概率和概率分布

概率和概率分布第1頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五第五章概率和概率分布§1概率的問題§2離散變量的概率分布

§3連續(xù)變量的概率分布

§4抽樣分布第2頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五學(xué)習(xí)目標1. 了解隨機事件的概念、事件的關(guān)系和運算2. 理解概率的定義，掌握概率的性質(zhì)和運算法則理解隨機變量及其分布，計算各種分布的概率第3頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1概率的問題§1.1事件

§1.2概率§1.3概率分布

第4頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五隨機事件的幾個基本概念隨機事件的幾個基本概念第5頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五試驗在相同條件下，對事物或現(xiàn)象所進行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)試驗具有以下特點可以在相同的條件下重復(fù)進行每次試驗的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是確切知道的在試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果第6頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五事件的概念事件：隨機試驗的每一個可能結(jié)果(任何樣本點集合)例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)為3隨機事件：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)必然事件：每次試驗一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于7不可能事件：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于6第7頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五事件與樣本空間基本事件一個不可能再分的隨機事件例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)樣本空間一個試驗中所有基本事件的集合，用表示例如：在擲枚骰子的試驗中，{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗中，{正面，反面}第8頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.1事件§1.1.2事件的關(guān)系事件的包含；事件的互斥；事件的并（或和）；事件的交（或積）；事件的差；事件的逆。

第9頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的關(guān)系和運算

（事件的包含）ABB

A

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，記作或AB或B

A第10頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.1.2

事件的關(guān)系和運算

（事件的并或和）

事件A和事件B中至少有一個發(fā)生的事件稱為事件A與事件B

的并。它是由屬于事件A或事件B的所有的樣本點組成的集合，記為A∪B或A+BBAA∪B第11頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.1.2

事件的關(guān)系和運算

（事件的交或積）ABA∩B

事件A與事件B同時發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點所組成的集合，記為B∩A

或AB第12頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的關(guān)系和運算

（互斥事件）ABA

與B互不相容

事件A與事件B中，若有一個發(fā)生，另一個必定不發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥的，否則稱兩個事件是相容的。顯然，事件A與事件B互斥的充分必要條件是事件A與事件B沒有公共的樣本點第13頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的關(guān)系和運算

（事件的逆）A

A一個事件B與事件A互斥，且它與事件A的并是整個樣本空間，則稱事件B是事件A的逆事件。它是由樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點所組成的集合，記為A第14頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的關(guān)系和運算

（事件的差）A-BAB事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的差，它是由屬于事件A而不屬于事件B的那些樣本點構(gòu)成的集合，記為A-B

第15頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.1.3事件的性質(zhì)事件的性質(zhì)設(shè)A、B、C為三個事件，則有交換律：A∪B=B∪A

A∩B=B∩A結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)

=(AB)C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)第16頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2概率§1.2.1事件的概率

事件A的概率是對事件A出現(xiàn)的可能性大小的一種度量，數(shù)學(xué)表示為，概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)有：非負性對任意事件A，有0P1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)第17頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五事件的概率事件A的概率是對事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計定義和主觀概率定義第18頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗的次數(shù)正面/試驗次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125第19頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定義

如果某一隨機試驗的結(jié)果有限，而且各個結(jié)果在每次試驗中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個數(shù)n的比值，記為第20頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定義

（實例）【例】某鋼鐵公司所屬三個工廠的職工人數(shù)如下表。從該公司中隨機抽取1人，問：（1）該職工為男性的概率（2）該職工為煉鋼廠職工的概率某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)工廠男職工女職工合計煉鋼廠煉鐵廠軋鋼廠4000320090018001600600620048001500合計8500400012500第21頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定義

（計算結(jié)果）解：(1)用A表示“抽中的職工為男性”這一事件；A為全公司男職工的集合；基本空間為全公司職工的集合。則

(2)用B表示“抽中的職工為煉鋼廠職工”；B為煉鋼廠全體職工的集合；基本空間為全體職工的集合。則第22頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的統(tǒng)計定義在相同條件下進行n次隨機試驗，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動，且波動的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為第23頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的統(tǒng)計定義

