Sn－1＋2，②1①－②得，an＋1＝2an(n≥2)，(6分)211n＋11n*n1又a＝2a，所以a＝2a(n∈N)，所以{a}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，1所以an＝2n－2.(8分)121－n1m2n2(3)由(2)＝41－nn＝n＋1＜m，得得，S2，由2＋1S－m11－2141－2n－m2m2n4－m－42m41－1＜2m＋1，即2n4－m－2＜2m＋1，(10分)n＋1－m2即2n21mn4－m－2＞2m＋1，因為2＋1＞0，所以2(4－m)＞2，所以m＜4，且2＜2n(4－m)＜2m＋1＋4，(*)11/14....因為m∈N*，所以m＝1或2或3.(12分)當m＝1時，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以n＝1；當m＝2時，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以n＝1或2；當m＝3時，由(*)得，2＜2n＜20，所以n＝2或3或4，綜上可知，存在切合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(m，n)為(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16分)12/14....高三數(shù)學附加題試卷(三)參照答案第頁(共2頁)2012屆高三調(diào)研測試一試卷(三)( )數(shù)學附加題參照答案與評分標準A.證明：連接OT，因為AT是切線，所以O(shè)T⊥AP.又因為∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.(5分)又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.(10分)2－22cosα－2sinα－2B.解：由題意知，M＝，即＝2，222sinα＋2cosαcosα－sinα＝－1cosα＝00－1所以，解得sinα＝1.所以M＝.(5分)sinα＋cosα＝110－110－101由MM＝，解得M＝－1.(10分)010另解：矩陣M的隊列式|M|＝01－101.－10＝1≠0，所以M＝－10C.解：圓方程為(x＋1)2＋y2＝4，圓心(－1,0)，直線方程為x＋y－7＝0，(5分)圓心到直線的距離d＝|－1－7|＝42，所以(AB)min＝42－2.(10分)23證明：因為a1是正數(shù)，所以2＋a1＝1＋1＋a1≥3a1，(5分)同理2＋a＝1＋1＋a3≥3a(j＝2,3，n)，jjj將上述不等式兩邊相乘，得n3·a··a，(2＋a1)(2＋a2)(2＋an)≥3·a12n因為a1·a2··an＝1，所以n分)(2＋a1)(2＋a2)(2＋an)≥3.(1022.解：(1)從六點中任取三個不同的點共有3個基本事件，6事