2021年四川省自貢市高考數(shù)學(xué)一診試卷（理科）

2021年四川省自貢市高考數(shù)學(xué)一診試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.TOC\o"1-5"\h\z.（5分）已知A={x|x>l},B={x|X2-2x-3<0},貝［JAnB=（ ）A.{x|l<x<3}B.{x|x<-1n￡x>l C.{x|x>3}D.{x|x>1}.（5分）若（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（ ）心一■1A.2i B.-2i C.-2 D.2.（5分）等差數(shù)列&}的前n項和為S「若a?"，則L=（ ）A.66 B.99 C.110 D.143.（5分）在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Pf那么使^ABP與2DP的面積都小于4的概率為（ ）A，XB，X C.1 D.136 12 9 9.（5分）從1,3,5三個數(shù)當(dāng)選兩個數(shù)字，從0,2兩個數(shù)當(dāng)選一個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三彳諼攵，其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）A.6 B.12 C.18 D.24.（5分）將函數(shù)f（x）=sin2x向右平移2L個單位后取得函數(shù)g（x）,則g（x）具有性質(zhì)（ ）A.在0工）上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)B.最大值為1,圖象關(guān)于直線撇乂一4C.在旦上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)D.周期為口，圖象關(guān)于點(diǎn)（或，的對稱8TOC\o"1-5"\h\z7.（5分）已知數(shù)列耳｝，則4<a2Va3是數(shù)列耳｝是遞增數(shù)列的（ ）條件A.充分沒必要要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也沒必要要（5分）如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的〃更相減損術(shù)〃，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a,b別離為63,36,則輸出的a=（ ）A.3 B.6 C.9 D.18（5分）在四邊形AB。。中，AC=2,BD=1,則［族+而）?（E+而）=（ ）A.5 B.-5 C.-3 D.3（5分）若長方體ABCD-A/Oi的極點(diǎn)都在體積為288n的球O的球面上，則長方體A8cD的表面積的最大值等于（ ）A.576 B.288 C.144 D.72（5分）若是函數(shù)y=/（x）知足/（?）=f（.ax-A）（〃〉0）,則y=/（?）的一個正周期為（ ）A.1 B.旦 C.1 D.A4 4 2 2（5分）下列四個命題：①勿5〈南勿2；②歷③2dH<11；@3eln2>^其中真命題的個數(shù)是（ ）鹿為自然對數(shù)的底數(shù)）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）（5分）sin（-675°）=.（5分）在（母十.）叩勺二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為1024,則展開式常數(shù)項的值等于.（5分）滿分為100分的試卷，60分為合格線，若滿分為100分的測試卷，100人參加測試，將這100人的卷面分?jǐn)?shù)依照［24,36）,［36,48）,…，

[84,96]分組后繪制的頻率散布直方圖如圖所示，由于及格人數(shù)較少，某老師準(zhǔn)備將每位學(xué)生的卷面得分采用“開方乘以10取整”的方式進(jìn)行換算以提高及格率（實(shí)數(shù)”的取整等于不超過”的最大整數(shù)），如：某位學(xué)生卷面49分，則換算成70分作為他的最終考試成績則按照這種方式，這次測試的不及格的人數(shù)變成（5分）已知/（%）=以3+3]2-1存在唯一的零點(diǎn)%,且為＜0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是三、解答題（本大題共6題，共70分.解承諾寫出文字說明、證明進(jìn)程或演算4040同意男生 a女生合計不同意 合計5100(1)求a,d的值，按照以上數(shù)據(jù)，可否有97.5%的把握以為是不是同意父母生“二孩”與性別有關(guān)？請說明理由；(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，此刻從所有學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方式抽取4位學(xué)生進(jìn)行長期跟蹤調(diào)查，記啰乎的4位學(xué)生中持“同意：態(tài)度典人數(shù)為x,求x的散布列及數(shù)學(xué)期望.本資料分享自千人QQ群°高中數(shù)學(xué)資源大全附：一'好嚴(yán))：—.(a+b)(c-l-d)ta+c)(b+d)P(nN%) 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010kQ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635(12分)若數(shù)列｛%｝的前〃項和為為首項4>0,且二噂(門￡/)(1)求數(shù)列｛練｝的通項公式；(2)若%>0,令7%(:+力(人N*)，設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和乙，比較,與之大小.4(12分)如圖，四棱錐尸-ABCD中，側(cè)面外。