高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的概念》單元教學(xué)設(shè)計(jì)

三角函數(shù)的概念單元教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容三角函數(shù)的概念；三角函數(shù)的基本性質(zhì)：三角函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)：本單元建議用3課時(shí)：第一課時(shí)，三角函數(shù)的概念；第二課時(shí)，三角函數(shù)的基本性質(zhì)；第三課時(shí)，概念和性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．2.內(nèi)容解析三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)，是解決實(shí)際問題的重要工具，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理、天文等其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)．傳統(tǒng)上，人們習(xí)慣把三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣，利用象限角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比定義三角函數(shù)．由于這一定義方法出自歐拉，因此更顯出它的權(quán)威性．然而，銳角三角函數(shù)的研究對(duì)象是三角形，是三角形中邊與角的定量關(guān)系（三角比）的反映；而任意角三角函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是周期變化現(xiàn)象，是“周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)刻畫．如果以銳角三角函數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行推廣，那么三角函數(shù)概念發(fā)生發(fā)展過程的完整性將受到破壞．因此，整體上，任意角三角函數(shù)知識(shí)體系的建立，應(yīng)與其他基本初等函數(shù)類似，強(qiáng)調(diào)以周期變化現(xiàn)象為背景，構(gòu)建從抽象研究對(duì)象（即定義三角函數(shù)概念）到研究它的圖象、性質(zhì)再到實(shí)際應(yīng)用的過程，與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系可以在給出任意角三角函數(shù)定義后再進(jìn)行考察．一般地，概念的形成應(yīng)按“事實(shí)—概念”的路徑，即學(xué)生要經(jīng)歷“背景—研究對(duì)象—對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)—定義”的過程．本單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在經(jīng)歷這個(gè)過程而形成三角函數(shù)概念的同時(shí)，“順便”就可得到值域、函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等性質(zhì)．根據(jù)上述分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)是：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式一，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．其中，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義是重中之重．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）了解三角函數(shù)的背景，體會(huì)三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系；（2）經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；（3）掌握三角函數(shù)值的符號(hào)；（4）掌握誘導(dǎo)公式一，初步體會(huì)三角函數(shù)的周期性；（5）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，體會(huì)三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系性，通過運(yùn)用基本關(guān)系式進(jìn)行三角恒等變換，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）學(xué)生能像了解線性函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景那樣，知道三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中“周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)工具，能體會(huì)到勻速圓周運(yùn)動(dòng)在“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象中的代表性．（2）學(xué)生在經(jīng)歷“周期現(xiàn)象—圓周運(yùn)動(dòng)—單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)”的抽象活動(dòng)中，明確研究的問題（單位圓⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況），使研究對(duì)象簡(jiǎn)單化、本質(zhì)化；學(xué)生能分析單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)中涉及的量及其相互關(guān)系，獲得對(duì)應(yīng)關(guān)系并抽象出三角函數(shù)概念；能根據(jù)定義求給定角的三角函數(shù)值．（3）學(xué)生能根據(jù)定義得出三角函數(shù)在各象限取值的符號(hào)規(guī)律．（4）學(xué)生能根據(jù)定義，結(jié)合終邊相同的角的表示，得出誘導(dǎo)公式一，并能據(jù)此描述三角函數(shù)周而復(fù)始的取值規(guī)律，求某些角（特殊角）的三角函數(shù)值．（5）學(xué)生能利用定義以及單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并提出“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”，并能用于三角恒等變換．三、教學(xué)問題診斷分析三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，其認(rèn)知基礎(chǔ)是函數(shù)的一般觀念以及對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，另外還有圓的有關(guān)知識(shí)．這些認(rèn)知準(zhǔn)備對(duì)于分析“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象中涉及的量及其關(guān)系、認(rèn)識(shí)其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系并給出定義等都能起到思路引領(lǐng)作用．然而，前面學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，涉及的量（常量與變量）較少，解析式都有明確的運(yùn)算含義，而三角函數(shù)中，影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的因素較多，對(duì)應(yīng)關(guān)系不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是“α與x，y直接對(duì)應(yīng)”，無須計(jì)算．雖然α，x，y都是實(shí)數(shù)，但實(shí)際上是“幾何元素間的對(duì)應(yīng)”．