（實例）【例】：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標為1000度。按照上個月的用電記錄，30天中有12天的用電量超過規(guī)定指標，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電措施，試問該廠第一天用電量超過指標的概率。

解：上個月30天的記錄可以看作是重復(fù)進行了30次試驗，試驗A表示用電超過指標出現(xiàn)了12次。根據(jù)概率的統(tǒng)計定義有第24頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的主觀定義對一些無法重復(fù)的試驗，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗人為確定概率是一個決策者對某事件是否發(fā)生，根據(jù)個人掌握的信息對該事件發(fā)生可能性的判斷例如，我認為2012年的中國股市是一個盤整年概率的主觀定義叫主觀概率，也叫個人概率。第25頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五

法則一：加法的特殊定理兩個互斥事件之和的概率，等于兩個事件概率之和。設(shè)A和B為兩個互斥事件，則

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)特別的，若事件A與B互斥，并且事件A與B的和組成了整個樣本空間，此時，事件A與B互為逆事件。有，個式子還可以寫成或?qū)懽鳎?。上式也叫概率的補償定理。

§1.2.3概率的加法第26頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法

（實例）【例】根據(jù)鋼鐵公司職工的例子，隨機抽取一名職工，計算該職工為煉鋼廠或軋鋼廠職工的概率解：用A表示“抽中的為煉鋼廠職工”這一事件；B表示“抽中的為軋鋼廠職工”這一事件。隨機抽取一人為煉鋼廠或軋鋼廠職工的事件為互斥事件A與B的和，其發(fā)生的概率為第27頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法法則二：加法的一般定理有的事件并不是互斥的，有可能同時發(fā)生，存在交集。要計算兩個事件之和的概率，要減去一次交集的概率，否則這部分就包括了兩次，重復(fù)多算了一次。對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)對于兩個互斥事件而言，有P(A∩B)=P(Φ)=0加法的特殊定理是一般定理的一個特例。第28頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法

（實例）【例】設(shè)某地有甲、乙兩種報紙，該地成年人中有20%讀甲報紙，16%讀乙報紙，8%兩種報紙都讀。問成年人中有百分之幾至少讀一種報紙。解：設(shè)A＝{讀甲報紙}，B＝{讀乙報紙}，C＝{至少讀一種報紙}。則

P(C

)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=0.2

+

0.16

-

0.08

=

0.28第29頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法--條件概率1.條件概率在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱這種概率為事件A的條件概率，記為若，事件A的條件概率（事件B發(fā)生的條件下），與事件A本身的概率相等，意味著事件B的信息對于事件A沒有影響，說明這兩個事件是獨立的。第30頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五條件概率的圖示事件AB及其概率P(AB)事件B及其概率P(B)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生第31頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法2.乘法的特殊定理兩個獨立事件之積（同時發(fā)生）的概率，等于兩個事件的概率之積。即若事件A與B獨立，有P(AB)=P(A)·P(B)推廣到n個獨立事件，有

P(A1A2

…An)=P(A1)P(A2)…P(An)第32頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法

（乘法的特殊定理實例）【例】某工人同時看管三臺機床，每單位時間(如30分鐘)內(nèi)機床不需要看管的概率：甲機床為0.9，乙機床為0.8，丙機床為0.85。若機床是自動且獨立地工作，求（1）在30分鐘內(nèi)三臺機床都不需要看管的概率（2）在30分鐘內(nèi)甲、乙機床不需要看管，且丙機床需要看管的概率解：設(shè)A1，A2，A3為甲、乙、丙三臺機床不需要看管的事件，A3

為丙機床需要看管的事件，依題意有

(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.80.85=0.612

(2)

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108第33頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法3.乘法的一般定理更多的時候，事件并不是獨立的，概率的計算是有條件的。一般意義上，兩個事件之積（同時發(fā)生）的概率，為：上式也可以寫作求兩個以上事件之積（同時發(fā)生）的概率與之相似。以三個事件A、B、C為例。事件A、B、C同時發(fā)生的概率為：第34頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法

（實例）【例】設(shè)有1000中產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？解：設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率為P(A1A2)