為等邊三角形，且平面以。，底面股二EC二上初二1，^BAD=ZABC=90°.(1)證明：：尸。，AB；(2)點(diǎn)M在棱尸。上，且而二人冠，若二面角大小的余弦值為叵，T求實(shí)數(shù)人的值.(12分)已知函數(shù)f&)二方正中.(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有極值，對任意的々,x2，當(dāng)0<々<々，存在/使產(chǎn)(iD)=—— 」，證明：叼-勺(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為：(""讓",。為參［產(chǎn)l+tsi門巾數(shù)，。日0,“))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以，軸的正半軸為極軸，成立極坐標(biāo)系，圓。的極坐標(biāo)方程為：p二4sS(e工).3(1)求圓。的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)尸(1,1),若直線/與圓。交于A,B兩點(diǎn)，求IB4II尸⑻的值.23.設(shè)函數(shù)/(x)=\ax+l\+\x-II(xGR).(1)當(dāng)”=1時，求不等式/(%)>2的解集；(2)對任意實(shí)數(shù)在[2,3],都有/(%)三2%-3成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.2021年四川省自貢市高考數(shù)學(xué)一診試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(5分)已知A={xlx>l},B={x\x2-2x-3<0},則 ( )A.{xll<x<3}B.{xlx<-1 C.{xlx>3}D.{xlx>l}【分析】求解一元二次不等式化簡集合B,然后直接利用交集運(yùn)算得答案.【解答】解：.e.AnB={xll<x<3}.故選：A.【點(diǎn)評】本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z(5分)若(其中，為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部是( )1A.2i B.-2i C.-2 D.2【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【解答】解：???工0^=上滔41^+2i，-i2???復(fù)數(shù)z的虛部是2.故選：C.【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的大體概念，是基礎(chǔ)題.(5分)等差數(shù)列{氏}的前〃項和為S，，若的=11，則與3=( )A.66 B.99 C.110 D.143【分析】等差數(shù)列的前〃項和公式結(jié)合等差中項可得.解：Si3=1"為3)=13義;%=13a7=143.故選：D.【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的前〃項和，是基礎(chǔ)題.TOC\o"1-5"\h\z（5分）在矩形A8co中，AB=S,AD=6,若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)尸，那么使448尸與尸的面積都小于4的概率為（ ）A.X B.X C.1 D.A36 12 9 9【分析】本題是一個幾何概型的概率，以為底邊，由448尸與尸的面積都小于4,取得兩個三角形的高即為尸點(diǎn)到AB和AD的距離，得到對應(yīng)區(qū)域，利用面積比求概率.【解答】解：由題意知本題是一個幾何概型的概率，以為底邊，要使面積都小于4,由于SA=^ABXh=4h<4,△AbP--I則點(diǎn)尸到AB的距離h<l,一樣，SA=^-ADXd=3d<4,△ABFrj???尸點(diǎn)到AD的距離要小于風(fēng)，知足條件的P的區(qū)域如圖，3其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部份，它的面積是1義改=殳.33A???使得AAg尸與尸的面積都小于4概率為：p=^—=L8X636故選：A.【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查幾何概型、面積比求概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.5.（5分）從1,3,5三個數(shù)當(dāng)選兩個數(shù)字，從0,2兩個數(shù)當(dāng)選一個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）A.6 B.12 C.18 D.24【分析】由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇，按照分類計數(shù)原理可得【解答】解：由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇，偶奇奇，因此總共A32A21+A32=18種.故選：C.【點(diǎn)評】本題考查了分類計數(shù)原理，關(guān)鍵是如何分類，屬于基礎(chǔ)題6.（5分）將函數(shù)/（%）=sin2x向右平移2L個單位后取得函數(shù)g（x）,則g（x）4具有性質(zhì)（）A.在（Chq）上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)B.最大值為1,圖象關(guān)于直線x衛(wèi)L對稱*4C.