所以，三角函數(shù)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)距離較大，由此產(chǎn)生第一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，包括影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的因素分析，以及三角函數(shù)的定義方式的理解．為了破除學(xué)生在“對(duì)應(yīng)關(guān)系”認(rèn)識(shí)上的定勢(shì)，幫助他們搞清三角函數(shù)的“三要素”，應(yīng)該根據(jù)一般函數(shù)概念引導(dǎo)下的“下位學(xué)習(xí)”的特點(diǎn)，先讓學(xué)生明確“給定一個(gè)角，如何得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”的操作過程，然后再下定義，這樣不僅使三角函數(shù)定義的引入更自然，而且由三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的獨(dú)特性，可以使學(xué)生再一次認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)．具體的，可讓學(xué)生先完成“給定一個(gè)特殊角，求它的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)”的任務(wù)．例如“當(dāng)時(shí)，找出相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)”并讓學(xué)生明確點(diǎn)P的坐標(biāo)的唯一確定性，再借助信息技術(shù)，讓學(xué)生觀察任意給定一個(gè)角α∈R，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是否唯一，從而為理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系奠定基礎(chǔ)．利用信息技術(shù)，可以很容易地建立單位圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、角、弧之間的聯(lián)系，并且可以在角的變化過程中進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性．所以，信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì)．對(duì)于定義“設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα”，可以通過如下幾點(diǎn)幫助學(xué)生理解：第一，α是一個(gè)任意角，同時(shí)也是一個(gè)實(shí)數(shù)（弧度數(shù)），所以“設(shè)α是一個(gè)任意角”的意義實(shí)際上是“對(duì)于R中的任意一個(gè)數(shù)”；第二，“它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)”，實(shí)際上給出了兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即（1）實(shí)數(shù)α（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y，（2）實(shí)數(shù)α（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x，其中y，x∈[－1，1]．因?yàn)閷?duì)于R中的任意一個(gè)數(shù)α，它的終邊唯一確定，所以交點(diǎn)P(x，y)也唯一確定，也就是縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x都由α唯一確定，所以對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）（2）分別確定了一個(gè)函數(shù)，這是理解三角函數(shù)定義的關(guān)鍵．第三，引進(jìn)符號(hào)sinα，cosα分別表示“α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)”、“α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”，于是：對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)α，按對(duì)應(yīng)關(guān)系（1），在集合B={z|－1≤z≤1}中都有唯一確定的數(shù)sinα與之對(duì)應(yīng)；按對(duì)應(yīng)關(guān)系（2），在集合B中都有唯一確定的數(shù)cosα與之對(duì)應(yīng)．所以，sinα，cosα都是一個(gè)由α所唯一確定的實(shí)數(shù)．這里，對(duì)符號(hào)sinα，cosα和tanα的認(rèn)識(shí)是第二個(gè)難點(diǎn)．可以通過類比引進(jìn)符號(hào)logab表示ax=b中的x，說明引進(jìn)這些符號(hào)的意義．本單元的第三個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)是對(duì)三角函數(shù)內(nèi)在聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)．出現(xiàn)這個(gè)難點(diǎn)的主要原因在于三角函數(shù)聯(lián)系方式的特殊性，學(xué)生在已有的基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)中沒有這種經(jīng)驗(yàn)，以及學(xué)生從聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題的經(jīng)驗(yàn)不足，對(duì)“如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)”的認(rèn)識(shí)不充分等而導(dǎo)致的發(fā)現(xiàn)和提出性質(zhì)的能力不強(qiáng)．為此，教學(xué)中應(yīng)在思想方法上加強(qiáng)引導(dǎo)。例如，可以通過問題：“對(duì)于給定的角α，點(diǎn)P（cosα，sinα）是α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，而tanα則是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比，因此這三個(gè)函數(shù)之間一定有內(nèi)在聯(lián)系．你能從定義出發(fā)，研究一下它們有怎樣的聯(lián)系嗎？”引導(dǎo)學(xué)生探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系。四、教學(xué)支持條件分析為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨角（圓心角）的變化而變化的直觀感受，需要利用信息技術(shù)工具建立任意角、角的終邊與單位圓的交點(diǎn)、角的旋轉(zhuǎn)量、交點(diǎn)坐標(biāo)等之間的關(guān)聯(lián)．教學(xué)中，可以動(dòng)態(tài)改變角α的終邊OP(P為終邊與單位圓的交點(diǎn))的位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察OP位置的變化所引起的點(diǎn)P坐標(biāo)的變化規(guī)律，感受三角函數(shù)的本質(zhì)，同時(shí)感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值，以及各三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況．五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)5.2.1三角函數(shù)的概念（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容三角函數(shù)的概念．（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義．難點(diǎn)：對(duì)三角函數(shù)概念的抽象過程及定義的理解．