第35頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和貝葉斯公式1.全概公式設(shè)n個事件兩兩互斥，并有，說明n個事件兩兩互斥沒有交集，并且組成了整個樣本空間，滿足這兩個條件的事件組稱為一個完備事件組。若，則對任意事件B，有：我們把事件看作是引起事件B發(fā)生的所有可能原因，事件B能且只能在原有之一發(fā)生的條件下發(fā)生，求事件B

的概率就是上面的全概公式

第36頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五全概公式

（實例）【例】某車間用甲、乙、丙三臺機床進行生產(chǎn)，各種機床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一個是次品的概率。解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機床”，A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機床”，A3表示“產(chǎn)品來自丙臺機床”，B表示“取到次品”。根據(jù)全概公式有第37頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和貝葉斯公式2.貝葉斯公式貝葉斯公式與全概率公式要解決的問題正好相反。它是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因（或事件是在什么條件下發(fā)生的）。貝葉斯公式也稱作逆概公式。設(shè)n個事件兩兩互斥，并有

就是貝葉斯公式（逆概公式），它是基于事件B已發(fā)生的結(jié)果，推導(dǎo)事件B是在情況下發(fā)生的概率。第38頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和貝葉斯公式進一步有：

已知事件B發(fā)生了，未知（想去知道）的是事件B是在什么情況下發(fā)生，這可以通過計算逆概率來做出判斷。

第39頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五貝葉斯公式

（實例）【例】某車間用甲、乙、丙三臺機床進行生產(chǎn)，各種機床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，如果取到的一件產(chǎn)品是次品，分別求這一產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機床”，A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機床”，A3表示“產(chǎn)品來自丙臺機床”，B表示“取到次品”。根據(jù)貝葉斯公式有：第40頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§1.3概率分布概率分布指的是隨機變量的概率分布。對離散變量，列出其所有可能的取值以及隨機變量取這些值的概率，便構(gòu)成了離散變量的概率分布。對連續(xù)變量，可計算某段（區(qū)間）取值的概率（或概率密度），相應(yīng)地便構(gòu)成了連續(xù)變量的概率分布。第41頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五隨機變量的概念一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用X、Y、Z來表示例如:投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量第42頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五離散型隨機變量隨機變量X取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1第43頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五連續(xù)型隨機變量隨機變量X取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點連續(xù)型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X00

X100X0第44頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2離散變量的概率分布首先看離散型隨機變量的概率分布。為得到離散型隨機變量X的概率分布，通常需要列出X的所有可能取值，以及X取這些值的概率。用下面的表格來表示：

第45頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2離散變量的概率分布列出離散型隨機變量X的所有可能取值列出隨機變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)pi00第46頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五離散型隨機變量的概率分布

（實例）【例】如規(guī)定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機變量，其概率分布為X=xi0123P(X=xi)pi0.050.100.550.30第47頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望在離散型隨機變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機變量取值的集中程度計算公式為第48頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五離散型隨機變量的方差隨機變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為V(X)描述離散型隨機變量取值的分散程度計算公式為第49頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五離散型隨機變量的方差

（實例）【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)是個離散型隨機變量，其概率分布為如下。計算數(shù)學(xué)期望和方差X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6解：數(shù)學(xué)期望為：方差為：第50頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2離散變量的概率分布幾種主要的離散變量概率分布§2.1均勻分布§2.20-1分布

§2.3二項分布§2.4泊松分布

第51頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.1均勻分布當(dāng)離散型隨機變量X的所有可能取值的概率相同，即都相同，則X服從均勻分布。設(shè)所有可能的取值個數(shù)為n，則對于服從均勻分布的離散型隨機變量X，有：第52頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五均勻分布實例【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數(shù)是個離散型隨機變量，其概率分布為X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/601/6P(x)1x23456第53頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五伯努利試驗

（0-1分布、二項分布）0-1分布、二項分布與伯努利試驗有關(guān)伯努利試驗具有如下屬性試驗包含了n

個相同的試驗每次試驗只有兩個可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率p對每次試驗結(jié)果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1試驗是相互獨立的試驗“成功”或“失敗”可以計數(shù)第54頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.20-1分布