在［答,專）上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)D.周期為豆，圖象關(guān)于點(diǎn)0）對稱8【分析】首先求出函數(shù)g（x）的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的g（X）的性質(zhì)求出結(jié)果.【解答】解：函數(shù)/GO=sin2x向右平移個個單位后取得函數(shù)g（x）=sin（2x--2L）=-cos2x?2當(dāng)，=①時，函數(shù)的值為0,4故：B錯誤.函數(shù)g（x）為偶函數(shù).故：。錯誤.當(dāng)工=①時，g（呢）=21盧0,故：D錯誤.故選：A.【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型..（5分）已知數(shù)歹列｛”｝，則/（a2Va3是數(shù)歹列｛aj是遞增數(shù)列的（ ）條件A.充分沒必要要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也沒必要要【分析】由數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列，當(dāng)數(shù)歹列｛aj是遞增數(shù)列，則an+1>an恒成立，即a1<a2<a3數(shù)列【解答】解：數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，例a1/a2/a3/a4是1,2,3,1,數(shù)歹列｛an｝不為遞增數(shù)列，即/＜出＜。3是數(shù)列｛"J是遞增數(shù)列的不充分條件當(dāng)數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則”"]）＞與恒成立，即/＜出＜。3，即是數(shù)列｛"J是遞增數(shù)列的必要條件故/＜出＜。3是數(shù)列｛"J是遞增數(shù)列的必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的概念，特殊與一般的思想方式，屬簡單易錯題..（5分）如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a,b別離為63,36,則輸出的〃=（ ）A.3 B.6 C.9 D.18【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，別離計算出當(dāng)前的。，〃的值，即可取得結(jié)論.【解答】解：由〃=63,b=36,知足則〃=63-36=27,Sa＜b,則〃=36-27=9,由貝I]〃=27-9=18,Sa＞b,則〃=18-9=9,由則退出循環(huán)，輸出“=9.故選：C.【點(diǎn)評】本題考查了算法和程序框圖，主如果對循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和運(yùn)用，和賦值語句的運(yùn)用問題，是基礎(chǔ)題.,（5分）在四邊形中，AC=2,6。=1,則（標(biāo)+立卜（五十證）=（ ）A.5 B.-5 C.-3 D.3【分析】作為選擇題，此題更適合用特例法，讓AC,BD彼此垂直平分，取得菱形ABCD，易患邊長，再進(jìn)一步變換式中向量，用數(shù)量積求解.

【解答】解:【解答】解:不妨用特例法完成,如圖，在菱形中，BD=1,AC=2,則AB=BC=叵,2AAB+DC=2AB，CA+DB=CA+AE=CE，（AB+DCXH-FDB）=2百噸血=4X咚X咚ccie/EBF￡—a ￡-a=5cos/EBF,在△ABC中，求得cosZABC=--1,5???（屈十前），（3十萬R）=-3,故選：C.【點(diǎn)評】此題考查了特例法解選擇題，向量相等，向量加法，數(shù)量積等，難度適中.10.（5分）若長方體ABCD-A1B1C1D1的極點(diǎn)都在體積為288n的球O的球面上，則長方體ABCD-A1B1C1D1的表面積的最大值等于（ ）A.576 B.288 C.144 D.72【分析】設(shè)出長方體的三度，由球的體積求出長方體的對角線的長，取得長方體的表面積的表達(dá)式，然后利用大體不等式求最大值.【解答】解：設(shè)長方體的三度為:【解答】解：設(shè)長方體的三度為:長，〃,b,c,球的直徑就是長方體的對角線的再設(shè)球的半徑為凡則由包兀屋二2招JT，得尺=6.3〃2+02+c2=122=144,長方體的表面積為：2ab+2ac+2bcW2a2+2b2+2c2=288.當(dāng)a=b=c時取得最大值，也就是長方體為正方體時表面積最大.故選：B.【點(diǎn)評】本題考查長方體的外接球的知識，長方體的表面積的最大值的求法，大體不等式的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題.(5分)若是函數(shù)y=/(x)知足/(?)=f(.ax-A)(〃〉0),則y=/(?)TOC\o"1-5"\h\z的一個正周期為( )A.1 B.旦 C.1 D.A4 4 2 2【分析】按照/(ax)=J[a(x-1)],依據(jù)函數(shù)的最小正周期的概念，得出結(jié)4論.【解答】解：函數(shù)y=/(x)知足/(?)=f(.ax--)=f[a(x--)](a>0),4 4則y=/(?)的一個正周期為工，4故選：A.【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的最小正周期的概念，屬于基礎(chǔ)題.(5分)下列四個命題：①勿5(如勿2；②歷③2m<11；@3eln2>^[2,其中真命題的個數(shù)是( )(e為自然對數(shù)的底數(shù))A.1 B.2 C.3 D.4【分析】構(gòu)造函數(shù)/(%)=3，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最值，由/(2)</(如)，可判斷①；由/(五)</(V5r)可判斷②；由/(8)>/屋2),結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷由g(x)=2x-l2,可得g(2)=g(4)=0,可判斷③.【解答】解：構(gòu)造函數(shù)/(%)=應(yīng)，導(dǎo)數(shù)r(])=話三，

