2021高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用第5節(jié)定積分習題理蘇教版選修22

第5節(jié)定積分(答題時間：60分鐘)TOC\o"1-5"\h\zf6(X2+1)dx= 。0fe(2x—-)dx 。Xf2x2-xdx- -12x+1,xe[—2,2] fq 40 、.已知f(x)=\ ,當k= 時，Jf(x)dx=—恒成立。11+x2,xe(2,4] k 3.求曲線y=X2,j=x及y=2x所圍成的平面圖形的面積。.設y=f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)=0有兩個相等的實根，且f/(x)=2x+2。(1)求y=f(x)的表達式；(2)求y=f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成封鎖圖形的面積。(3)若直線x=—t(0<t<1)把y=f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成封鎖圖形的面積二等分，求t的值。.拋物線y=ax2+bx在第一象限內與直線x+y=4相切。此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S。求使S取得最大值的a、b值，并求Smax。.設直線y=a(a<1)與拋物線y=x2所圍成的圖形的面積為S,它們與直線x=1圍成的圖形的面積為T,若U=S+T達到最小值，求a的值；并求此時平面圖形繞x軸一周所得旋轉體的體積。1.2.3.試題答案78解析：原式=（上+不）|6=更+6=783o32eln2解析:11621.2.3.試題答案78解析：原式=（上+不）|6=更+6=783o32eln2解析:1162 -eIn2J 2x. , . 2e 2原式=Je2xdx-Je—dx= |e-elnx|e= e1 1xln21 1In2In2解析：12Ix2-xIdx=J0(x2-x)dx+J1(x-x2)dx+J2(x2-x)dx-1 -1 0 1/1 x2 x2 1 1 x2、I 11一(一x3-)I0+(———x3)I1+(—x3-)I2 3 2-12 3 0 3 21 6.0或一1解析：分2<k<3和-2<k<2兩種情況討論：(1)當2<k<3時J3f(x)dx=J3(1+x2)dx=(x4、/r八、八k3X40)k=(3+9)-(k+丁=整理得，k3+3k+4=0,即k3+k2—k2+3k+4=0.?.(k+1)(k2—k+4)=0:?k=-1又<2<k<3：.k=-1舍去(2)當-2<k<2時J3f(x)dx=J2(2x+1)dx+J3(1+x2)dx=(x2+x)上

k k 2 1k, , 8 40 , , 40=(4+2)-(k2+k)+(3+9)-(2+3)=y-(k2+k)=y

.?.k2+k=0,即k=0或k=-1.綜上所述，k=0或k=-1.解：作出y=x2y=x及y=2x的圖如圖所示，B12.4J01 2解方程組解方程組???所求面積S=J1(2x-x)dx+J2(2x-x2)dx0 1

TOC\o"1-5"\h\z=Jixdx+J2(2x-x2)dx0 11 I“ 1M=—x2|1+(x2一—x3)|22 0 3 1_76答：此平面圖形的面積為7。6.解：(1)設f(x)=ax2+bx+c,則f'(x)=2ax+b,又已知『(乂)=2乂+2??a^—1,b2。.?.f(x)=x?+2x+c又方程f(x)=0有兩個相等實根，.判別式A=4—4c=0,即c=1。故f(x)=xz+2x+1。1 、| 1(2)1 、| 1(2)依題意，得所求面積=J0(x2+2x+1)dx=(-x3+x2+x)I0=--1 3 -13(3)依題意，有J-1(x2+2x+1)dx=J0-1 -11 X11 X1.(_x3+x2+x)I-1=(—x3+x2+x)|03 -13 一(x2+2x+1)dx,1 1 1-3t3+t2—t+3=3t3-t2+t,2t3一6t2+6t—1=0,TOC\o"1-5"\h\z..2(t—1)3=-1,于是t=1 =oV2b-.解：依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標別離為x=0,x=—-,所1 2a~一，1,以S=Ja(ax2+bx)dx= b3(1)0 6a2又直線x+y=4與拋物線y=ax2+bx相切，即它們有唯一的公共點，fx+y=4由方程組｛ 得ax2+(b+1)x—4=0,其判別式必需為0,即(b+1)2+Iy=ax2+bx16a=0o1 128b3 128b2(3-b)于是a=- (b+1)2,代入(1)式得：S(b)=----—(b>0),S(b)=-----；16 6(b+1)4 3(b+1)5令S,(b)=0：在b>0時得唯一公共點b=3,且當0<b<3時，S,(b)>0；當b>3時，S'(b)<0。故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=—1,b=3時，c 9S取得最大值，且S =-。max2.解：(1)當0<a<1時，如圖1((2)當a<0時，如圖217圖1,Iy=ax由r 得交點(0,0)和(a,a2)a3 a3 a3a3 a3 a3—————=——2 3 6S=Ja(ax-x2)dx=(ax-——)i x3 ax2i x3 ax2T—J(x2—ax)dx—( a 3 21 a a3 a3 1 a a3)1=( )—( )= 1 a'3 2 3 2 3 2 6U'=a2——.令U'=0,得a=-^—.2 2.J2.當a￡(0,半)時U<0當a￡(=,1)時U>0故當”9時,。的最小值為冷y-ax^、-十得交點(0,0)和(a,a2)、y-x2TOC\o"1-5"\h\zS-j0(ax-x2)dx-(竺^-—)a 2 3_a3a3_a3-1-2 3 6T-j