（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明：三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，應(yīng)在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下，按“概念形成”的方式展開，即要安排“情境—共性歸納—定義—辨析—簡(jiǎn)單應(yīng)用”的過程．由于周期現(xiàn)象的復(fù)雜性，還需要通過適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，把問題進(jìn)行簡(jiǎn)化進(jìn)而歸結(jié)到對(duì)單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究．1．創(chuàng)設(shè)情境，明確背景引導(dǎo)語：我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中存在著各種各樣的“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象，圓周運(yùn)動(dòng)是這類現(xiàn)象的代表．如圖5.2-1，⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)．在把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角α的大小變化刻畫點(diǎn)P的位置變化．又由于根據(jù)弧度制的定義，角α的大小與⊙O的半徑無關(guān)，因此，不失一般性，我們可以先研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)在的任務(wù)是：如圖5.2-1，單位圓⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況．

問題1：根據(jù)已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為我們可以按怎樣的路徑研究上述問題？師生活動(dòng)：學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行交流，通過討論后得出研究路徑是明確研究背景—對(duì)應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)分析—下定義—研究性質(zhì)．設(shè)計(jì)意圖：明確研究的內(nèi)容、過程和基本方法，為具體研究指明方向．2．分析具體事例，歸納共同特征引導(dǎo)語：下面我們利用直角坐標(biāo)系來研究上述問題．如圖5.2-2，以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，終止位置為OP．

問題2：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？它們是唯一確定的嗎？一般地，任意給定一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？（4）利用信息技術(shù)，任意畫一個(gè)角α，觀察它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能用函數(shù)的語言刻畫這種對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？（對(duì)于R中的任意一個(gè)角α，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)為P(x，y)，無論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的．這里有兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：f：實(shí)數(shù)α（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y，g：實(shí)數(shù)α（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x．根據(jù)上述分析，f：R→[－1，1]和g：R→[－1，1]都是從集合R到集合[－1，1]的函數(shù)．）設(shè)計(jì)意圖：以函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為定向，從特殊到一般，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角α（弧度）的函數(shù)，為給出三角函數(shù)的定義做好準(zhǔn)備．3．任意角三角函數(shù)的定義與辨析問題3：請(qǐng)同學(xué)們先閱讀教科書第178~179頁(yè)，再回答如下問題：（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系各是什么？（2）符號(hào)sinα，cosα和tanα分別表示什么？在你以往的學(xué)習(xí)中有類似的引入特定符號(hào)表示一種量的經(jīng)歷嗎？（3）為什么說當(dāng)時(shí)，tanα的值是唯一確定的？（4）為什么說正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域是R？而正切函數(shù)的定義域是？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀課文，再舉手回答上述問題．設(shè)計(jì)意圖：在問題引導(dǎo)下，通過閱讀教科書、辨析關(guān)鍵詞等，使學(xué)生明確三角函數(shù)的“三要素”；引導(dǎo)學(xué)生類比已有知識(shí)（引入符號(hào)表示中的x），理解三角函數(shù)符號(hào)的意義．4．任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系問題5：在初中我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．設(shè)，把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角x的正弦記為y1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為z1．y1與z1相等嗎？對(duì)于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再將它放入直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，AC在x軸的正半軸上，得出y1=z1的結(jié)論．設(shè)計(jì)意圖：建立銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，使學(xué)生體會(huì)兩個(gè)定義的和諧性．5．任意角三角函數(shù)概念的理解例1利用三角函數(shù)的定義求的正弦、余弦和正切值．師生活動(dòng)：先由學(xué)生發(fā)言，再總結(jié)出從定義出發(fā)求三角函數(shù)值的基本步驟，并得出答案．設(shè)計(jì)意圖：通過概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進(jìn)一步理解定義的內(nèi)涵．練習(xí)：在例1之后進(jìn)行課堂練習(xí)：（1）利用三角函數(shù)定義，求π，的三個(gè)三角函數(shù)值．（2）說出幾個(gè)使cosα＝1的α的值．師生活動(dòng)：由學(xué)生逐題給出答案，并要求學(xué)生說出解答步驟，最后可以總結(jié)為“畫終邊，找交點(diǎn)坐標(biāo)，算比值（對(duì)正切函數(shù)）”．設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)定義的理解情況．例2如圖5.2-4，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r．求證：師生活動(dòng)：給出問題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題，再讓學(xué)生給出證明：（1）你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示出sinα，cosα嗎？