當(dāng)0<x<e時，f(x)>0,f(x)遞增；x>e時，f(x)<0,f(x)遞減.可得/(e)取得最大值上.e由2c訴<e,可得/(2)</(時)，即有型_<q］即勿5>福勿2,故①不正確;2V5由4VL可得/(仁)<f(5)，即有上韭〈上三,即方匹，故②正確；Ve VTT Ve設(shè)g(x)=2x-x2,可得g(2)=g(4)=0,在2<x<4時，g(x)<0,即有2sl<11,故③正確；由/(8)>f3,可得角〉1門巳=』,而2_?而2_?=Le22e2e2(4-V2e)>0,則3e山2〉啦,故④正確.故選：C.【點(diǎn)評】本題考查兩個數(shù)的大小比較，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，和導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡運(yùn)算能力，屬于難題.二、填空題(每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上)(5分)sin(-675°)=亞._2_【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值.解：sin(-675°)=sin(-720°+45°)=sin45°=_!L2故答案為：_!.2【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.(5分)在(―三十Q叩勺二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為1024,則展開式常數(shù)項的值等于15【分析】在展開式中，令，=1可得所有項系數(shù)和，可解得〃=5,再由通項公式可得常數(shù)項為15【解答】解：在（2+JP，的二項展開式中，令，=1得所有項的系數(shù)和為4〃=1024,解得〃=5,TOC\o"1-5"\h\z所以（三十五）5的二項展開式中的通項為：7=q（三）5-r（孤）r工 rL5 2X 工5 _=。235rxmlID,令2廠-10=0得廠=4,5 2，常數(shù)項為：C口35-4=15,5故答案為：15.【點(diǎn)評】本題考查了二項式定理.屬中檔題.（5分）滿分為100分的試卷，60分為合格線，若滿分為100分的測試卷，100人參加測試，將這100人的卷面分?jǐn)?shù)依照[24,36）,[36,48）,…，[84,96]分組后繪制的頻率散布直方圖如圖所示，由于及格人數(shù)較少，某老師準(zhǔn)備將每位學(xué)生的卷面得分采用“開方乘以10取整”的方式進(jìn)行換算以提高及格率（實(shí)數(shù)〃的取整等于不超過〃的最大整數(shù)），如：某位學(xué)生卷面49分，則換算成70分作為他的最終考試成績則按照這種方式，這次測試的不及格的人數(shù)變成18.【分析】由題意卷面36分及36分以上的學(xué)生都合格，由頻率分直方圖得卷面36分以下的學(xué)生的頻率為：0.015X12=0.18,由此能求出這次測試的不及格的人數(shù).【解答】解：由題意卷面36分及36分以上的學(xué)生都合格，由頻率分直方圖得卷面36分以下的學(xué)生的頻率為：0.015X12=0.18,所以，依照這種方式，這次測試的不合格的人數(shù)變成：100X0.18=18.故答案為：18.【點(diǎn)評】本題考查合格率求法，考查頻率分直方圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.（5分）已知/（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0<0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(-8,-2) . \【分析】討論”的取值范圍，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，按照函數(shù)極值和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【解答】解：(力當(dāng)〃=0時，/(，)=-3x2+1,令/(x)=o,解得，=±乎，函數(shù)/(%)有兩個零點(diǎn)，舍去.(U)當(dāng)時，f(x)=3ax^+6x=3ax(x+—),令f(x)=0,解得x=0a或-2.a①當(dāng)a<0時，-Z>0,當(dāng)x>-2或x<0,f(x)<0,此時函數(shù)/(x)單調(diào)a a遞減；當(dāng)o<x<-let,f(x)>o,此時函數(shù)/(%)單調(diào)遞增.a???故，=-2是函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)，0是函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn).a???函數(shù)/(工)=依3+3]2-1存在唯一的零點(diǎn)/,且/<0,則函-2)=-8+、aa2a2-1=2-KO,2a即〃2>4得a>2(舍)或a<-2.②當(dāng)〃>0時，-2<0,當(dāng)x<-2或x>0時，f‘(x)>0,此時函數(shù)f(x)a a單調(diào)遞增；當(dāng)-2Vx<0時，f’(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.a???x=-2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).a:f(0)=-1<0,???