當(dāng)離散型隨機變量X的只有兩個可能的取值，并且其中一個賦值為1，另一個賦值為0，則X服從0-1分布。例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示設(shè)取1的概率為，則取0的概率對于服從0-1分布的離散型隨機變量X，有： 第55頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.20—1分布

(實例)【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.05，合格率為q=1-p=1-0.5=0.95。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機變量，其概率分布為X=xi01P(X=xi)=pi0.050.950.5011xP(x)第56頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.3二項分布

二項分布研究的是類型變量，并且類型只能夠表現(xiàn)為兩種形式，這與0-1分布一致。二項分布其實是多個0-1分布的結(jié)合。0-1分布是一次實驗，二項分布則是多次試驗。二項分布的多次試驗中，每次試驗都是獨立于其他試驗的，試驗之間也不會互相影響。第57頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.3二項分布

設(shè)成功的概率為p，則失敗的概率為q=1-p。試驗的總次數(shù)為n，則n次試驗中成功的次數(shù)X服從二項分布。記作：設(shè)X為n次重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，X取x

的概率為第58頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.3二項分布顯然，對于P{X=x}0，x=1,2,…,n，有同樣有當(dāng)n=1時，二項分布化簡為第59頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.3二項分布二項分布隨機變量的期望和方差為：

第60頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.3

二項分布

（實例）【例】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率解：設(shè)X為所抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X~B(3,0.05)，根據(jù)二項分布公式有第61頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布

n很大而p很小時二項分布的極限形式叫做泊松分布。設(shè)參數(shù)，代表某結(jié)果出現(xiàn)次數(shù)的期望，若試驗總次數(shù)為n，某結(jié)果每次出現(xiàn)的概率為p，當(dāng)n很大而p很小時，。某結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)X在服從泊松分布的情況下，X的取值為

,有—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時間間隔、長度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)第62頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布泊松分布隨機變量的期望和方差為：第63頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.4

泊松分布

（實例）【例】假定某企業(yè)的職工中在周一請假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請事假的平均人數(shù)為2.5人。求（1）X

的均值及標準差（2）在給定的某周一正好請事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5；D(X)=＝2.5=1.581(2)第64頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布

（作為二項分布的近似）當(dāng)試驗的次數(shù)n

很大，成功的概率p

很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即實際應(yīng)用中，當(dāng)P0.25，n>20，np5時，近似效果良好第65頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3連續(xù)變量的概率分布連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數(shù)軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述第66頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五概率密度函數(shù)設(shè)X為一連續(xù)型隨機變量，x

為任意實數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率第67頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五概率密度函數(shù)密度函數(shù)f(x)表示X的所有取值x

及其頻數(shù)f(x)值(值,頻數(shù))頻數(shù)f(x)abx第68頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五概率密度函數(shù)在平面直角坐標系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數(shù)a<b，P(a<Xb)是該曲線下從a

到b的面積f(x)xab概率是曲線下的面積第69頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為第70頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于x0

的面積f(x)xx0F(x0

)第71頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五連續(xù)型隨機變量的期望和方差連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望為方差為第72頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3連續(xù)變量的概率分布幾種主要的連續(xù)變量的概率分布§3.1均勻分布§3.2正態(tài)分布

§3.3正態(tài)分布衍生的幾個重要分布第73頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.1均勻分布當(dāng)連續(xù)型隨機變量X的概率密度值為常數(shù)，即都相同，則X服從均勻分布。設(shè)所有可能的取值從a到b，由，得X的概率密度函數(shù)為：稱X服從在區(qū)間的均勻分布。xf(x)ba第74頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.1均勻分布分布函數(shù)為：數(shù)學(xué)期望和方差為：第75頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布正態(tài)（normal）分布是描述連續(xù)型隨機變量最重要的分布。服從正態(tài)分布的隨機變量X，其概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：其中，為均值，為標準差，，。

第76頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的重要性1. 正態(tài)（normal）分布:描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機變量的分布例如:二項分布3. 經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)xf(x)第77頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五概率密度函數(shù)f(x)=隨機變量X的頻數(shù)