圖5.2-4（2）在你所作出的圖形中，各表示什么，你能找到它們與任意角α的三角函數(shù)的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生找到△OMP，△OM0P0，并利用它們的相似關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到證明．追問：例2實(shí)際上給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價(jià)的．你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言敘述一下這種定義嗎？師生活動(dòng)：可以由幾個(gè)學(xué)生分別給出定義的表述，在交流的基礎(chǔ)上得出準(zhǔn)確的定義．設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解．練習(xí)：在例2之后進(jìn)行課堂練習(xí)：（3）已知點(diǎn)P在半徑為2的圓上按順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s．求2s時(shí)點(diǎn)P所在的位置．師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立完成后，讓學(xué)生代表展示作業(yè)．設(shè)計(jì)意圖：三角函數(shù)是刻畫勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，通過練習(xí)使學(xué)生從另一個(gè)角度理解三角函數(shù)的定義．6．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（一）（1）利用三角函數(shù)定義，求的三個(gè)三角函數(shù)值．（2）已知角θ的終邊過點(diǎn)P(－12，5)，求角θ的三個(gè)三角函數(shù)值．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解情況．第二課時(shí)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容三角函數(shù)值的符號(hào)；誘導(dǎo)公式一；同角基本關(guān)系式．（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（1）掌握三角函數(shù)值的符號(hào)；（2）掌握誘導(dǎo)公式一，初步體會(huì)三角函數(shù)的周期性；（3）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1，，體會(huì)三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系性．（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式一和同角基本關(guān)系式．難點(diǎn)：通過誘導(dǎo)公式一和同角基本關(guān)系式，體會(huì)三角函數(shù)的周期性與三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系性．（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)引導(dǎo)語：前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，根據(jù)已有的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為接下來應(yīng)研究三角函數(shù)的哪些問題？師生活動(dòng)：先由學(xué)生發(fā)言．一般而言，學(xué)生會(huì)直接把問題指向“圖象與性質(zhì)”．教師可以在肯定學(xué)生想法的基礎(chǔ)上，指出三角函數(shù)的特殊性：因?yàn)閱挝粓A上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值就是三角函數(shù)，而單位圓具有對(duì)稱性，這種對(duì)稱性反映到三角函數(shù)的取值規(guī)律上，就會(huì)呈現(xiàn)出比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等更豐富的性質(zhì)．例如，我們可以從定義出發(fā)，結(jié)合單位圓的性質(zhì)直接得到一些三角函數(shù)的性質(zhì)．設(shè)計(jì)意圖：明確研究的問題和思考方向．一般地，學(xué)生不習(xí)慣于借助單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的性質(zhì)，所以需要教師的講解和引導(dǎo)．問題1：由三角函數(shù)的定義以及任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)所在的象限，你能發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的值的符號(hào)有什么規(guī)律嗎？如何用集合語言表示這種規(guī)律？師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立完成．用集合語言表示的結(jié)果是：當(dāng)α∈{β|2kπ＜β＜2kπ+π，k∈Z}時(shí)，sinα＞0；當(dāng)α∈{β|2kπ+π＜β＜2kπ+2π，k∈Z}時(shí)，sinα＜0；當(dāng)α∈{β|β=kπ，k∈Z}時(shí)，sinα=0．其他兩個(gè)函數(shù)也有類似結(jié)果．設(shè)計(jì)意圖：在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律不難，可由學(xué)生獨(dú)立完成．用集合語言表示，可以復(fù)習(xí)象限角、終邊相同的角的集合表示等．例3求證：角θ為第三象限角的充要條件是

師生活動(dòng)：先引導(dǎo)學(xué)生明確問題的條件和結(jié)論，再由學(xué)生獨(dú)立完成證明．設(shè)計(jì)意圖：通過聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力．問題2：聯(lián)系三角函數(shù)的定義、象限角以及終邊相同的角的表示，你有發(fā)現(xiàn)什么？師生活動(dòng)：學(xué)生在問題引導(dǎo)下自主探究，發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式一．追問：（1）觀察誘導(dǎo)公式一，對(duì)三角函數(shù)的取值規(guī)律你有什么進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)？它反映了圓的什么特性？（2）你認(rèn)為誘導(dǎo)公式一有什么作用？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式一及其體現(xiàn)的三角函數(shù)周期性取值的規(guī)律，這是“單位圓上的點(diǎn)繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來位置”的特征的反映．利用公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0~2π角的三角函數(shù)值．同時(shí)，由公式一可以發(fā)現(xiàn)，只要討論清楚三角函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的性質(zhì)，那么三角函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)就清楚了．在此過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題，發(fā)展直觀想象等素養(yǎng)．問題3：誘導(dǎo)公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．因?yàn)槿齻€(gè)三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系．那么，終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么關(guān)系呢？