函數(shù)f(x)在(0,+8)上存在一個零點(diǎn)，此時不知足條件.綜上可得：實(shí)數(shù)”的取值范圍是（-8,-2）.故答案為：（-8,-2）.【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了分類討論方式、推理能力與計算能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6題，共70分.解承諾寫出文字說明、證明進(jìn)程或演算步驟.）17.（12分）已知向量常（-二口三工，1）,n=（V3，2sinz）（1）當(dāng);，，工時，求叵誓竺的值；（2）已知鈍角△ABC中，角B為鈍角，a,b,c別離為角A,B,。的對邊，且c=2bsin（A+B）,若函數(shù)fC$二2,求/（8）的值.【分析】（1）利用平面向量垂直的性質(zhì)，同角三角函數(shù)大體關(guān)系式可求tanx的值，化簡所求即可計算得解.（2）利用正弦定理化簡已知等式，結(jié)合sinCWO,可求同出二工結(jié)合角B為鈍角知：b$L，化簡函數(shù)利用特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解.【解答】解：（1）.向重1n=（-esh,1）, 2sins）,V3cosx=2siiiK?SPtans-.V3coszsinx_73-tanx1+ccie% 2+tan?3"(2)Vc=2Z?sin(A+B),sinC=2sinBsinC?VsinC^O,?,哈1,,?EinB=y?由角B為鈍角知：5斗，.f(x)=4id-n=4cos2i+l'f(B)=4cosy^+l=3-

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量垂直的性質(zhì)，同角三角函數(shù)大體關(guān)系式，正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值的綜合應(yīng)用考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.18.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是不是同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”仍是反對父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計情況如表:合計100同意 不同意合計100男生 5女生 40 d合計(1)求a,d的值，按照以上數(shù)據(jù)，可否有97.5%的把握以為是不是同意父母生“二孩”與性別有關(guān)？請說明理由；(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，此刻從所有學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方式抽取4位學(xué)生進(jìn)行長期跟蹤調(diào)查，記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的散布列及數(shù)學(xué)期望.附：蘆一 門如*)& (a+b)(c-bd)(a+c)(b+d)P(山三0) 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010kQ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】(1)按照題意求出〃、d的值，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；(2)由題意知隨機(jī)變量X服從二項散布，計算對應(yīng)的概率，寫出散布列，計算數(shù)學(xué)期望值.【解答】解：(1)因?yàn)?00人中同意父母生“二孩”占60%,所以〃=60-40=20,d=40-5=35；由列聯(lián)表可得K2=1口口X0x5產(chǎn)=9〉5.024；60X40X25X75 9而P(K2>5.024)=2.5%,所以有97.5%的把握以為是不是同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān);（2）由題意知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為3=呈，1005即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為之,由于整體容量5很大，故X服從二項散布，ki-i口即X?B（4,_1）,PQX=k）=端?/）?（y） ，k=u,1,2,3,4；從而X的散布列為：X0 1 2 3 4PX的數(shù)學(xué)期望為石（X）=4X皇=空.5 5【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的散布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，也考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性查驗(yàn)的應(yīng)用問題，是中檔題.（12分）若數(shù)列｛%｝的前〃項和為凡，首項4>0,且二己：（口6/）（1）求數(shù)列｛練｝的通項公式；（2）若%>0,令+力（尤N*）,設(shè)數(shù)列｛勾｝的前〃項和乙，比較,與之大小.【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項公式.（2）化簡通項公式，通過裂項相消法求解數(shù)列的和即可.