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機變量的取值(-<x<)

=總體均值第78頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布若隨機變量X服從期望為方差為的正態(tài)分布，記作：只要有均值與標準差，就可以構(gòu)成一個正態(tài)分布。因此，每一對均值和標準差就有一個正態(tài)分布。并有：第79頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布特征（1）每一對μ與σ都可以形成一條曲線，這意味著正態(tài)曲線可以看成是一族曲線，在編制曲線時需要并且只需要μ與σ2。（2）曲線為鐘形，而且對稱。期望μ為變量取值的中間點和對稱點。方差σ2反映了變量的離散程度，σ2越小曲線越尖，σ2越大曲線越扁平。（3）在正態(tài)分布中，變量的均值、中位數(shù)Me和眾數(shù)Mo都是相等的。（4）概率密度值在對稱點μ取到最大值，越往兩邊值越小，直至無限趨近于0，在理論上永不相交。（5）正態(tài)分布的隨機變量，大部分取值在中間點μ附近，極大極小值的個數(shù)都較少。實際上幾乎所有的數(shù)值位于均值加減三個標準差之間，也就是說全距離為6σ。（6）曲線下總面積為1。曲線從對稱點往右或往左的面積都是0.5。第80頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五和對正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB第81頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)第82頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五標準正態(tài)分布的重要性一般的正態(tài)分布取決于均值和標準差計算概率時，每一個正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，計算概率時只需要查一張表第83頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布為了得到更加一般意義和標準的正態(tài)分布，我們可以采取標準化處理，把所有均值為方差為的正態(tài)分布，都轉(zhuǎn)化為均值為0方差為1的正態(tài)分布，即通過線性變換的標準化處理，把正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布。設(shè)，標準化處理為：并有：第84頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五標準正態(tài)分布xms一般正態(tài)分布

=1Z標準正態(tài)分布第85頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布便得到了服從標準正態(tài)分布的Z變量，有：Z變量的概率密度函數(shù)為：Z變量的分布函數(shù)為：標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)是唯一的。概率密度函數(shù)一般用表示，分布函數(shù)一般用表示。第86頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布對于一般的正態(tài)分布，有：

第87頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布標準正態(tài)分布表的注意事項有：（1）標準化處理為（2）查標準正態(tài)分布表即得概率。其中，

（3）對于負的z，可由得到。（4）（5）第88頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五標準化的例子P(5X6.2)

x=5=10一般正態(tài)分布6.2

=1Z標準正態(tài)分布00.12.0478第89頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五標準化的例子P(2.9X7.1)

一般正態(tài)分布.1664.0832.0832標準正態(tài)分布第90頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布

（實例）【例】設(shè)X~N(0，1)，求以下概率：

(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-1<X

3)；(4)P(|X|2)

解：(1)P(X<1.5)=(1.5)=0.9332(2)P(X>2)=1-P(2

X)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1<X

3)=P(X

3)-P(X<-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.8354(4)P(|X|2)=P(-2

X|2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9545第91頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布

（實例）【例】設(shè)X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)第92頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五二項分布的正態(tài)近似***當(dāng)n很大時，二項隨機變量X近似服從正態(tài)分布N{np,np(1-p)}對于一個二項隨機變量X，當(dāng)n很大時，求P(x1Xx2)時可用正態(tài)分布近似為第93頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五為什么概率是近似的***.0.1.2.30246810xP(x)正態(tài)曲線增加的概率正態(tài)曲線減少的概率二項概率：矩形的面積正態(tài)概率：曲線下從3.5到4.5的面積增加的部分與減少的部分不一定相等第94頁，共105頁，2023年，2月20日，星期五§3.3正態(tài)分布衍生的幾個重要分布

***§3.3.1卡方分布

常應(yīng)用于擬合優(yōu)度檢驗中。設(shè)個隨機變量相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布，則它們的平方和服從自由度為的卡方分布。記作：

卡方分布的期望為：卡方分布的方差為：卡方分布具有可加性即若，，且與獨立，則：第95頁，共105頁，2023年，