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生討論，利用公式一，可以把問題轉(zhuǎn)化為“同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)之間的關(guān)系”．然后讓學(xué)生自主探究，得出“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”．設(shè)計(jì)意圖：“終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)的值都由單位圓上同一點(diǎn)的坐標(biāo)所唯一確定，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系”是發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵思想；由“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”引出“終邊相同的角的不同三角函數(shù)之間有什么關(guān)系”的問題，再轉(zhuǎn)化為“同一個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)之間關(guān)系”的研究，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力．借助單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，由三角函數(shù)定義可以直接得出“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”．問題4：總結(jié)上述研究過程，你能說說我們是從哪些角度入手發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)性質(zhì)的？你認(rèn)為還可以從哪些方面入手研究三角函數(shù)的性質(zhì)？師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論，再由教師幫助學(xué)生總結(jié)．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生歸納三角函數(shù)性質(zhì)的表現(xiàn)方式，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)的眼光”．借助單位圓，從三角函數(shù)的定義出發(fā)，我們從三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律、終邊相同的角的三角函數(shù)的關(guān)系入手發(fā)現(xiàn)了誘導(dǎo)公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．自然而然地，我們還可以研究“終邊不同的角的三角函數(shù)有什么關(guān)系”，結(jié)合圓的對(duì)稱性，容易把研究方向指向“終邊具有軸對(duì)稱關(guān)系”“終邊具有中心對(duì)稱關(guān)系”或“終邊具有某種特殊對(duì)稱關(guān)系（如關(guān)于直線y=x對(duì)稱）”的角的三角函數(shù)的關(guān)系，這就是下一單元要研究的誘導(dǎo)公式二~五．這是三角函數(shù)“與眾不同”的性質(zhì)．第三課時(shí)5.2.3三角函數(shù)概念和基本性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容三角函數(shù)概念和基本性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)通過對(duì)三角函數(shù)概念和基本性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)概念和基本性質(zhì)的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：運(yùn)用基本關(guān)系式進(jìn)行三角恒等變換．難點(diǎn)：靈活運(yùn)用三角函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行三角恒等變換．（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)引導(dǎo)語：前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，由定義，結(jié)合單位圓的性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)的一些“與眾不同”的性質(zhì)．下面我們利用這些知識(shí)解決一些問題．1．例題例4確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后用計(jì)算器驗(yàn)證：例5求下列三角函數(shù)值：例6例7求證：師生活動(dòng)：以上都是教科書中的例題，難度不大，可以由學(xué)生獨(dú)立完成，并作課堂展示．教師可以鼓勵(lì)學(xué)生采用不同的變形方法得出答案．在用計(jì)算器驗(yàn)證時(shí)，提醒學(xué)生注意角度制的設(shè)置．對(duì)于例6，在學(xué)生給出答案后，應(yīng)該要求學(xué)生總結(jié)解題步驟，明確這類題目應(yīng)該先根據(jù)條件判斷角所在的象限，確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用基本關(guān)系求解．在此基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生歸納用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值的問題類型．例7實(shí)際上是sin2x+cos2x=1的變形，采用分析法、綜合法都可以證明，還可以從不同方向進(jìn)行推導(dǎo)．可以要求學(xué)生至少給出兩種證明方法．設(shè)計(jì)意圖：提高對(duì)三角函數(shù)基本性質(zhì)的理解水平，通過靈活運(yùn)用性質(zhì)的訓(xùn)練，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．課堂練習(xí)（1）教科書第183頁(yè)練習(xí)第1，2題；（2）教科書第185頁(yè)練習(xí)第1，2，4（1）（2）題．師生活動(dòng)：上述題目都比較簡(jiǎn)單，學(xué)生解答完成后，公布答案自我檢查即可．設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)定義的理解情況，通過應(yīng)用三角函數(shù)的基本性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題，進(jìn)一步理解這些性質(zhì)．3．布置作業(yè)教科書習(xí)題5.2第1，2，4，7，8，13，14，18題．4．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（二）（1）已知，求α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并求tanα的值．設(shè)計(jì)意圖：考查三角函數(shù)的定義．（2）求下列三角函數(shù)的值：設(shè)計(jì)意圖：考查誘導(dǎo)公式一，特殊角的三角函數(shù)值．（3）角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是Q，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是，說出幾個(gè)滿足條件的角α．設(shè)計(jì)意圖：考查正弦函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式一．（4）點(diǎn)P（3a，4a）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？設(shè)計(jì)意圖：考查三角函數(shù)的定義，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性．（5）對(duì)于①sinθ＞0，②sinθ＜0，③cosθ＞0，④cosθ＜0，⑤tanθ＞0與⑥tanθ＜0，選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式序號(hào)填空：角θ為第二象限角的充要條件是；角θ為第三象限角的充要條件是