【解答】解：⑴??乜〉。且凡*?。禢*）,，2%-%二為L即為（4-1）二口，\二1，口>2時"nk1Y1- ）二%“-J（%+%/）=（冊-冊_1）：'an-an,l=1或%+%"=°，???If或者%二（-1）.【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和的方式，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.(12分)如圖，四棱錐尸-ABC。中，側(cè)面以。為等邊三角形，且平面以。，底面ABC。，處二B0AD二1，^BAD=ZABC=90°.(1)證明：：尸。，AB；(2)點(diǎn)M在棱尸。上，且許二人正，若二面角大小的余弦值為』H,7求實(shí)數(shù)人的值.【分析】(1)取的中點(diǎn)0,連。。，OP,證明尸OLA。，BALPO,推出，平面B4。，取得尸(2)別離以O(shè)C,OD,。尸為，軸，y軸，z軸成立空間直角坐標(biāo)系0-不日求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.【解答】(1)證明：取的中點(diǎn)0,連。。，OP,??△力。為等邊三角形，且。是邊的中點(diǎn)，：,POLAD,??平面底面AB。。，且它們的交線為A。，??尸0,平面AB。。，：.BA±P0,：BALAD,且A。n尸0=0,??AB，平面B4。，：.PD±AB.(2)別離以0C,OD,。尸為，軸，y軸，z軸成立空間直角坐標(biāo)系O-qz,則AS-lf0\B(l7-1,0)fP(0,3艮C(lf0fVPC=(1,幾-近)，OP=(0,。，蟲”?而八云二(九,0,3'A?小二加+而(LQ,月.巧X.),即：HL?！?-.3人)，設(shè)定y,1），且^是平面ABM的一個法向量,**15=（1,0,0）,7二。，L貶R'y???.l人壯尸71口-入］工二0取◎6,1），而平面ABD的一個法向量為加二（°,°,、河》?.3＜^記）二：+。+二 號檸43（入-1），1 7??0＜入＜1,??X=l.~3【點(diǎn)評】本題考查直線與平面垂直的判判定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力已經(jīng)計算能力.2L（12分）已知函數(shù)f&）二InxjaH+1?（1）求/（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有極值，對任意的々,x2，當(dāng)0＜々＜々，存在/使f,［二「）二 ，證明：xi+x2＞2xou叼-勺【分析】（1）/（x）的概念域?yàn)椋?,+8）,求出導(dǎo)函數(shù)，通過①若"WO,②若a＞0,判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）當(dāng)〃＞0時，/G）存在極值.化簡產(chǎn)（XJ=2 1又“叼-盯工1%工2 2 工1+工2 /人乂、兒了2f，（\ ）"——一^^工+行―社），作差設(shè)上二口令晨t）二hrt且導(dǎo)卜＞1），利用導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的大小轉(zhuǎn)化求解即可.解：（1）/（x）的概念域?yàn)椋?,+8）,口『11xH） （x+1）（as-1）TOC\o"1-5"\h\zf（其）二一—;a其十（1一修）二 飛 -V 士5 X

理科①若"WO,則r(x)>0,所以/(X)在(0,+8)上是單調(diào)遞增.②若〃>0,當(dāng)在3,上)時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.'a當(dāng)我(工,g)時，f(x)<0,f3單調(diào)遞減.(2)證明：由(1)當(dāng)〃>0時，f(x)存在極值.TOC\o"1-5"\h\z由 題 設(shè) 得ftuJ-ftKo)1口町-1門町丁(町-k2)+(1-a) 行)*〔叼)=__! -= -口 ：S]-K口 工]一EQ(ins1-Insn)i= F號Q[+/?)+(]—社),:k]一鼠？ 2 1金T7Si+k22si+k2K22(--1)1”叼= [In Kn-Xh Xj X9—+1X1設(shè)上町父22(--1)一叼町設(shè)上町父22(--1)一叼町貝I]Ln- 二Int-工]x2—412(1)"1K1令 則/ "上咯〉gHl ttt+1) t(t+l)2所以g(t)在(1,+8)上是增函數(shù)，所以g(t)>g(1)=0,又0<X]<]2，所以因此f,l與)-f'(3詈)》山■Lu即￡，(3詈)<￥'(5)，J又由f' -ax+(l-a)^f(%)在(°，+°°)上是減函數(shù)," …，工i' -■所以上白>5,即X1+々>2X0.【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的大小和構(gòu)造法，二次導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想已經(jīng)計算能力..(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為：「口+此口4。為參Iy=l+tsin^數(shù)，。日0,□)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以，軸的正半軸為極軸，成立極坐標(biāo)系，圓。的極坐標(biāo)方程為：p=4coS(e-).3(1)求圓。的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)尸(1,1),若直線/與圓。交于A,B兩點(diǎn)，求IB4II尸⑻的值.【分析】(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程